新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结
第一章
1.1 柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体
（1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体。
分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
ABCDE A
或用对角线的端点字母，如五棱柱

表示 ：用各顶点字母，如五棱柱

'

B C D E
'

B C D E
' ' ' '

'

AD
几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
'

'

''

D
'



ABC

表示 ：用各顶点字母，如五棱锥
P
E
'

B
'
C
'

D
'

E
几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
（3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
'
'

B C D E



表示 ：用各顶点字母，如五棱台
P
' ' '
A
几何特征 ：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征： ①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）
俯视图（从上向下）
；侧视图（从左向右） 、
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
(2)画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

（3）直观图：斜二测画法
（
4
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
）
（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；
斜
二
（3）.画法要写好。
测
（
画
5
法
）
1.3
：
用

空间几何体的表面积与体积
（
斜
1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
二

'
（
测
2）特殊几何体表面积公式（ c 为底面周长， h 为高，
h
为斜高， l 为母线）
画
1
法
画
S
正棱锥侧面积

出
ch
长
S
直棱柱侧面积

ch S
圆柱侧

2 rh
'
方
体
： （1）画轴（

2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图
2
S
圆锥侧面积
rl
S
正棱台侧面积


S
圆

柱

表


1
(c
1
c )h'
2
S
圆

台 侧
面

积

( r R) l
S
圆台表


2
r

2
2 r r l

S
圆锥表

r r l

rl Rl R
2

（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
Sh
2
圆柱
1
1
2
V Sh r h
V
锥

3
Sh V
1
'
圆台
' 2
圆锥
r h
3
2

V
台


1
' '

1
(S
3
SS S)h
(S
3
S S S)h
V (r
3
rR R )h
（ 4）球体的表面积和体积公式：
V

=

球
4

R
3
； S

2
球面
=
3
4 R

D
α
第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
（ 1）平面
① 平面的概念：
个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面
③ 点与平面的关系： 点 A 在平面
内，记作

C
A. 描述性说明； B.平面是无限伸展的； A B
② 平面的表示： 通常用希腊字母 α 、 β 、 γ 表示，如平面 α （通常写在一
BC。
；点

A
不在平面

内，记作

A A
α。
点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上，记作： A∈l；
直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 α内，记作 l
点 A 在直线 l 外，记作 A l；
α；直线 l 不在平面 α 内，记作 l

（ 2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用： 检验桌面是否平；
用符号语言表示公理
判断直线是否在平面内
1：
A l, B l, A ,B l
（ 3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公
（,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
理
4）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点

符号： 平面 α和 β相交，交线是 a，记作 α∩β＝a。
2
符号语言：
P A B A B l,P l

及
公理 3 的作用：
其
①它是判定两个平面相交的方法。
推
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
论
作
③
用
它
1.4 空间中直线与直线之间的位置关系
可
：
1
以

空间的两条直线有如下三种关系：
判
①
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
断
共面直线
它
平行直线：同一平面内，没有公共点；
点
是
在
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
空
直
间
线
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
内
上
符
确
，
号
即a∥ b
定
表
证
平=>a∥c c∥ b
若
示
面
强
干
a、b、c 是三条直线
②它是证明平面重合的依据
调
个
公
点
：
等角定理 ：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
理
3
共
公

4 注意点：
线
理
4
的
①

重

线中的一条上；
4
作
。
a

用
② 两条异面直线所成的角 θ∈(0 ， ) ；
'
实
：
2

质
判
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b；
与
上
断

是
两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ④
空
b
说
间
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
'
两
平

行
条
所
具
直
1.5 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
成
有
线
的
1、直线与平面有三种位置关系：
传
平
角
递
行
（1）直线在平面内 — — 有无数个公共点
的
性
。
（
大
，
2）直线与平面相交 — — 有且只有一个公共点
小
在
（3）直线在平面平行 — — 没有公共点
只
平
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α 来表示
由
面

、
a
空
、
间
b
这

个
的
适用。
相
互
位
a α a ∩α=A a ∥α
置
来
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质
确
定
直线与平面平行的判定 2.2
，
1、直线与平面平行的判定 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
与
简记为：线线平行，则线面平行。

O

的
选
择
无
关
，
，点 O 一般取在两直

符号表示：
A
b
α
β => a ∥α
a∥b
1.6 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a
B
β
β
β∥α a∩b = P
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
1.7 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a ∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线 L 与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直，记作 L⊥ α，直
, 它们唯一公共点 P 叫做垂
a ∥b
线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时
足。
L
Α P
2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注
意< br>点
1.8 平面与平面垂直的判定
：
b

1

)

、
a
定
二
)
A
面

理
梭 l
体
β
角
定
现
的
理
概
中
B
了
念
的
α
“

2
直
：
、二面角的记法：二面角
“
线
α-l- β或α-AB- β
表
两
3
示
、两个平面互相垂直的判定定理：< br>条
与
平
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
从
相
1.9
空
—
交
2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
面
垂

1
间
、定理：垂 直于同一个平面的两条直线平行。
直
直
一
线
2
直
性质定理：
”
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
”


线
这
与
出
一
“
直
本
发
条
的
件
线

与
章
平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）
两
直
知
个
线

半
垂
平
直
形
”
互
空间直线、平面的位置关系
相
转

平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
第三章 直线与方程
2.4 直线的倾斜角和斜率
2.3.2 倾斜角和斜率
1
、
的
直
2
角
线
、3
的
、直线的斜率 :
α
倾

一条直线的倾斜角 α ( α≠90°) 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示 , 也就是
斜
叫
tan α
角
做
的
直
⑴
概
线α
⑵
当
念

当
由此可知
直
：
l的
直
线
, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .
4
当
取
、 直线的斜率公式
线

:
直
的：

l
线
倾
给定两点
l

P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠x2, 用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率：

斜0
斜率公式

与
: k=y2-y1x2-x1
l
角
与

3.1.2

°

x
两条直线的平行与垂直
与
.≤
x



轴
x
,α
轴
平

＜
,
行
α= 90 ° , k 不存在 .
轴
当1
时, α =0°, k = tan0 °=0;
k =

1、两条直线都有斜率而 且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负
倒数，那么它们互相垂直，即
( )
y y
0
k x x
0
1.10 直线的点

2 2
PP x x y y
1 2 2 2 2 1
斜式方程
1、
直线的

点斜式

方程：直线

l
经过点

P
0
(x , y )
，且斜率为

k
0 0
2、、直线的 斜截式
方程：已知直线

l
的斜率为

k
，且与

y
轴的交点为

(0, b) y kx b
1.11 直线的两点式方程
1
、直线的两点式方程：

已知两点

P
1
(x ,x ), P (x , y )
其中
(

x
1
x , y y )
y-y1y-y2=x-x1x-x2
1 2 2 2 2 2 1 2
2、直线的截距式方程： 已知直线
l
与
x
轴的交点为 A
( a,0)
，与
y
轴的交点为 B
(0,b)
，其中
a
1.12 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x, y
的二元一次方程
Ax By C 0
（A，B 不同时为 0）
2、各种直线方程之间的互化。
2.5 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L 1 ：3x +4y -2=0 L1：2x +y +2=0

解：解方程组

3x 4y 2 0

2x 2y 2 0
得 x=-2，y=2
所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M （-2，2）
3.1.3 两点间距离
两点间的距离公式
3.1.4 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：

点
( , )

Ax

0

By

C
0

P x
0
y
到直线
l : Ax By C 0
d
的距离为：
2 2
0
A
B
0,b 0

2、 两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直
线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax By C
1
0
，


l
：
Ax By C
2
0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d

C

C
1 2
2
2
A
B
2
第四章 圆与方程
1.13 圆的标准方程
1、圆的标准方程：

2 2 2
(x a) ( y b) r
圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程
2、点
M (x
2
0
, y
0
)
与圆

2 2
(x a) (y b) r
的关系的判断方法：
（1）

2 2 2
(x a) ( y b)
>

2
，点在圆外

（2）

2
=

2
r
，点在圆上

0 0
r
(x a) ( y b)
0 0
（3）

2 2
(x a) ( y b)
<

2
，点在圆内
0 0
r
1.14 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
y
2
Dx Ey F 0
2、圆的一般方程的特点：
(1) ①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项．
(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指
出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
2.6 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

2
y Dx Ey F
2
D
设直线
l
：ax by c 0，圆
C
： x 0 ，圆的半径为 r ，圆心 ( ,
2
线的距离为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
d r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d r
时，直线
l
与圆
C
相交；
2.7 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当 l r
1
r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
相离；（2）当 l r
1
r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
外切；

到直
E
)
2

（3）当 | r
1
r
2
| l r
1
r
2
时，圆 C
1
与圆 C
2
相交；
（4）当 |
l r
1
|
r 时，圆 C
1
与圆 C
2
内切；（5）当 l |r
1
2
r
2
|时，圆 C
1
与圆 C
2
内含；
1.15 直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线
l : Ax By C 0
，圆
C
: x a
2 2 2
，圆心
C a,b
到 l 的距离为
d

Aa Bb C
2
，
y b r
B
2
A
d
则有

r l与C相离
；
d r
0
，圆

l与C相切
；
d
2 2
r
2
l与C相交
r
，先将方程联立消元，得到一个一元二次
（2）设直线
l : Ax By C
方程之后，令其中的判别式为
C : x a y b
，则有
0 l与C
；
相离
0 l与C相切
；
0
2
l与C相交
xx
0
yy r
去解直线与圆相切的问题，其中

x
0
, y
0
表示 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
0
切点坐标， r 表示半径。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
(3)过圆上一点的切线方程：
2
2
，圆上一点为
xx
0

yy r
(x
(课本命题 )． ①圆 x
2
+y
2
=r
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为
0
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为 (x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为 (x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推
②圆(x-a)
广)．
2.8 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组
R
R 在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
(x, y, z)
，
x
、
y
、
z
分别是 P、Q、
M
2、有序实数组
( x, y, z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
P
O

y
Q
M'
3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组
(x, y, z)
来表示，该数组叫
x
做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M
(x, y, z)
，
x
叫做点
z

M
的横坐标，

y
叫做点

M 的纵坐标，
z
叫做点 M 的竖坐标。
2.9 空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点
P
1
(x
1
, y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
, y
2
, z
2
)
之间的距离公
式
O


x
N
1

M
1


P
1

P
2



M
M
2
H

N
2


N

y

2 2

2
P
1
P
2
(x
1
x )
2
(y
1
y )
2
(z
1
z )
2