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高中数学必修2-2

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 09:07
tags:高中数学必修二

高中数学必修2考试-高中数学竞赛解题方法百度云


第2课时 映射与函数
学习目标 1.了解映射、一一映射的概念.2.了解映射与函 数间的关系.3.会判定一些对应法则
是否为映射或一一映射.

知识点一 映射
思考 设A={三角形},B=R,对应法则是f:每一个三角形对应它的周长.请问:A中的
元素与B中的元素有什么关系?
答案 A中的任一元素,在B中都有唯一确定的元素与之对应.
梳理 映射的概念
(1)映射的定义
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应 法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一
个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B 的映射,记作f:A→B.
提醒:映射f:A→B中,集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集 合,这两个集合有
先后次序.
(2)象、原象的概念
给定一个集合A到集合B的映 射f,若集合B中的元素y与集合A中的元素x相对应,则称
y是x在映射f作用下的象,记作f(x) ,x称作y的原象.

知识点二 一一映射
思考 映射f:y=2x是A={1,2,3}→B={2,4,6}的映射;
映射:y=2x是A={1, 2,3}→C={1,2,4,6}的映射,问映射f与映射g有什么不同?
答案 在映射f下,集合 A中的每个元素都有象,集合B中的每个元素都有原象;在映射g
下,集合C中的元素不一定都有原象, 如1.
梳理 一一映射的定义
如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任 意一个元素,在集合A中都有
且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并 把这个映射叫做


从集合A到集合B的一一映射.

知识点三 映射和函数的关系
思考 一个映射是否一定是一个函数?函数能看成一个映射吗?
答案 映射不一定是函数,函数一定是映射.
梳理 1.映射下的函数定义
设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B就叫做A到B的函数.
2.映射和函数的关系
函数是数集到数集的映射,即映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射.

1.映射是特殊的函数.( × )
2.函数是从数集到数集的映射.( √ )

类型一 映射的概念
例1 下列对应是否构成映射?若是映射,是否为一一映射?
(1)A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤1},
1
f:y=x,x∈A,y∈B;
3
(2)A=N,B=N

,f:y=|x-1|,x∈A,y∈B;
1
(3)A={x|0<x≤1},B={y|y≥1},f:y=,x∈A,y∈B;
x
(4)A=R,B={y|y∈R,y≥0},f:y=|x|,x∈B,y∈B.
考点
题点
解 (1)是映射,是一一映射.(2)不是映射.(3)是映射, 是一一映射.(4)是映射,不是一一
映射.
反思与感悟 判定一个对应法则f:A→B是映射的方法
(1)明确集合A,B中的元素的特征.
(2) 判断A中的每个元素是否在集合B中有唯一的元素与之对应.若进一步判断是否为一一映


射,还需注意B中的每一个元素在A中都有原象,且原象唯一.
跟踪训练1 下图中(1),(2), (3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则是不
是映射?是不是一一映射?是不是函 数关系?


考点
题点
解 (1)是映射,是一一映射, 是函数.(2)是映射,是一一映射,不是函数.(3)不是映射.(4)
是映射,不是一一映射,不是 函数.

类型二 象与原象
例2 已知映射f:A→B中A=B={(x,y)| x,y∈R},若f:A中的元素(x,y)对应到B中的
元素是(3x-2y+1,4x+3y-1) .
(1)求A中的元素(3,2)在B中对应的象;
(2)求B中的元素(3,2)在A中对应的原象.
考点
题点
解 (1)∵f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1),
且(3,2)是A中的元素,
∴3x-2y+1=3×3-2×2+1=6,4x+3y-1=4×3+3×2-1=17,
∴(3,2)在B中对应的象为(6,17).
?
?
?
3x-2y +1=3,
(2)
?
解得
?
1
?
4x+3y-1= 2,
?
y=
?
17


12
x=,
17


121
?
∴(3,2 )在A中的原象为
?
?
17

17
?
.


引申探究
1.若使A中的元素(x,y)在B中与其自身(x,y)对应,这样的元素存在吗?
?
?
3x-2y+1=x,
1
解 若在A中的元素(x,y)在B中能与自身对应,则
?
解得x=0,y=,
2
?
4x+3y-1=y,
?
1
0,
?
. 所以这样的元素存在即
?
?
2
?
2.若f:A中的元素(x,y)对 应到B中的元素是(3x-2y+1,4x+3y-1)改为:对应到B中的元
素是(-xy,x-y) ,则B中的元素满足什么条件时在A中有原象?

?
?
-xy=a ①,
解 设任意(a,b)∈B,则它在A中的原象(x,y)应满足:
?
由②式得, y=x
?
?
x-y=b ②,
-b,将它代入①式,并化简得x
2
-bx+a=0 ③,
当且仅当Δ =(-b)
2
-4a=b
2
-4a≥0时,方程③有实数根,因此只有当B中 元素(a,b)满足
b
2
-4a≥0时,在A中才有原象.
反思与感悟 求象与原象的方法
(1)若已知A中的元素a(即原象a),求B中与之对应的元素b(即象b),这 时只要将元素a代
入对应法则f求解即可.
(2)若已知B中的元素b(即象b),求A中与 之对应的元素a(即原象a),这时构造方程(组)进行
求解即可,需注意解得的结果可能有多个.
跟踪训练2 已知(x,y)在映射f的作用下的象是(x+y,xy).
(1)求(-2,3)在f作用下的象;
(2)若在f作用下的象是(2,-3),求它的原象.
考点
题点
解 (1)把(-2,3)代入对应法则,即x+y=-2+3=1,xy=-2×3=-6,
所以(-2,3)在f作用下的象为(1,-6).

???
?
x +y=2,
?
x=-1,
?
x=3,
(2)由
?
解 得
?

?

???
?
xy=-3,
?y=3
?
y=-1.
所以在f作用下的象(2,-3)的原象为(-1,3)或( 3,-1).



类型三 映射的综合应用
例3 ( 1)集合A={a,b,c,d},集合B={e,f},从集合A到集合B的映射的个数为________;
(2)已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应法则f:x→y=x
2
-2x+2 ,若对实数k∈B,在集
合A中不存在原象,则k的取值范围是________.
考点
题点
答案 (1)16 (2)(-∞,1)
解析 (1)可以用列举法:
∴共有2×2×2×2=16(种).
(2)由于k∈B且在A中不存在原象,
则x
2
-2x+2=k无解,即x
2
-2x+2-k=0无解.
∴Δ=4-4×(2-k)<0,∴k<1.
反思与感悟 求映射个数的两类问题及解法

(1)给定两个集合A,B,问由A→B可建立的映射的个数,这类问题与A,B中元素的 个数有
关系.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则从A→B共有n
m
个不 同的映射.
(2)含条件的映射个数的确定,解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件,要采用 分类
讨论的思想方法来解决.
跟踪训练3 集合A={a,b},B={-1,0,1},从 A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,
那么这样的映射f:A→B的个数为( )
A.2 B.3 C.5 D.8
考点
题点
答案 B
解析 f:


a→-1
a→1
b→1
; f:
b→-1
;f:
a→0
b→0
.共有3个.



1.在从集合A到集合B的映射中,下列说法正确的是( )
A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个
B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个
C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同
D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同
考点
题点
答案 A
解析 根据映射的概念可知:A中元素必有唯一确定的象,但在象的集合中一个象可以有不
同的 原象,故A正确.
2.已知集合A={a,b},集合B={0,1},下列对应不是A到B的映射的是( )

考点
题点
答案 C
解析 C选项中,b无象.

3.已知(x,y)在映射f下的象是(2x-y,x-2y),则原象(1,2)在f下的象为( )
A.(0,-3)
C.(0,3)
考点
题点
答案 A
解析 2x-y=2×1-2=0,x-2y=1-2×2=-3,故选A. 4.设集合A,B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元
素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在f下,象(2,1)的原象是( )
A.(3,1)
31
,-
?
C.
?
2
??
2
31
?
B.
?
?
2
2
?

D.(1,3)
B.(1,-3)
D.(2,3)


考点
题点
答案 B
?
?
?
x+y=2,
解析 由
?

?1
?
x-y=1,
?
y=
?
2


3
x=,
2

故选B.
5.已知集合A={a,b},B={c,d},则从A到B的不同映射有________个.
考点
题点
答案 4
解析 a→c,b→c;a→d,b→d;a→c,b→d;a→d,b→c,共4个.

1.映射的特征
(1)任意性:A中任意元素x在B中都有元素y与之对应,即A中元素不能有剩余.
(2) 唯一性:从集合A到集合B的映射,允许多个元素对应一个元素,而不允许一个元素对应
多个元素,即一 对多不是映射.
(3)方向性:f:A→B与f:B→A,一般是不同的映射.
2.映射与函数的关系
函数是特殊的映射,即当两个集合A,B均为非空数集时,则从A到B 的映射就是函数,所
以函数一定是映射,而映射不一定是函数,映射是函数的推广.



一、选择题
1.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6 ,7},在下列A到B的四种对应法则中,是A到B的映射
的为( )

A.①②
C.①④
考点
题点
答案 A
解析 根据映射定义知 ①②正确.③中A的元素4在B中无对应元素,所以该对应不是A到
B的映射.④中A的元素3在B中有 两个元素与之对应,所以不是A到B的映射.
2.已知集合M={x|0≤x≤4},N={y|0≤ y≤2},按对应法则f不能构成从M到N的映射的
是( )
1
A.f:x→y=x
2
2
C.f:x→y=x
3
考点
题点
答案 C
28
解析 因为当x=4时,y=×4=?N,所以C中的对应法则f不能构成从M到N的映射.
33
3 .映射f:A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1 )
对应的A中元素是( )
A.(-1,2)
C.(1,2)
考点
题点
答案 C
B.(0,3)
D.(-1,3)
1
B.f:x→y=x
3
D.f:x→y=x
B.①③
D.②④


??
?
x-1=0,
?
x=1,
解析 由题意可知
?

?

?
3-y=1,
?
? ?
y=2,
∴A中的元素为(1,2).
4.已知映射f:A→B,其中集合A={ -3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的
元素在映射f下的象,且对任意的a ∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的
个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
考点
题点
答案 A
解析 对应法则 是f:a→|a|.因此,3和-3对应的象是3;-2和2对应的象是2;1和-1
对应的象是1;4 对应的象是4,所以B={1,2,3,4}.故选A.
1-x
5.有下列对应:①A=R,B=R,f:x→y=;
x+1
②A= {2016年里约热内卢奥运会的火炬手},B={2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体
重},f :每个火炬手对应自己的体重;
③A={非负实数},B=R,f:x→y=±x.
其中是A到B的映射的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
考点
题点
答案 B
解析 ①中,对于A中元素-1,在f下无意义 ,则①不是映射;②中,由于每个火炬手都有
唯一的体重,则②是映射;③中,对于A中元素4,在B中 有两个元素2和-2与之对应,
则③不是映射.
6.集合A={1,2,3},B={3,4 },从A到B的映射f满足f(3)=3,则这样的映射共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
考点
题点
答案 B
解析 由于要求f(3)=3,因此只需考虑剩下两个元素的象的问题,总共有如图所示的4种可


能.

二、填空题
7.f:A→B是集合A到集合B的映 射,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b).若
B中的元素( 6,2)在此映射下的原象是(3,1),那么k=________,b=______.
考点
题点
答案 2 1
??
?
3k=6,
?
k=2,
解析 由题意
?

?

??
?
b+1=2,
?< br>b=1.
b
??
8.设a,b为实数,集合M=
?
-1,a
,1
?
,N={a,b,b-a},映射f:x→x表示把集合M
??

中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b=________.
考点
题点
答案 ±1
解析 由f:x→x,知集合M中的元素映射到集合N中没有变 化,且N中只有3个元素,所
以M=N.又因为M中-1,1为相反数,所以a,b,b-a这3个元素 中有2个互为相反数,分
情况讨论,知b=0,a=±1,所以a+b=±1.
9.设集合A 和B都是自然数集合N,映射f:A→B表示把集合A中的元素n映射到集合B
中的元素2
n< br>+n,则在映射f下,象20的原象是________.
考点
题点
答案 4
解析 ∵20=2
n
+n,∴n=4.
三、解答题


10.以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?
(1)集合A={P |P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对
应;
(2) 集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是 圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切
圆;
(4)集合A={x|x是新华中学的 班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个
班级都对应班里的学生.
考点 映射的概念
题点 判断对应是否为映射
解 (1)按照建立数轴的方法可知 ,数轴上的任意一个点,都有唯一的实数与之对应,所以这
个对应f:A→B是从集合A到集合B的一个 映射.
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知,平面直角坐标系中的任意一个点,都有唯一的一个
实数对与之对应,所以这个对应f:A→B是从集合A到集合B的一个映射.
(3)由于每一 个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应f:A→B是从集合A到集合B
的一个映射.
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即与一个班级对应的学生不止一个,所以这
个对应 f:A→B不是从集合A到集合B的一个映射.
四、探究与拓展
11.规定:区间[m,n ]的长度为n-m(n≥m).设A=[0,t](t≥0),B=[a,b](b≥a),从A到
B的 映射f:x→y=2x+t,象的集合为B,且B比A的长度大5,求实数t的值.
考点
题点
解 由于A和B均是数集,则该映射f:x→y是函数,且f(x)=2x+t.
当x∈A时,f(x)的值域为[f(0),f(t)],即[t,3t],
所以B的长度为3t-t=2t,
又A的长度为t-0=t,则2t-t=5,解得t=5.

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