高中数学直线方程在必修几-高中数学课标包装彩绳
必修2知识点归纳
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有:棱
柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合
体的构成形式:
一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图1.1-11中(1)(2)物体表示的几何体;
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中(3)(4)物体表示
的几何体
。
简单组合体
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底
面与截面之间的部分,这样的多面体叫做
棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行
光线照射下的投
影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
(1)定义:
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;
侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;
俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图
(表示空间图形的平面图).
观察者站在某一点观察几何体,画
出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系
xOy
(尽可能使更多的点在坐标轴上)
②建立斜坐
标系
?xO
''
y
'
,使
?xOy
'''
=45(或
0
135
0
),注意它们确定的平面表示水平平面;
③
画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X
‘
轴,且长度保持
不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y
‘
轴,且长度变为原来的一半
;
一般地,原图的面积是其直观图面积的
22
倍,即
S
原图<
br>=22S
直观
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;
S
侧面
?2
?
?r?l
r
l
l
S
侧
=
2πr?l
r<
br>A
AB=2πr
B
⑵圆锥侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l
A
图中:扇形的半径长为l,
l
圆心角为θ,弧AB
的长
V
θ
L
θ?l(注:扇形的弧长等于
l
圆心角乘以半径.提醒圆心角
h
l
为弧度角,例如60°
π
r
B
3
弧度,
圆锥的侧面展开图是扇形,
45°
ππ
扇形面积
S
1
4
弧度,90°
2
弧度等等)
扇形
2
弧长
半径
⑶圆台侧面积:
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l
O
1
r
h
l
O
2
R
R
O
⑷体积公式:
d
V?S?h
r
;
V
1
O
1
柱体
锥体
?
3
S?h
;
d=R
2
-r
2
V
1
台体
?<
br>3
h
?
S
上
?S
上
?S
下
?S
下
?
⑸球的表面积和体积:
S?4
?
R<
br>2
,V
4
球球
?
3
?
R
3
.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
第二章
点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
α
A<
br>B
l
?
?
A?l,B?l
?
A?
?
,B?
?
?l?
?
公理1的作用:判断直线是否在平面内
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
C
α
A
B
若A,B,C不共线,则A,B,C确定平面
?
推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面
A
α
l
若
A?l
,则点A和
l
确定平面
?
推论2:过两条相交直线有且只有一个平面
A
l
α
m
若
mn?A
,则
m,n
确定平面
?
推论3:过两条平行直线有且只有一个平面
m
α
n
若
mn
,则
m,n
确定平面
?
公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。
β
P?
?
α
,P
?
?
P
·
?
?
L
?
?l且P?l
公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。
4、公理
4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.
ab,cb?ac
公理4作用:证明两
直线平行。
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
aa
?
,b
a
1
b
?
且?1与?2方向相同??<
br>b
1=?2
b
a1
a
'
a
'
2
2
aa
方向相同则
?
,bb
?
且
b
'
b'
?1与?2方向相反
方向相反则
∠
1=∠2
∠1+
?
∠
?1
2
?
=
?2=
180
1
80
°
?
作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
ab,ab?A,a,b异面
(1)没有任何公共点的两条直线平行
a
(2)有一个公共点的两条直线相交
(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
?
A
b
7、线面位置关系:
a
a
?
a
?
?
A
(1)
(2)
(3)
(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点;
a?
?
(2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点;
a
?
(3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点;
a
?
?A
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点
)
⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
a?
?
?
b?
?
?
?
?a
?
ab
?
?
证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半;
②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;
③线面平行
的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那
么这条直线和它们的交
线平行;
a
?
?
a?
?
?
?
?ab
??
?b
?
?
④平行线的传递性:
ab,cb?ac
⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
??
?
??
?a
?
?
?ab
??
?b
?
?
⑥垂直于同一平面的两直线平行
;
a?
?
?
b?
?
?
?
?ab
⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相
交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的③)
10、面面平行:(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
a?
?
,b?
?
?
ab?A
?
?
?
?
?
a
?
,b
?
?
?
判定定理的推论:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面
平行
a,b?
?
?
ab?A
?
?
aa
?
,bb
??
?
??
?
a
?
,b
?
?
?
?
?
(2)两平面平行的性质:
性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;
??
?
??
?a
?
?
?ab
??
?b
?
?
性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;
??
?
??
?
?
?
??
性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
??
?
A,C?<
br>?
?
?
B,D?
?
?
?AC?BD
?
ABCD
?
?
性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
?
?
a?
?
?
?
?a
?
或
??
?
a??
?
?a
?
?
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
l?m?
l?n
?
?
mn?A
?
?l?
?
?
m,n?
?
?
?
⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。
a?
?
?
b?
?
?
?
?ab
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行
?
?l
?
?
?l
?
?
??
?
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
l?
?
?
?
?
?
?
?
(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就
可证明面面垂直)
l?
?
?
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直
于交线的直线垂直于另一个平面。
?
?
?
?
??
?m?
?
l?
?
?
?l?
?
?
l?m
?
?
证明两直线垂直和主要方法:
①利用勾股定理证明两相交直线垂直;
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);
④利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)
P
如图:PO?
?
?OA是PA在平面
?
上的射影
?
斜
又直线a?
?
,且a?OA
?
?
?a?PA
A
a
α
影
O
线
即:线影垂直
?线斜垂直,反之也成立。
④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直
等结论。
空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角
,通常在在两异面直线中的一
条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
如图:直线a与b异面,bb
?
,直线a与直线b
?
的夹角为两异
面直线 a与b所成的角,异面直线所成角取值范围是( 0?,90?]
2.
斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角
。如图:PA是平面
?
的
一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面
?
上射影,
?P
AO
为线面角。
3.二面角:从一条直线出发的
两个半平面形成的图形,
如图为二面角
?
?l?
?
,二
面角
的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与
二面角的棱垂直
如图:在二面角
?
-l-
?
中,O棱上一点,OA??
,OB?
?
,
且OA?l,OB?l,则?AOB为二面角
?
-l-
?
的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
①明确构成二面角两个半平面和棱;
②明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的
公垂线段的长度
。如图
PQ
是两异面直线间的距离
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线)
5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的
射影的连线段的长度。
如图:O为P在平面
?
上的射影,
线段OP的长度为点P到平面
?
的距离
求法通常有:定义法和等体积法
等体积法:就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。如图在三棱锥
V?ABC
中有:
V
S?
ABC
?V
A?SBC
?V
B?SAC
?V
C?SAB
第三章 直线与方程
1.直线方程的概念:
一条直线
l
与一个二元一次方程
F(x,y)?Ax?By?C?0
有如下两个对应:
?
①直线
l
上任意一点的坐标
(x,y)
都满足方程
F(x,y)?Ax?By?C?0
;
②以方程
F(x,y)?Ax
?By?C?0
的解为坐标的点
(x,y)
都在直线
l
上。
则称方程
F(x,y)?Ax?By?C?0
为直线
l
的方程,直线
l
为方程的直线。
2.直线倾斜角的定义:把直线向上的方向与
x
轴的正
方向形成的最小正角叫直线
的倾斜角。
3.直线倾斜角的范围:
0??
?<
br>?180?
,当直线与
x
轴平行或者是重合时,倾斜角为
0?
4.直线斜率的定义
:倾斜角不为
90?
直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率
。
记作
k?tan
?
(
?
?90?)
当倾斜角为
90?
时直线的斜率不存在。
5、直线
l
过点
P(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,yy
2
?y
1
12
)
,则直线的斜率为:
k?<
br>x
x
1
?x
2
)
2
?x
(
1
6、直线方程的表示形式:
⑴点斜式:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
,
当斜率不存在时,直线与
x
轴垂直,倾斜角为
90?
,
此时直线方程为:
x?x
0
,如右图,特别地
y
轴所在
直线方程为
x?0
。
当直线斜率
k?0
时,直线与
x
轴平行或者是重合
直线方程为:<
br>y?y
0
,
x
轴所在的直线方程为
y?0
。
⑵斜截式:
y?kx?b
(
b
为直线在
y
轴上的截距)
当直线过
y
轴上一定点
(0,b)
时,通常设直线方程为:
y?kx?b
,例如直线
l
过定点
(0,2)
,
设
l:y?kx?2
。
当直线过
x
轴上一定点(
a,0
)时,,通常设直线方程为:
x?my?a
,例如直线
l
过定点
(2
,0)
,设
l:x?my?2
⑶两点式:
y?y
1
y
?
x?x
1
2
?y
1
x
2
?
x
1
⑷截距式:
x
a
?
y
0)
b
?1(a?0,b?
,
一般地,问题中出现两个截距时,通常设直线方
程为
x
a
?
y
b
?1(a?0,b?0)
。
方程中
a,b
分别表示直线的横截距和纵截距,
一般地,在直线方程中,
令
y?0
可求得横截距
a
,令
x?0
可求得纵截距
b
⑸一般式:
Ax?By?C?0
(A
2
?B
2
?0)
,所有直线方程都可化为一般式。
当
B?0
,直线
的斜率
k??
A
?0
时,直线斜率不存在,方程可化为
x?
?
C
B
,当
B
A
7、
两直线的位置关系的判定
:
当两直线倾斜角相等时,即
?
?
?
时,两直线平行;
当两
直线倾斜角满足
|
?
?
?
|?90?
时,两直线垂直;
当两直线倾斜角不相当时,两直线相交。
对于直线
l
1
:y?
k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b<
br>2
有:
⑴
l
?
?
k
1
?k
2
1
l
2
?
;⑵
1
和
?
bll
2
相交
?k
1
?k
2
;
1
?b
2
⑶
l
和
l
重合
?
??
k
1
?k
2
12
?
;⑷
l?lb
2
?k
1
k
2
??1
.
1
?b
1
2
对于直线
l
1
:A
1
x?B<
br>1
y?C
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有:
⑴
l
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
1
l
2?
?
;(2)
?
B
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1<
br>;
1
C
2
?B
2
C
1
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
;⑷
lB
?
B
1
?l
2
?A
1
A
2
?
1
B
2
?0
.
1
C
2
?B
2
C
1
8、交点与距离公式
(1)两直线
l
1
:A
1
x
?B
1
y?C
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点坐标需将两直线方程组成
方程组求解
,即:
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
A?B
①
?
2
x
2
y?C
2
?0
当①有唯一解时,两直线相交;当①无解时,两直线平行;当①有无数个解时,两直线重合。
(2)过
两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线系方程为:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
将含有一个参数的直线方程化为直线系方程
的样式就可解决直线恒过定点问题。
(3)两点间距离公式:
PP
12
?
?
x?x
2
y
2
21
?
?
?
2
?y
1
?
(4)点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?c?0<
br>距离公式:
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
(5)两平行线间的距离公式:对于直线
l<
br>2
C
1
|
1
:Ax?By?C
1
?0,l<
br>2
:Ax?By?C
2
?0
,
l
1
与
l
2
间的距离为:
d?
|C?
A
2
?
B
2
?
x?
x
1
?x
(6)线段中点坐标公式:<
br>?
2
?
?
2
,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,
M(x,y)
是线段AB的中点。
?
?
?
y?
y
1
?y2
2
第四章 圆与方程
1、圆的第一定义
:到定点的距离等于定长的
点的集合.
P?{M(x,y)|MO|?r}
圆的第二定义
:到两个定点的距离之比等于常数(不等于1)的点的集合。
2、圆的标准方程
:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心为
(a,b)
,半径为
r
。
3、圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?
F?0(D
2
?E
2
?4F?0)
。
圆
心为
(?
D
,?
E
)
,半径
r?
1
22
22
2
D?E?4
F
。
当
D<
br>2
?E
2
?4F?0
时,方程
x
2
?y2
?Dx?Ey?F?0
表示点
(?
D
,?
E
)
22
当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
不表示任何图
形。
4、点
P
0
(x
0
,y
0
)
与圆
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
的位置关系的判定:
(1)当
P
22
0
(x
0
,y
0
)
满足
?
x
2
0
?a
?
?
?
y
0
?b?
?r
时点P在圆上;
(2)当
P
0
(x0
,y
0
)
满足
?
x
0
?a
?
2
?
?
y
2
0
?b
?
?r2
时点P在圆内;
(3)当
P
22
0
(x0
,y
0
)
满足
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
时点P
在圆外;
5、求圆方程的方法,主要有两种:
(1)待定系数法:使用待定系数法求圆方程的一般步骤:
①根据提设,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组
;
③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。
(2)利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标;
①三角形外心的定义
:三角形三边垂直平分线的交点就是外心;
②垂径定理:垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧;
③弦的垂直平分线必经过圆心,因此求出两条弦的垂直平分线方程,联立解方程组求
得圆心坐标,而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径,最终写出圆的标准方程。
6、直线与圆的位置关系的判定:
几何法(1)相切:圆心到直线的距离
d
=
r
;
(2)相交:圆心到直线的距离
d?r
;
(3)相离:圆心到直线的距离
d?r
。
l:Ax+By+C=0
l:Ax
+By+C=0
l:Ax+By+C=0
d
r
d
d
r
C(a,b)
C(a,b)
r
d=
|Ax
0
+By
0
+C|
d=
|Ax
0
+By
C(a,b)
d=
|Ax
0
+By
0
+C|
0
+C|
A2
+B
2
圆C:
(
x-a)+(y-b)
A
2
=r
+B
2
222
圆C:
(
x-a)
2<
br>+(y-b)
2
A
2
=r
+B
2
2
圆C:
(
x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
相切:d=r
相切:d
代数法:将直线方程与圆的方程联立组成方程组
?
?
y?kx?b
①
?
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(1)若方程①有唯一一个解,直与圆相切;
(2)若方程①有唯两个不等实数个解,直线与圆相交;
(3))若方程①有无解,直线与圆相离。
特别地,当直线
l
与圆
C
相离时,
P
为圆上 的动点,
|PH|
为点
P
到直线
l
的距离,设
d
为圆心到直线
l
的距离,则
|PH|
max
?d?r,|PH|
min
?d?r.
直线与圆相切,求圆的切线方程:一般用圆心到直线的距离等于半径来求解
?
1
?
过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立;②k存在,设点斜式方程,
用
圆心到该直线距离?半径,求解k,得到直线方程【一定有两解】
?
2
?
过圆
上一点的切线方程:圆
?
x?a
?
2
?
?
y?b<
br>?
2
?r
2
,圆上一点为(x
0
,y0
),则
过此点的切线方程为
?
x?a
??
x?a?
?
?
y?b
??
y?b
?
?
r
2
00
注意解决直线与圆位置关系问题时,经常需要设定直线方程,设直线方程的技巧:
①若直线<
br>l
过轴上的定点
(a,0)
则可设直线
l:x?my?a
②若
直线过定点为
(0,b)
,则一般设
直线
l:y?kx?b
;③若直
线过点
(x
0
,y
0
)
,则设直线
l:y?y0
?k(x?x
0
)
。
7、两圆位置关系的判定:设圆心距
d?
C
1
C
2
几何法⑴相离:
d?R?r
; ⑵外切:
d?R?r
;
⑶相交:
|R?r|?d?R?r
⑷内切:
d?|R?r|
;
⑸内含:
d?|R?r|
.
相离:无共点,圆心距|C
1
C
2
|>r
1
+r
2
外切:有一个公共点,<
br>圆心距|C
相交:有两个公共点,圆心距
1
C
2
|=r
1
+r
2
|r
1
-r
2
|<|C
1C
2
|=r
1
+r
2
r
1
C
2
r
C
2
2
r
1
C
1
C
r
r
1
C
2
2
2
1
C
r
1
圆C
1
:x
2
+y<
br>2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0
圆
C
2
+y
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0
圆C
1
:x
2
+y
2
2
+D
1
x+E
1
y+F
1
=0
圆C
2
:x
2
+y
2
+D
2
x+E2
y+F
2
=0
1
:x
圆C
2:x
2
+y
2
+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
圆C
2
:x
2
+y+D
2
x+E
2
y+F
2
=0
代数法;将两圆的方程组成方程组<
br>?
?
x
2
?y
2
?D
1
x?E1
y?F
1
?0
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
(1)若方程有一个解,两圆相切(内切或外切);
(2)若方程有两个不同解,两圆相交;
(3)若方程有无解,两圆外离或内含
特别地,方程
x
2?y
2
?D
2
1
x?E
1
y?F
1<
br>?
?
(x?y
2
?D
2
x?E
2
y
?F)?0
表示过两圆交点的
圆系方程。
在这个方程组中
?
?<
br>x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
用①-②消去平方项后得一个直线方程,该
?
x
2<
br>?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?
0
直线方程过两圆的交点,因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。
若圆心
C
1
到公共弦的距离等于半径
r
1
,或者是圆心C
2
到公共弦的距离等于半径
r
2
,则两圆
相切(外切
或者内切);
若圆心
C
1
到公共弦的距离等于小于
r
1
,或者是圆心
C
2
到公共弦的距离小于半径
r
2
,
则两圆
相交;
8、坐标法是解决几何问题的重要方法,其步骤是:
第一步:建立适
当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何
问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
9、 空间直角坐标系
确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点:
1.空间直角
坐标系:从空间某一个定点
O
引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴
Ox
,
Oy,Oz
,这样的坐标系叫做空间直角坐标系
O?xyz
,点
O
叫
做坐标原点,
x
轴、
y
轴、
z
轴叫做坐标轴. 通过每两个
坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为
xOy
平面、
yOz
平面、
x
Oz
平面.
如图:边长为2的正方体各顶点坐标分别
为:
D(0,0,0)A(2,0,0)B(2,2,0)
C(0
,2,0)
A
1
(2,0,2)
B
1
(2,2,2)
C
1
(0,2,2)
D
1
(0,0,2)
请注意:在写空间中点的坐标遇到困难时,通常先写出该点在
xOy
平面上的射影点的的
坐标,然后加上相应的竖坐标即可。
2.右手直
角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向
x
轴的正方向,食指指向
y
轴
的正方向,若中指指向
z
轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间直角坐标系中的坐标:对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴
Ox
轴、
Oy
轴、
Oz
轴上的射影,若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z,则把有序实
数组(x, y, z)叫做
M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x, y,
z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M
的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点:
x
轴上的点的坐标的特点:
P(a,0,0)
,纵坐标和竖坐标都为零.
y
轴上的点的坐标的特点:
P(0,a,0)
,横坐标和竖坐标都为零.
z
轴上的点的坐标的特点:
P(0,0,a)
,横坐标和纵坐标都为零.
xOy
坐标平面内的点的特点:
P(a,b,0)
),竖坐标为零.
xOz
坐标平面内的点的特点:
P(a,0,b)
,纵坐标为零.
yOz
坐标平面内的点的特点:
P(0,a,b)
,横坐标为零.
5.中点坐标公式:设A(x
1
,y
1
,z
1
),B(x<
br>2
,y
2
,z
2
)则线段AB的中点坐标为(
x1
?x
2
,
y
1
?y
2
z
2
,
1
?z
2
2
)
2
6、空间中两点间距离公式:
PP
12
?
?
x
2
?x
22
1
?
?
?
y
2
?y
1<
br>?
?
?
z
2
2
?z
1
?
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