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高中数学必修二:两条直线的位置关系

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 09:14
tags:高中数学必修二

高中数学选择题教辅-高中数学知识点教辅书


高中数学必修二
第二节:两条直线的位置关系


1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行:
①对于两条不重合的直线l
1
,l
2
,若其斜率分别为k
1
,k
2
, 则有l
1
∥l
2
?k
1
=k
2
.
②当直线l
1
,l
2
不重合且斜率都不存在时,l
1
∥l
2
.
(2)两条直线垂直:
①如果两条直线l
1
,l< br>2
的斜率存在,设为k
1
,k
2
,则有l
1
⊥l
2
?k
1
·k
2
=-1.
②当其中一条直线 的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l
1
⊥l
2
.
2.两条直线的交点的求法
直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0,l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0,则l
1
与l
2
的交点坐标就是方程 组
?
?
A
1
x+B
1
y+C
1
= 0,
?
的解.
?
A
2
x+B
2
y+C< br>2
=0
?

3.三种距离公式
P
1
(x< br>1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2< br>)两点之间的距离
|P
1
P
2
|=
?x
2
-x
1
?
2
+?y
2
-y
1
?< br>2

|Ax
0
+By
0
+C|
d=
A
2
+B
2
d=
|C
1
-C
2
|

A
2
+B
2
点P
0
(x
0< br>,y
0
)到直线l:Ax+By+C=0的距离
平行线Ax+By+C
1
=0与Ax+By+C
2
=0间
距离



1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l
1和l
2
斜率都存在时,一定有k
1
=k
2
?l
1
∥l
2
.( )
(2)如果两条直线l
1
与l
2
垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( )
(4)点P(x0
,y
0
)到直线y=kx+b的距离为
|kx
0
+b |
.( )
1+k
2
(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

第 1 页 共 23 页


2.若直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( )
A.-3
C.2
4
B.-
3
D.3
a
2
解析:选D 直线ax+2y-1=0的斜率k
1
=- ,直线2x-3y-1=0的斜率k
2
=,
23
a
2
因为两 直线垂直,所以-×=-1,即a=3.
23
3.(教材习题改编)已知点(a,2)(a> 0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为( )
A.2
C.2-1
B.2-2
D.2+1
|a-2+3|
解析:选C 由题意知=1,∴|a+1|=2,又a>0,∴a=2-1.
2
4.若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为_____ ___.
??
?
2x-y=-10,
?
x=-9,
?解析:由得
?

?
y=x+1
?
??
y=-8.

即直线2x-y=-10与y=x+1相交于点(-9,-8).
又因为直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,
2
所以-8=-9a-2,解得a=.
3
2
答案:
3< br>5.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是_______ _.
6
m
14
解析:∵=≠,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为 3x+4y+7=0,两平行线
34
-3
之间的距离d=
答案:2


考点一 两条直线的位置关系

?基础送分型考点——自主练透?


[考什么·怎么考]
两条不 同直线的位置关系有平行、相交?垂直是其中一种特殊情况?两种情况,要求能根
据直线方程判断两条直 线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或
参数的取值范围,多以选择题、填空题 的形式命题,难度较易,属于基础题.
|-3-7|
=2.
3
2
+4
2

第 2 页 共 23 页


1.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l
1
,直线2x+y-1=0 为l
2
,直线x+ny
+1=0为l
3
.若l
1
∥ l
2
,l
2
⊥l
3
,则实数m+n的值为( )
A.-10
C.0
解析:选A ∵l
1
∥l
2
,∴
B.-2
D.8
4- m
=-2(m≠-2),解得m=-8(经检验,l
1
与l
2
不重合 ),
m+2
∵l
2
⊥l
3
,∴2×1+1×n=0,解得n =-2,∴m+n=-10.
2.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l
1
与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直
线l
2
互相垂直,则实数 a的值为________.
解析:l
1
的斜率k
1

3a-0
=a.
1-?-2?
-2a-?-1?1-2a
=.
a
a-0
当 a≠0时,l
2
的斜率k
2

1-2a
因为l
1< br>⊥l
2
,所以k
1
k
2
=-1,即a·
a< br>=-1,解得a=1.
当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l
2< br>为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l
1
为x
轴,显然l
1
⊥l
2
.
综上可知,实数a的值为1或0.
答案:1或0 3.已知两直线l
1
:mx+8y+n=0和l
2
:2x+my-1=0 ,试确定m,n的值,使
(1)l
1
与l
2
相交于点P(m,-1);
(2)l
1
∥l
2

(3)l
1
⊥l< br>2
,且l
1
在y轴上的截距为-1.
?
m
2
-8+n=0,
?
解:(1)由题意得
?

?
?
2m-m-1=0,
?
?
m=1,
解得
?

?
n=7.
?


即m=1,n=7时,l
1
与l
2
相交于点P(m,-1). 2
?
?
m-16=0,
(2)∵l
1
∥l
2< br>,∴
?

?
-m-2n≠0,
?
?
m=4,
?
m=-4,
??
解得
?

?

??
n≠-2n≠2.
??



即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l
1
∥l
2
.
(3)当且仅当2m+8m=0,
即m=0时,l
1
⊥l
2
.

第 3 页 共 23 页


n
又-=-1,∴n=8.
8
即m=0,n=8 时,l
1
⊥l
2
,且l
1
在y轴上的截距为-1.

[怎样快解·准解]
1.解题要“前思后想”
解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

2.方法要“因题而定”
(1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法
①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1.
(2)由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程
l
1
与l
2
垂直的充要条

l
1
与l
2
平行的充分条

l
1
与l
2
相交的充分条

l
1
与l
2
重合的充分条

2
l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0(A
2
1
+B
1
≠0)
2
l
2
:A
2
x+B
2
y+C
2
=0(A
2
2
+B2
≠0)
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
A
1
B
1
C
1
=≠(ABC≠0)
A< br>2
B
2
C
2
222
A
1
B
1
≠(AB≠0)
A
2
B
2
22
A
1< br>B
1
C
1
==(ABC≠0)
A
2
B2
C
2
222
A
1
B
1
C
1
[注意] 在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选
A
2
B
2
C
2
择、填空题时,建议多用比例式来解答.
考点二 距离问题

?重点保分型考点——师生共研?


距离问题包 括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离,多以选择题
或填空题的形式考查,难度偏小 ,属于基础题.
[典题领悟]

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1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意 一点,则|PQ|的最小值
为( )
9
A.
5
29
C.
10
18
B.
5
29
D.
5
34
-12
解析:选C 因为=≠,所以两直线平行,
685
将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,

|-24-5|
2929
=,所以|PQ|的最小值为.
10< br>6
2
+8
2
10
2.已知A(4,-3),B(2,-1)和 直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,
使|PA|=|PB|,且点P到直线l的 距离为2,则P点坐标为________.
解析:设点P的坐标为(a,b).
∵A(4,-3),B(2,-1),
∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
-3+1
而AB的斜率k
AB
==-1,
4-2
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,
∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,

|4a+3b-2|
=2,即4a+3b-2=±10,②
4
2
+3
2
?
a=1,
?
由①②联立解得
?

?
b=-4
?

?
?
8
?
b=-
7
.
27
a=,
7


278
,-
?
. ∴所求点P的坐标为(1,-4)或
?
7
??
7
278
,-
?
答案:(1,-4)或
?
7
??
7

[解题师说]

第 5 页 共 23 页


距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角
形的形状等 .
(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线
的 距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(3)求两条平行线间的距离. 要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,
再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线 的距离问题.

[冲关演练]

1.若点P是曲线y=x
2
-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )
A.
2

2
B.1
D.2 C.2
解析:选C 因为点P是曲线y=x
2
-ln x上任意一点,所以当点P处的切线和直线y
=x- 2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.因为直线y=x-2的斜率等于1,曲线y
11
=x
2
-ln x的导数y′=2x-,令y′=1,可得x=1或x=-(舍去),所以在曲 线y=x
2
x
2
-ln x上与直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为 (1,1),所以点P到直线y=x-2的最
小距离为2,故选C.
2.若动点A,B分别在 直线l
1
:x+y-7=0和l
2
:x+y-5=0上移动,则AB的中点< br>M到原点的距离的最小值为( )
A.32
C.33
B.22
D.42
解析:选A 依题意知AB的中点M的集合为与直线l
1
:x +y-7=0和l
2
:x+y-5=
0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值 为原点到该直线的距离.设点M所在直
线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7||m+5|
=?|m+7|=|m+5|
22
|-6|
?m= -6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为
2
=3 2.
考点三 对称问题

?题点多变型考点——追根溯源?

对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题,中心对称就是点(线)关于点的对称,轴
对称就是点( 线)关于线的对称,此类问题多以选择题或填空题的形式考查,难度适中.
常见的命题角度有:

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(1)点关于点的对称;
(3)线关于点的对称;

(2)点关于线的对称;
(4)线关于线的对称.
[题点全练]
角度(一) 点关于点的对称
1 .过点P(0,1)作直线l使它被直线l
1
:2x+y-8=0和l
2
:x -3y+10=0截得的线段被
点P平分,则直线l的方程为________________.
解析:设l
1
与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点 P的对称点B(-a,2a-6)在l
2
上,把B点坐标代入l
2
的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
[题型技法] 若点M(x
1
,y
1
)及N(x,y)关于P(a, b)对称,则由中点坐标公式得
?
?
x=2a-x
1

?< br>进而求解.
?
y=2b-y
1

?


角度(二) 点关于线的对称
2.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点 P是边AB上异于A,
B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线< br>QR经过△ABC的重心,则AP的长度为( )
A.2
8
C.
3
B.1
4
D.
3
解析:选D 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建
立如图所示的坐标系, 由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直
线BC的方程为x+y-4=0,设P( t,0)(0P关于BC所在直线的对称点P
1
的坐标 为(4,4-t),点P关于y轴
的对称点P
2
的坐标为(-t,0),根据反射定律 可知P
1
P
2
所在直线就
是光线RQ所在直线.由P
1,P
2
两点坐标可得P
1
P
2
所在直线的方程为y=< br>4-t
·(x+t),设△
4+t
44
?
44
44-t
?
4
?

.因为重心G
?

?
在光线RQ上,所以有=
+t
,ABC的重心为G,易知G
?
?33
??
33
?
3
4+t
?
3
?444
即3t
2
-4t=0.所以t=0或t=,因为0333

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[题型技法] 若两点P
1
(x
1
,y
1< br>)与P
2
(x
2
,y
2
)关于直线l:Ax+By+ C=0对称,由方程
x+x
?
y+y
?
A
?
+B< br>?
?
?
?
2
??
2
?
+C=0,< br>组
?
y-y
?
A
?
?
?

B
?
=-1,
?
x-x
·
1212
2
2< br>1
1

可得到点P
1
关于l对称的点P
2
的 坐标(x
2
,y
2
)(其中
B≠0,x
1
≠x2
).

角度(三) 线关于点的对称
3.已知直线l:2x-3y +1=0,点A(-1,-2),则直线l关于点A对称的直线m的方
程为_____________ ___.
解析:在直线l上取两点B(1,1),C(10,7),B,C两点关于点A的对称点为B ′(-3,
y+11x+12
-5),C′(-12,-11),所以直线m的方程为=,即2 x-3y-9=0.
-5+11-3+12
答案:2x-3y-9=0
[题型技法] 线关于点的对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标,再
由两点式求出直线方程;
(2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.

角度(四) 线关于线的对称
4.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是________.
? ?
?
2x-y+3=0,
?
x=-1,
?
解析:法一:联立 得
?

??
?
x-y+2=0,
?
y=1.

在直线2x-y+3=0上取一点(0,3),
设其关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b),
a
b+3
?
?
2

2
+2=0,

?
b-3
?
?
a-0
=-1,

?
?
a=1,
解得
?

?
b=2.
?

故所求直线方程经过点(-1,1),(1,2),
y-1x+1
所以该直线方程为=,即x-2y+3=0.
2-11+1
法二:设所求直线上任意一点P(x,y),
则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x
0
,y
0
),

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x+x
0
y+y0
?
?
x
0
=y-2,
?
-+2=0,
?
2

?
2

?

?
y=x+ 2,
?
0
?
?
x-x
0
=-?y-y
0< br>?,


由点P′(x
0
,y
0
)在直线2x-y+3=0上,
∴2(y-2)-(x+2)+3=0,
即x-2y+3=0.
答案:x-2y+3=0
[题型技法] 线关于线的对称的求解方法
(1)若直线 与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜
式求解.
(2)若 直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称
点,最后由两点式求解.

[题“根”探求]

1.“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对 称”,只要在直线上取两个点,求
出其对称点的坐标即可,可统称为“中心对称”.
2.“线 关于线的对称”其实质就是“点关于线的对称”,只要在直线上取两个点,求
出其对称点的坐标即可,可 统称为“轴对称”.
3.解决对称问题的2个关键点
(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直;
(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.
[冲关演练]
1.(2 018·湖北孝感五校联考)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若
点A,B的坐 标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
A.(-2,4)
C.(2,4)
B.(-2,-4)
D.(2,-4)
y-2
?
?
x+4
×2=-1,
解析:选C 设A(-4, 2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则
?
y+2-4+x
=2×,
?
?
22

?
?
x=4,
-2-1
解得< br>?
∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.联立
4-3?
y=-2,
?


第 9 页 共 23 页


??
?
3x+y-10=0,
?
x=2,
?
解得
?
则C(2,4).
?
y=2x,
?
??
y=4,

2.已知入射光 线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),
则反射光线 所在直线的方程为________.
解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称 点为M′(a,b),则反射光线所在
直线过点M′,
b-4
1=-1,
?
?
a-?-3?
·
所以
?
-3+ab+4
?
2

2
+3=0,
?
又反射光线经过点N(2,6),
y-0x-1
所以所求直线的方程为=,
6-02-1
即6x-y-6=0.
答案:6x-y-6=0
3.设A, B是x轴上的两点,点P的横坐标为3,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0, 则直线PB的方程是________.
解析:由|PA|=|PB|知点P在AB的垂直平分线上. 由点P的横坐标为3,且PA的方程
为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB关于直线x= 3对称,直线PA上的点(0,1)关于直
y-4x-3
线x=3的对称点(6,1)在直线P B上,所以直线PB的方程为=,即x+y-7=0.
1-46-3
答案:x+y-7=0

(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( )
A.x-2y-1=0
C.2x+y-2=0
B.x-2y+1=0
D.x+2y-1=0

解得a=1,b=0.即M′(1,0).
1
解析:选C 因为直线x-2y-2=0的斜率为,
2
所以所求直线的斜率k=-2.
所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1),
即2x+y-2=0.
2.(2 018·北京顺义区检测)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于
第四 象限,则实数k的取值范围是( )

第 10 页 共 23 页


A.(-6,-2)
C.(-∞,-6)
B.(-5,-3)
D.(-2,+∞)
??
?
y=-2x+3k+14,
?x=k+6,
解析:选A 解方程组
?

?

?
x-4y=-3k-2,
?
??
y=k+2,

因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以k+6>
0 且k+2<0,所以-6<k<-2.

3.已知直线l的倾斜角为,直线l
1< br>经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l与l
1
平行,
4
则实 数a的值为( )
A.0
C.6
B.1
D.0或6

解析:选C 由直线l的倾斜角为得l的斜率为-1,
4
因为直线l与l
1
平行,所以l
1
的斜率为-1.
又直线l
1
经过点A(3,2)和B(a,-1),
33
所以l
1
的斜率为,故=-1,解得a=6.
3-a3-a< br>4.若点P在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为2,则点P的坐
标为 ( )
A.(1,2)
C.(1,2)或(2,-1)
解析:选C 设P(x,5-3x),则d=
B.(2,1)
D.(2,1)或(-1,2) < br>|x-5+3x-1|
=2,化简得|4x-6|=2,即4x-6
1
2
+?-1?
2
=±2,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).
5 .(2018·西安一中检测)若直线l
1
:y=k(x-4)与直线l
2
关 于点(2,1)对称,则直线l
2

定点( )
A.(0,4)
C.(-2,4)
B.(0,2)
D.(4,-2)
解析:选B 由题知直线l
1
过定点(4,0),则由条件可知,直线l
2< br>所过定点关于(2,1)对称
的点为(4,0),故可知直线l
2
所过定点为( 0,2),故选B.
6.已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+ 5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l
的距离d的最大值为( )
A.23
C.14
B.10
D.215
解析:选B 由(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,得(x+y-2)+λ(3x

第 11 页 共 23 页


+2y-5)=0,此方程是过直线x+y-2=0和3x+ 2y-5=0交点的直线系方程.解方程组
?
?
x+y-2=0,
?
可知两直线的交点为Q(1,1),故直线l恒过定点Q(1,1),如图所示,可知
?
3x+ 2y-5=0,
?

d=|PH|≤|PQ|=10,即d的最大值为10.
7.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是____________.
解 析:由题意得直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1).又直线x-2y+1=
y- 0x-3
0上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得= ,
1-01-3
即x+2y-3=0.
答案:x+2y-3=0
8.与直 线l
1
:3x+2y-6=0和直线l
2
:6x+4y-3=0等距离的直线 方程是________.
3
解析:l
2
:6x+4y-3=0化为3x+ 2y-=0,所以l
1
与l
2
平行,设与l
1
,l
2
等距离的直
2
3
15
c+
?
,解得c=-,所以 l的方程为12x+8y-线l的方程为3x+2y+c=0,则|c+6|=
?
?
2
?
4
15=0.
答案:12x+8y-15=0
9.已知点A( -3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为
_______ _.
|-3a-4+1||6a+3+1|
17
解析:由题意及点到直线的距离公式 得=,解得a=-或-.
39
a
2
+1a
2
+1
17
答案:-或-
39
10.(2018·湘中名校联考)已知l
1
,l
2
是 分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,
当l
1
,l
2
间的距离最大时,则直线l
1
的方程是________________.
解析:当直线AB与l
1
,l
2
垂直时,l
1
,l
2
间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所
-1-1
11
以 k
AB
==2,所以两平行直线的斜率为k=-,所以直线l
1
的方程是y- 1=-(x
22
0-1
-1),即x+2y-3=0.
答案:x+2y-3=0

B级——中档题目练通抓牢

1.已 知A(1,2),B(3,1)两点到直线l的距离分别是2,5-2,则满足条件的直线l
共有( )
A.1条

B.2条
第 12 页 共 23 页


C.3条 D.4条
解析:选C 当A,B两点位于直线l的同一侧时, 一定存在这样的直线l,且有两条.又
|AB|=?3-1?
2
+?1-2?
2
=5,而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为2+5-2=
5,所以当A,B两点位于 直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件
的直线共有3条.故选C.
2 .若动点P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)分别在直线l
1
:x-y-5=0,l
2
:x-y-15=0上移动,
则P
1
P
2
的中点P到原点 的距离的最小值是( )
52
A.
2
152
C.
2
B.52
D.152
解析:选B 由题意得P
1P
2
的中点P的轨迹方程是x-y-10=0,则原点到直线x-y
-10=0的 距离为d=
|-10|
=52,即P到原点距离的最小值为52.
2
3.已 知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且AB线段
10
0,
?
,则线段AB的长为( ) 的中点为P
?
a
??
A.11
C.9
B.10
D.8
2y
=0,
?
x-
2
解析:选B 依 题意,a=2,P(0,5),设A(x,2x),B(-2y,y),故
?
2x+y
?
2
=5,
?
?
x=4,
?
所以A(4,8),B (-4,2),故|AB|=?4+4?
2
+?8-2?
2
=10.
?
y=2,
?

解得

4.(2018·湖南东部 十校联考)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且
垂直于直线3x+4y- 7=0的直线方程为________________.
?
?
2x+3y+1=0 ,
解析:法一:由方程组
?
解得
?
x-3y+4=0,
?< br>
?
?
7
?
y=
9

5
x =-,
3


57
-,
?
, 即交点为
?
?
39
?
∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,
4
∴所求直线的斜率为k=.
3
5
74
x+
?
, 由点斜式得所求直线方程为y-=
?
93
?
3
?

第 13 页 共 23 页


即4x-3y+9=0.
法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,
?
?
2x+3y+1=0,
由方程组
?

?
x-3y+4=0,
?

57
-,
?
, 可解得交点为
?
?
39
?
代入4x-3y+m=0,得m=9,
故所求直线方程为4x-3y+9=0.
法三:由题意可设所求直线的方程为
(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,
即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0, ①
又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,
所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,
所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.
答案:4x-3y+9=0
5.(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l
的距离为2,则直线l的方程为________________.
解析:当直线过原点时 ,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为2,得
=2,解得k=-7或k=1,此 时直线l的方程为y=-7x或y=x;
当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,由点A(1, 3)到直线l的距离为2,得
=2,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y -6=0.
综上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0.
答案:y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0
6.已知两条直线l
1
:ax-by+4=0和l
2
:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a, b
的值.
(1)l
1
⊥l
2
,且l
1
过点(-3,-1);
(2)l
1
∥l
2
,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解:(1)由已知可得l
2
的斜率存在,
∴k
2
=1-a.若k
2
=0,则1-a=0,a=1.
∵l
1
⊥l
2
,直线l
1
的斜率k
1
必不 存在,∴b=0.
4
又∵l
1
过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾), < br>3
∴此种情况不存在,∴k
2
≠0,即k
1
,k
2< br>都存在.

第 14 页 共 23 页
|k-3|
1+k
2
|4-a|
2


a
∵k
2
=1-a,k< br>1
=,l
1
⊥l
2
,∴k
1
k
2< br>=-1,
b
a

b
(1-a)=-1.①
又∵l
1
过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l
2
的斜率存在,l
1
∥l
2

a
∴直线l
1
的斜率存在,k
1
=k
2
,即=1 -a.③
b
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l
1
∥l
2

4
∴l
1
,l
2
在y轴上的截距互为相反数,即
b
=b.④
?
?
a=2,
?
a=,
?
联立 ③④,解得
?

?
3
?
?
b=-2
?
2
?
b=2.


2
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
3
7.已知△ABC的顶点A(5 ,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC
边上的高BH所在直线方程为x- 2y-5=0,求直线BC的方程.
解:依题意知:k
AC
=-2,A(5,1),
∴l
AC
的方程为2x+y-11=0,
?
?
2x+y-11=0,
联立
?
得C(4,3).
?
2x-y-5=0,
?

x
0
+5y
0
+1
?
设B(x
0
,y
0
),则AB的中点M?
?
2

2
?

代入2x-y-5=0,得2x
0
-y
0
-1=0,
?< br>?
2x
0
-y
0
-1=0,
6
联立
?
得B(-1,-3),∴k
BC
=,
5
?
?
x
0
-2y
0
-5=0,

6
∴直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.
5

C级——重难题目自主选做

1.已知P(x
0
,y
0< br>)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax
0
+By0

C)=0表示( )
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线

第 15 页 共 23 页


C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
解析:选D 因为P(x
0
,y
0
)是直线l:Ax+By+C=0外一点,
设Ax
0
+By
0
+C=k,k≠0.
若方程Ax+By+C+(Ax
0
+By
0
+C)=0,
则Ax+By+C+k=0.
因为直线Ax+By+C+k=0和直线l斜率相等,
但在y轴上的截距不相等,
故直线Ax+By+C+k=0和直线l平行.
因为Ax
0
+By
0
+C=k,而k≠0,
所以Ax
0
+By
0
+C+k≠0,
所以直线Ax+By+C+k=0不过点P.
2.设两条直线的方程分别为x+y+a=0, x+y+b=0,已知a,b是方程x
2
+x+c=0
1
的两个实根,且0≤ c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
8
A.
21

22
B.2,
D.
2

2
1
C.2,
2
21

44
解析:选A 由题意a,b是方程x
2
+x+c=0的两个实根,所以a b=c,a+b=-1.
2
|a-b|
?
|a-b|
?
2< br>?a+b?-4ab
2
又直线x+y+a=0与x+y+b=0的距离d=,所以d=< br>?

?

2
?
2
?
2
?- 1?
2
-4c
1111111111
=-2c,而0≤c≤,所以-2×≤- 2c≤-2×0,得≤-2c≤,所以
22828224222
≤d≤
2
,故 选A.
2
(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1.命题p:“a=-2”是命题q:“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0 垂直”成
立的( )
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A 直线ax+3 y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直的充要条件是6a+12=0,
即a=-2,故选A.

第 16 页 共 23 页


2.若直线l
1
: x+ay+6=0与l
2
:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l
1
与l
2
之间的距离为( )
42
A.
3
82
C.
3
解析:选C ∵l
1
∥l
2
,∴
B.42
D.22
a
61
=≠,解得a=-1,
a-2
32 a
2
∴l
1
与l
2
的方程分别为l
1
:x -y+6=0,l
2
:x-y+=0,
3
∴l
1
与l2
的距离d=
?
6-
2
?
?
3
?82
2

3
.
3.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1, a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线
l的方程为( )
A.x-y+1=0
C.x-y-1=0
B.x+y+1=0
D.x+y-1=0
a+1-a
=-1,所以直线l的斜率为1,设直线l
a-1-a
解析:选A 因为直线AB的斜率为
2a+12a-1
2a-12a+1
?
的方程为y=x +b,由题意知直线l过点
?
,所以=+b,解得b=

22
2??
2
1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.
4.已知定点 A(1,0),点B在直线x-y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是
( )
1 1
?
A.
?
?
2

2
?

C.
B.
?
2

2
?

2
??
2
?
5

5
?

2
??
2
?
3

3
?

2
??
2
D.
解析:选A 因为定点A(1,0),点B在直线 x-y=0上运动,所以当线段AB最短时,
直线AB和直线x-y=0垂直,设直线AB的方程为x+ y+m=0,将A点代入,解得m=
11
-1,所以直线AB的方程为x+y-1=0,它与x -y=0联立解得x=,y=,所以点B的
22
11
?
坐标是
??
2

2
?
.
5.已知点P(-2,0)和直线l: (1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l
的距离d的最大值为 ( )
A.23
C.14
B.10
D.215
解析:选B 由(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,得(x+y-2)+λ(3x

第 17 页 共 23 页


+2y-5)=0,此方程是过直线x+y-2=0和3x+ 2y-5=0交点的直线系方程.解方程组
?
?
x+y-2=0,
?
可知两直线的交点为Q(1,1),故直线l恒过定点Q(1,1),如图所示,可知
?
3x+ 2y-5=0,
?

d=|PH|≤|PQ|=10,即d的最大值为10.
6.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,
14
那么+的最小值等于________.
mn
解析:设点(-m,n)关于直线 x+y-1=0的对称点为(a,b),则
b-n
?
?
a+m
=1,
?
a-mb+n
?
?
2

2
-1=0,< br>
?
?
a=1-n,
解得
?

?
b=1+m.
?

则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称 点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,
14
?
1
?n4m
?
11419

5++
即m+n=2.于是+=(m+n )
?
=×≥×(5+2×2)=,当且仅当m
?
mn
?
2< br>?
mn
?
2
mn
22
24
=,n=时等号成 立.
33
9
答案:
2
7.以点A(4,1),B(1,5),C (-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为________.
5-12-?- 2?
44
解析:因为k
AB
==-,k
DC
==-. 33
1-4-3-0
-2-1
3
2-5
3
k
A D
==,k
BC
==.
0-4
4
-3-1
4则k
AB
=k
DC
,k
AD
=k
BC
,所以四边形ABCD为平行四边形.
又k
AD
·k
AB
=-1,即AD⊥AB,
故四边形ABCD为矩形.
故S=|AB|·|AD|=
?1-4?
2< br>+?5-1?
2
×?0-4?
2
+?-2-1?
2
= 25.
答案:25
8.如图,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(- 1,0),F(1,0),一束光
线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到
线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为________.

解析:从特殊位置考虑.如图所示,
∵点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A
1
(2,4),

第 18 页 共 23 页


∴kA
1
F=4. 又点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E
1
(-2,1),点E
1
(-2,1)
关于直线BC:x+y=2的对称点为E
2
(1,4),此时直 线E
2
F的斜率不存在,∴k
FD
>kA
1
F,即
k
FD
∈(4,+∞).
答案:(4,+∞)
9.正方形的中心为点C( -1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边
所在直线的方程.
解:点C到直线x+3y-5=0的距离
d=
|-1-5|
310
=.
5
1+9
设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是
x+3y+m=0(m≠-5),
则点C到直线x+3y+m=0的距离
d=
|-1+m|
310
=,
5
1+9
解得m=-5(舍去)或m=7,
所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是
x+3y+7=0.
设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是
3x-y+n=0,
则点C到直线3x-y+n=0的距离
d=
|-3+n|
310
=,解得n=-3或n=9,
5
9+1
所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0 .
10.已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过点 P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说
明理由.
解:(1)过点 P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,
-1)且垂直于x轴的 直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
|-2k-1|
3
由已知得=2,解得k=.
4
k
2
+1
此时l的方程为3x-4y-10=0.

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综上可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO
垂直的直线,如图.
由l⊥OP,得k
l
·k
OP
=-1,
1
因为k
OP
=-,
2
1
所以k
l
=-=2.
k
OP

由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
|-5|
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=5.
5
(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P且到原点
的距离为6的直线.

B级——拔高题目稳做准做

1.已知P (x
0
,y
0
)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+ C+(Ax
0
+By
0

C)=0表示( )
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
解析:选D 因为P(x
0
,y
0
)是直线l:Ax+By+C=0外一点,
设Ax
0
+By
0
+C=k,k≠0.
若方程Ax+By+C+(Ax
0
+By
0
+C)=0,
则Ax+By+C+k=0.
因为直线Ax+By+C+k=0和直线l斜率相等,
但在y轴上的截距不相等,
故直线Ax+By+C+k=0和直线l平行.
因为Ax
0
+By
0
+C=k,而k≠0,
所以Ax
0
+By
0
+C+k≠0,
所以直线Ax+By+C+k=0不过点P.
2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线sin A·x+ay-c=0与bx

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-sin B·y+sin C=0的位置关系是( )
A.平行
C.垂直
B.重合
D.相交但不垂直
sin A
解析:选C 由题意可得直线sin A·x+ay-c=0的斜率k
1
=-
a
,bx-sin B·y+sin
C=0的斜率k
2

bsin Ab
,故k
1
k
2
=-·=-1,则直线sin A·x+ay-c=0与直线bx
a
sin Bsin B
-sin B·y+sin C=0垂直,故选C.
3.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是 方程x
2
+x+c=0
1
的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离 的最大值和最小值分别是( )
8
A.
21

22
B.2,
D.
2

2
1
C.2,
2
21

44
解析:选A 由题意a,b是方程x
2+x+c=0的两个实根,所以ab=c,a+b=-1.
2
|a-b|
?
|a-b|
?
2
?a+b?-4ab
2
又直线x+y+a=0与x +y+b=0的距离d=,所以d=
?

?

2
?
2
?
2
?-1?
2
-4c
1111111111
= -2c,而0≤c≤,所以-2×≤-2c≤-2×0,得≤-2c≤,所以
22828224222< br>≤d≤

4.(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且 点A(1,3)到直线l
的距离为2,则直线l的方程为________________.
解析:当直线过原点时,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为2,得
=2,解 得k=-7或k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x;
当直线不过原点时,设直线方程为x +y=a,由点A(1,3)到直线l的距离为2,得
=2,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为 x+y-2=0或x+y-6=0.
综上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0.
答案:y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0
5.已知两条直线l
1
:ax-by+4=0和l
2
:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a, b
的值.
(1)l
1
⊥l
2
,且l
1
过点(-3,-1);
(2)l
1
∥l
2
,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
|4-a|
2
|k-3|
1+k
2
2
,故选A.
2

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解:(1)由已知可得l
2
的斜率存在,
∴k
2
=1-a.若k
2
=0,则1-a=0,a=1.
∵l
1
⊥l
2
,直线l
1
的斜率k
1
必不 存在,∴b=0.
4
又∵l
1
过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾), < br>3
∴此种情况不存在,∴k
2
≠0,即k
1
,k
2< br>都存在.
a
∵k
2
=1-a,k
1
=,l
1
⊥l
2
,∴k
1
k
2
=-1,
b
a
即(1-a)=-1.①
b
又∵l
1
过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l
2
的斜率存在,l
1
∥l
2

a
∴直线l
1
的斜率存在,k
1
=k
2
,即b
=1-a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l
1
∥l
2

4
∴l
1
,l
2
在y轴上的截距互为相反数,即
b
=b.④
?
?
?
a=
3

?
a=2,< br>联立③④,解得
?

?
?
b=-2
?
?
2
?
b=2.


2
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
3
6.一条光线经过点P(2,3 )射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:
(1)入射光线所在直线的方程;
(2)这条光线从P到Q所经路线的长度.
解: (1)设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点,QQ′交l于M点,∵k
l
=-1,
∴k
QQ

=1,
∴QQ′所在直线的方程为y-1=1×(x-1),即x-y=0.
?
?
x+y+1=0,

?
解得
?
x-y=0,
?
< br>?
?
1
?
y=-
2

1
x=-,< br>2


1+x′
1
=-,
?
22
1 1
??
-,-
∴交点M
?
22
?
,∴
?< br>1+y′
1
=-,
?
22



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解得
?
?
?
x′=-2,
?
∴Q′(-2,-2).
?
y′=-2,

设入射光线与l交于点N,
则P,N,Q′三点共线,
又P(2,3),Q′(-2,-2),
故入射光线所在直线的方程为
y-?-2?x-?
3-?-2?

-2?
2-?-2?

即5x-4y+2=0.
(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|
=[2-?-2?]
2
+[3-?-2?]
2
=41,
即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.
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