人教版高中数学必修2、必修5知识点整理

鑫三好教育高一数学讲义
必修2 第一章空间几何体

平行投影和中心投影
构成几何体的基本元素

直观图、三视图

画法
空间几何体
柱体、锥体、台体、球柱体、锥体、台体、

的结构特征
球的表面积和体积



棱柱

棱锥
多面体
空间几何体结构
棱台

组合构成

简单组合体

简单几何体

圆柱

圆锥
旋转体
轴、母

圆台
c

c

c

b


球
a

侧
正
平行投影
b


a

投影
中心投影
b


正视图
空间几何体的三视图和直观图
a

三视图
侧视图

俯
俯视图

直观图(斜二侧画法)

S
圆柱
?2
?
r(r?l)


S
圆锥
?
?
r(r?l)

表面积
< br>S
圆台
?
?
(r
'2
?r
2
?r< br>'
l?rl)

2


S?4
?
r
球
空间几何体的表面积与体积
V
柱体
?sh


1

V?sh

锥体
体积
3

1
V
台体
?(s
'
?s
'
s?s)h


3
4

重心---中线的交点
V
球
?
?
r
3

3
垂心--- 高线的交点

三角形的心
内心---内切圆圆心---角平分线的交点

外心---外接圆的圆心---中垂线的交点

必修2 第一章空间几何体












平面（公理1、2、3、4 、定理）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系
4
面面平行性质定理(3) ○
1
线面平行判定定理（3） ○
2
面面平行判定定理（5） ○
平面平面
9
定义 ○
平面与平面的位置关系
直线直线
直线平面
3
线面平行性质定理（3） ○
8
线面垂直性质定理(2) ○
6
面面垂直判定定理（2） ○
直线
?
平面
平面
?
平面
7
面面垂直性质定理（4） ○
10
直线
?
直线
5
线面垂直判定定理（5） ○
10
定义 ○

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公理

A?l,B?l且A?
?
,B?
?
?l?
?


1

（作用：证明直线或点在平面内）
?

A

?

?
l
B


公理

推论

2
过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面

推论

1
过一条直线和直线外一点有且只有一个平面

2
过两相交直线有且只有一个平面

作用：○
1
确定平面 ○
2
作辅助平
推论

3
过两平行直线有且只有一个平面


（作用：○
1
确定两平面交线 ○
2
证明3点共线或点在直线上）
?

l

公理

3
P?
?且P?
?
?
?
?
?
?l且P?l

P
?

公理

4
平行于同一条直线的两条直线平行（平行线传递性）

?



定

理 空间中若两角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补

a

b

?

?

a


a

?
a

p



b

b


?


?

?

?
b

3
?

4
○

○
1

○
2

○
○
1
线面平行判定定理
a?
?
,b?
?
,且ab?a
?
(3条件)(线线?线面）

○

2
面面平行判定定理
a?
?
,b?
?
,a?b?p,a
?< br>,b
?
?
?

?
(5条件)(线面?面面）
○

3
线面平行性质定理
a
?
,a?
?
,< br>?
?
?
?b?ab(3条件)(线面?线线）

○


4
面面平行性质定理
?

?
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b?ab(3条件)(面面?线线）< br>

l

?

?

a

b


b

a

a



?

p

○
5

?

?
b


a

?

○

6
?
?
,b
○
?

?
,a?b?p,l?a,l
○
7
?

○
8

5
线面垂直判定定理
ab?l?
?
(5条件)(线?线?线?面）

○

6
面面垂直判定定理
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
(2条件)(线 ?面?面?面）

○

7
面面垂直性质定理
?
?< br>?
,
?
?
?
?b,a?
?
,a?b?a?< br>?
(4条件)(面?面?线?面）

○

8
线面垂直 性质定理
a?
?
,b?
?
?ab(2条件)(面?面?线线）

○

9
定义
面面?两平面无公共点?一平面内的直线与另一平面 无公共点?直线面（面面?线面）

○

10
定义
线?面?线?平面中所有直线（线?面?线?线）


平行:同一平面内没有公共点

共线直线
位
直线与直线
相交:同一平面内有且只有一个公共点


异面直线:不同在任一平面内,没有公共点

置


直线在平面内
a?
?
: 无数个公共点

关

直线与平面

直线与平面相交
a?
?
?p
: 有且只有一个公共点


系

直线与平面平行
a
?
: 没有公共点
直线在平面外


平面与平面

平行
?

?
?
: 没有公共点
相交
?
??a
: 一条公共直线

a
a
a
'
a,b
'
b,
?
为异面直线 a,

?
'
b所成的角，

b
'
?
?
?（0
o
,90
o
],
?
?90
o< br>时，a?b


直线和平面所成的角
?
?[0
o,90
o
]

?
b



?

A

D

?AOB为二面角
?
?CD?
?
的平面角
B
o

?

?AOB?（0
o
,180]
O


11
?AOB?90
o
时，
?
?
?
C

l

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必修2 第三章直线与方程

直线与方程


倾斜角和斜率 直线方程 直线交点坐标和距离公式

倾斜垂直一
两
两间两
点
截
两
斜
点

率直线斜点般
直
点的平
到
距
截
斜
角的平式 式
线
式间距行
直
式
式

判行
交
距离线
线
定和
点
离之
距

离

oo

倾斜角
?
?[0,180)(x正方向和直线向上方向之间所成的角）
k=tan
?
?R,
?
?90
o
时k不存在


y
2
?y
1
y
1
?y
2

P(x,y)、P(x,y)(x?x)?k??
22212P
1
P
2
111
x?xx?x
(
(



直












)
)

1
点斜式:○

线


方

程

1
直线在x轴上的截距: 令y=0,x的值

○
截距
1
直线在y轴上的截距: 令x=0,y的值

○


l
1
l
2
?
k
1
、k
2
存在：k
1
?k
2

?
?
??
行

两
l
1
、l
2
重合
?
k
1
、k
2
不存在
?
与直

线垂
k
1
、k
2
存在：k
1
?
k
2
??2

直

平
l
1< br>?l
2
?
?
?
k
1
不存在:k
2< br>?0
?

1
两点之间距离:

若P(x,y)、P( x、y)则PP?
○
(x
1
?x
2
)
2
? (y
1
?y
2
)
2

11122212

距
Ax
0
?By
0
?C

d?
2
○点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By ?C?0
的距离:



22
A?B

C
1
?C
2
离
3
两平行线
Ax?By?C?0
、
Ax?By?C?0
之间的距离:

d?
○

12

22
A?B

(也可在其中一条上任取一点,再求该点到另外一条直线的距离即为两平行线之间的距离)

x
1
?x
2
y
1
?y
2
(x,y )、P(x,y),PP中点P(,)
中点坐标公式:
P
11122212

22

直线系方程:
设两相 交直线l
1
、l
2
的方程分别为：l
1
：A
1x?B
1
y?C
1
?0,l
2
：A
2
x?B
2
y?C
2
?0


则过l
1、l
2
交点的直线系方程为：A
1
x?B
1
y?C1
?
?
（A
2
x?B
2
y?C
2）?0


[包括直线（l
?
?0时），但不包括l,可用来求 过两直线交点的直线方程]

12


一般地，设点P(a,b)关于直线Ax?By?C?0对称的点为Q(x,y),则

?
y?bA
(?)??1(B?0)
点关于直线的对称点:

?
?
x?aB
(x,y)应满足以下方程组：
?

?
A
?
x?a
?B
?
y?b
?C?0

?
?22









12

y?y
0
?k(x?x
0
)(不能表示k不存在的直线)

2
斜截式:

y?kx?b(不能表示k不存在的直线,b为直线在y轴上截距)
○
y?y
1
x?x
1
3
两点式:

○
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
2
?y
1
x
2
?x
1
y< br>4
截距式:

x
○
??1(两截距a、b都存在且a?0,b?0)
ab
5
一般式:

Ax?By?C?0(能表示一切直线
○
)





2112

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必修2 第四章圆与方程

平面直角坐标系 空间直角坐标系

圆方程
空间的点的坐标 空间两点之间的距离

圆的标准方程 圆的一般方程

直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系

直线与圆的方程的应用(坐标法)

222
标准方程:
, 圆心:
(a,b)
, 半径:
r

待定系数法
(x?a)?(y?b)?r

圆的方程
2222

一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)

求圆的方程



相交：
d?r
[方程组有两解—直线、圆有两交点（公共点）]
直线与圆（圆心到直线

相切：
d?r
[方程组有唯一解—直线、圆有一交点（公共点）]

的距离为
d
，
圆半径为
r
）

相离：
d?r
[方程组有无解—直线、圆有无交点（公共点）]


直线、圆
圆
C
1
与圆
C
2

相 离：
C
1
C
2
?r
1
?r
2


位置关系
内切：
C
1
C
2
?r
1
?r
2


半径分别为:

r
相交：
r
1
、r
2

1
?r< br>2
?C
1
C
2
?r
1
?r
2


内切：
C
1
C
2
?r
1
? r
2


连心线
C
1
C
2
内含：
C
1
C
2
?r
1
?r
2


2222
公共弦所在
圆
C
1
：
x?y ?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
圆
C
1
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
相交

的直线方程
两圆公共弦所在直线方程为：
(D?D)x?(E?E)y?(F?F)?0

121212

2222

圆
C
1
：x?y?D
，
圆
：
C
x?Ey?F?0x?y?D
2< br>x?E
2
y?F
2
?0
相交

2
111
圆系方程
2222

过圆
C
1
、
圆
C
2
两交点的圆系方程为
x

?y? D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0


[包括圆
C
1
(
?
?0时)
,
不包括圆
C
2
，
可用来求过两圆交点的圆的方程

空间中点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)、P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)


222
?(x?x)?(y?y)?(z?z)

两点之间距离：
PP
空间直角坐标系
12121212

x
1
? x
2
y
1
?y
2
z
1
?z
2
,,)
中点
P(
222


必修5 第一章解三角形
距离

高度
正弦
解
应用举例

角度
三
边或角
几何计算
余弦

角
形
的统一

三角形形状判定
三角形面积

?ABC
外接圆半径

abc

???2R

sinAsinBsinC

正弦定理
a?2RsinA

b?2RsinB

c?2RsinC


a:b:c?sinA:sinB:sinC



b
2
?c
2
?a
2
222
a?b?c?2bcc osA?cosA??0?A为锐角


2bc


2
a
2
?c
2
?b
2
22
余弦定 理
b?a?c?2accosB?cosB??0?B为直角

2ac

222

c
2
?a
2
?b
2?2abcosC?cosC?
a?b?c
?0?C为钝角


2ab
13

鑫三好教育高一数学讲义



2角1边：正弦
俯角
角边边：正弦

解三角形(六元素)
2边1角：
边角边：余弦

3边：余弦

1点可到，1点不可到 仰角
距离

2点全不可到
应用举例
高度：先用正弦或余弦在某三角形中解直角三角形某一边，再解直角三角形

角度：正弦、余弦
111

面积：
S?absinC?bcsinA?acsinB

几何计算
222

证明边角恒等式：一般全化成边的关系或全化成角的关系



必修5 第二章数列

数

列

一般数列
数列的概念与表示方法：通项公式、递推公式、图象、列表
数列分类：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
a?S
1
,n?1

通项公式
a
n
与前< br>n
项和
S
n
的关系：
1
等差
等比
a
n
?S
n
?S
n?1
,n?1


等


差

数


列






等

比


数


列




a
n

特殊数列
应用
S
n

通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d

1、
a
n?1
?a
n
?d(常数）?
?
a
n
?
为等差数列

等差数列判定
2、
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
为等差中项）??
a
n
?
为等差数列

3、
a
n?kn?b(对应一次型函数)?
?
a
n
?
为等差数列

1、
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
? (n?m)d

对应常数项为0的
等差数列性质
2、
m?p?q ?a
m
?a
n
?a
p
?a
q

一元二次型函数
前n项和
S
n

1、
S
n



























求
S
n
最值的方
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)dd
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?)n

2222
2、
S
n
,S
2n?S
n
,S
3n
?S
2n
成等差数列，即
< br>（2S
2n
?S
n
）?S
n
?（S
3n?S
2n
）
n(n?1)
d??配方成顶点式
1、
S
n
?na
1
?
2
?
2、
求n使a
n
?0或a
n
?0

通项公式：
a
n
等比数列判定
?a
1
?q
(n?1)

a
n?1
1、< br>?q(q?0)?
?
a
n
?
为等比数列

a
n
2
2、
a
n?1
?a
n
?a
n ?2
(a
n?1
为等比中项）?
?
a
n
?
为等比数列

?a
1
q
(n?1)
?a
m
q
(n?m)

2、
m?p?q?a
m
?a
n?a
p
?a
q

1、
a
n
等比数列性质
前n项和
S
n

a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n< br>q
q?1时：S
n
??
1、
1?q1?q

q?1时：S
n
?na
1
2、
S
n
,S
2 n
?S
n
,S
3n
?S
2n
成等差数列，即

（2S
2n
?S
n
）?S
n
?（S
3 n
?S
2n
）
14

鑫三好教育高一数学讲义

必修5 第三章不等式

不等关系与不等式

一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与平面区域 基本不等式


简单的线性规划问题 最大(最小)值问题

a?b?0?a?b


a?b?0?a?b

1、作差
关于实数a、b大小比较
a?b?0?a?b


2、作商

性质1：
a?b?b?a


c?b,b?a?c?a

性质2：
a?b,b?c?a?c


a?b?a?c?b?c

性质3：
a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b
不等式性质

a?b,c?0?ac?bc

性质4：
a?b,c?0?ac?bc

性质5：
a?b,c?d?a?c?b?d


性质6：
a?b?0,c?d?0?ac?bd

nn

性质7：
a?b?0?a?b(n??,n?2)
（可乘方性）
nn

性质8：
a?b?0?a?b(n??,n?2)
（可开方性）
??b?4ac

2
??0

??0

??0


y?ax
2
?bx?c
(a?0)的图象



两不相等实数根 两相等实数根

没有实数根
y?ax
2
?bx?c?0
(a?0)的根


a x
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c? 0
(a?0)的解集

?
x|x?x
2
或x?x
1
?
(x
2
?x
1
)

两根之外：大于大的，小于小的
b
??
x|x??
??

2a
??

R


?
x|x
1< br>?x?x
2
?
(x
2
?x
1
)

两根之间
?

?

（
当a?0时，先转化为a?0的情形再解
）
画平面区域步骤


（直线定界，


特殊值定域）

1、画线：
Ax?By?C?0??虚线，Ax?By?C?0??实线

2、定侧：同侧同号，异侧异号（
C?0时，取（0，0）点为测试点
）
3、求交（公共区域）
1、 作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中
画
任意一条直线
l
（通常选过原点的那条）



用图解法求最值


2、平移：将
l
平行移动以确定最优解所对应的点的位置
移
3、求值：解有关的方程组，求出最优解的坐标，然后代入目标函数，从而求
求 出目标函数最值
15

鑫三好教育高一数学讲义

1、分析数量关系，必要时根据数据列表格；

2、设立相关变元，确定线性约束条件；

3、确定线性目标函数；
线性规划的应用
4、画出可行域；

5、运用图解法求最优解（利用线性目标函数的直线找最优解，实际问题需要整

数解时应适当调整，以得最优解）；

6、给出答案。


a
2
?b
2
?2ab(a?R,b?R)



基本不等式
算术平均数 几何平均数
均值不等式

a?ba?b
2

a?b?2ab??ab?()?ab

22

(a?0,b?0,当且仅当a?b时取到“?”)


1

、 如图，一块正方体形木料的上底面有一点
E
，经过点
E
在上底面上画一条直线与
CE
垂
D
1

直，怎样画？并说明理由。
?E
C
1



B
1

A
1






D
C

A

B

2

、证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内。











、如图，四棱 锥
V?ABCD
中，底面
ABCD
是边长为2的正方形，其他四个侧面都是棱 3



长为
5
的等腰三角形，试画出二面角
V?AB?C
的平面角，并求它的度数。
V





D
C

A

B
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鑫三好教育高一数学讲义



AB
4

、如图，一直平面
?
,
?
，且
?
?< br>?
?AB,PC?
?
,PB?
?
,C,D
是垂足，试 判断直线


和
CD
的位置关系？并证明你的结论。

P




B

C



?


D



?

A

ABCD
5、如图，边长为2正方形，

E
AB
的中带内，点
F
是
BC
的中点，将
?AEC,?DCF
分别沿
DE,DF
折起，

（1）点是
''
AAD?EF
。
A,C
使两点重合于点。求证：
A

D



（2）当
BE?BF?
1
BC
时，求三棱锥
A< br>'
?EFD
的体积。
E?

4

F


C

?
B



A
'




D



E

F



B





6、如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，求证：
B
1
D?平面AC
11
B
。








D
1
A
1



C
1
B
1

D

C
B

A
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