高中数学必修2-1

§2.1 函 数
2.1.1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
学习目标 1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素 .3.能正确使用
函数、区间符号．

知识点一 函数的概念
1．函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯 一确定的数y
与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围 (数集A)叫做这个函数的定义域．如
果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值 ，记作y＝f(a)或y|
x
＝
a
.所有
函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
知识点二 函数相等
一般地，函数有三个要素 ：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对
应法则完全一致，我们就称这两个函数 相等．
特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三 区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a
2.无穷大区间的表示：
定义
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|xR

闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]




符号
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(－∞，＋∞)
数轴表示




取遍数轴上所有的值
3.注意：①“∞”读作无穷大，是一 个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一
端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．

1．集合A＝
正方形
可以作为某个函数的定义域．( × )
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．( × )
3．对于函数f：A→ B，当x
1
，x
2
∈A且x
1
>x
2
时， 可能有f(x
1
)＝f(x
2
)．( √ )
4．区间不可能是空集．( √ )
{}

类型一 函数关系的判断
例1 (1)给出下列四个图形：

其中，能表示函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①②③能表示函数关系，④不能表示函数关系，因为当x＝1时，有两个y值与之对应．
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1；
1
③h：把x对应到； ④r：把x对应到x.
x
解 ①②是实数集R上的 一个函数，因为给定一个x值都有唯一确定的值与之对应．③④不
是，对于③，当x＝0时，没有值与之 对应，对于④，当x＜0时，没有值与之对应．
反思与感悟 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法
(1)定义域和对应法则是否给出.
(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．

答案 ①③④
解析 ①③④表示函数的图象．
(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？
1
① f：把x对应到x＋1；②g：把x对应到
2
；③h：把x对应到常数1.
x＋1
解 ①是函数关系，定义域为{x|x≥－1}．
②是函数关系，定义域为R.
③是函数关系，定义域为R.
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例2 求下列函数的定义域．

1
(1)y＝3－x；
2
(2)y＝2x－1－7x；
(3)y＝2x＋3－
11
＋.
2－x
x
1
解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
2
?
?
x≥0，
1
(2)由
?
得0≤x≤，
7
?
?
1－7x≥0，
所以函数y＝2x－
1
0，
?
. 1－7x的定义域为
?
?
7
?

2x＋3≥0，
?
?
(3)要使函数有意义，需
?
2－x>0，
?
?
x≠0，
3
解得－≤x＜2，且x≠0，
2
所以函数y＝2x＋3－
1
2－x


??
3
1
－≤x＜2，且x≠0
?
. ＋的定义域为
?
x
?
x
?
?
2
?

反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合.
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
x
跟踪训练2 函数f(x)＝的定义域为________．
x－1
答案 {x|x≥0且x≠1}
?
?
x≥0，
解析 要使有意义，需满足
?
解得x≥0且x≠1，
x－1
?
?
x－1≠0，
x
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三 求函数的值域

例3 求下列函数的值域．
(1)y＝x＋1；(2)y＝x
2
－2x＋3，x∈[0,3)；
3x－1
(3)y＝；(4)y＝2x－x－1.
x＋1
解 (1)∵y＝x＋1的定义域为R，
∴y＝x＋1的值域为R.
(2)∵y＝x
2
－2x＋3＝(x－1)
2
＋2，
又x∈[0,3)，
∴2≤y＜6，
∴y＝x
2
－2x＋3的值域为[2,6)．
3x－13?x＋1?－4
4
(3)∵y＝＝＝3－，
x＋1x＋1x＋1
4
又∵≠0，
x＋1
∴y≠3，
3x－1
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
x＋1
(4)y＝2x－
令
x－1的定义域为[1，＋∞)．
x－1＝t，则x＝t
2
＋1且t≥0，
1
1515
t－
?
2
＋≥， ∴y＝2t
2
－t＋2＝2
?
?
4
?
88
∴y＝2x－
15< br>，＋∞
?
. x－1的值域为
?
?
8
?
反思与感悟 求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，
便 于求值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值 域．对

于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的 函数常用换元法．
跟踪训练3 求下列函数的值域．
1－x
2
(1)y＝2x＋1＋1；(2)y＝.
1＋x
2
解 (1)因为2x＋1≥0，所以2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
1－x
2
2
(2)因为y＝＝－1＋，
1＋x
2
1＋x
2
又函数的定义域为R，所以x
2
＋1≥1，
2
所以0＜≤2，则y∈(－1,1]．
1＋x
2
所以所求函数的值域为(－1,1]．
类型四 对于f(x)，f(a)的理解
例4 (1)已知函数f(x)＝x＋2，若f(a)＝4，则实数a＝________.
答案 14
解析 f(a)＝a＋2＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
1
(2)已 知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x
2
＋2(x∈R)．
1＋x
①求f(2)，g(2)的值；
②求f(g(2))的值；
③求f(a＋1)，g(a－1)．
111
解 ①因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
1＋x1＋2
3
又因为g(x)＝x
2
＋2，所以g(2)＝2
2
＋2＝6.
11
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
1＋6
7
③f(a＋1)＝
1
＝(a≠－2)．
1＋?a ＋1?a＋2
1
g(a－1)＝(a－1)
2
＋2＝a
2
－ 2a＋3(a∈R)．
反思与感悟 f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一 个表达式，不管是
什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．

1－x
跟踪训练4 已知f(x)＝(x≠－1)．
1＋x
?
1
??
的值； (1)求f(0)及f
?
f
??
2
??
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
1－0
解 (1)f(0)＝＝1.
1＋0
1
1－
21
1
?
∵f
?
＝＝，
?
2
?
13
1＋
2
1
1－
?
1
??
＝f
?
1
?
＝
3
＝
1
. ∴f
?
f
??
2
???
3
?
12
1＋
3
1 －?1－x?
x
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
1＋?1－x?2－x
1－x
1－
?
1－x
?
1＋x
f(f(x))＝f
?
＝x(x≠－1).
?
＝
1－x
?
1＋x
?
1＋
1＋x

1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个
C．3个
答案 B
2．区间(0,1)等于( )
A．{0,1}
C．{x|0答案 C
B．{(0,1)}
D．{x|0≤x≤1}
B．2个
D．4个

3．函数y＝
1
的定义域是( )
x＋1
B．[－1,0)
D．(－1,0)
A．[－1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
答案 C
解析 ∵x＋1＞0，
∴x＞－1.
x
2
－1
f?2?
4．设f(x)＝
2
，则等于( )
1
?
x＋1
?
f
?
2
?
A．1
3
C.
5
答案 B
B．－1
3
D．－
5
?
1
?
2
－1
2－1
3
1?
?
2
?
3
解析 ∵f(2)＝
2
＝，f
?
＝＝－，
5
2＋1
5< br>?
2
?
?
1
?
2
＋1
?
2
?
2
∴
f?2?
＝－1.
1
??
f?
2
?
5．下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝－2x
3
与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x
2
；③f(x)＝ x
2
－2x－1与g(t)＝t
2
－2t－
1.
A．①②
C．③
答案 C
解析 ①f(x)＝－x－2x，g(x)＝x－2x，对应 法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)
B．①③
D．②③
＝ x，g(x)＝x
2
＝|x|，对应法则不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x )＝x
2
－2x－1与g(t)
＝t
2
－2t－1，对应法则和定义 域均相同，故是同一函数．


1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应 法则．由于函数的定义域和对应法则一旦
确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等，只需两个函 数的定义域和对应法则分别

相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成 集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，
定义域就是使函数式有意义的x的集合． 3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x
表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性
符号，也可以 用t等表示自变量．关于对应法则f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的
某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，
即函数值．如f(x)＝3x＋5 ，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可
以将“f”比喻为一个“ 数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的
“加工”就得到一个对应值．

课时对点练
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为( )
①y＝1；②y＝x
2
；③y＝1－x；④y＝x－2＋1－x.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
?
?
x－2≥0，
解析 根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则
?
?
1－x≥0 ，
?
?
?
x≥2，
∴
?
∴x无解，∴④不是函数．
?
?
x≤1，
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
x
2
－1
A．y＝x－1和y＝
x＋1
B．y＝x
0
和y＝1
C．f(x)＝x
2
和g(x)＝(x＋1)
2

?x?
2
x
D．f(x)＝和g(x)＝
x
?x?
2
答案 D
解析 A中的函数定义域不同；B中y＝x< br>0
的定义域为{x|x≠0}；C中两函数的对应法则不同，
故选D.
3．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π
2
)的值是( )
A．π
2
B．π C.π D．不确定
答案 B
解析 由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，
故f(π
2
)＝π.
4．已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x) 的图象与直线x＝3的交点个
数是( )
A．0
C．2
答案 B
解析 ∵3∈[－3,4]，由函数定义，f(3)唯一确定，故只有一个交点(3，f(3))．
5．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中， 能表示f(x)
的图象的只可能是( )
B．1
D．0或1

答案 D
解析 A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
?
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
?
c
?
A
，x≥A
A的值分别是( )
A．75,25
C．60,25
答案 D
B．75,16
D．60,16
c
，xx

(A，
c为常数)．已知工人组装第4件 产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和

解析 组装第A件产品用时15分钟，即f(A)＝15.
∵A≥A，∴f(A)＝
∴必有4c
＝15，①
A
cc
＝＝30.②
x
2
联立①②解得c＝60，A＝16.
二、填空题
7．函数y＝x－2＋x＋1的定义域为________．
答案 [2，＋∞)
?
?
x－2≥0，
解析 要使函数式有意义，需
?
所以x≥2.
?
?
x＋1≥0，
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
9．若函数f(x)＝ax
2
－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
答案 1
解析 f(－1)＝a·(－1)
2
－1＝a－1，
f(f(－1))＝a ·(a－1)
2
－1＝a
3
－2a
2
＋a－1＝－1.
∴a
3
－2a
2
＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
10．已知f(2x＋1)＝4x
2
＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×0
2
＋4×0＋3＝3.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x
2
＋x－1.
(1)求f(2)，f(a)；
(2)若f(a)＝11，求a的值．
解 (1)f(2)＝2
2
＋2－1＝5，f(a)＝a
2
＋a－1.
(2)∵f(a)＝a
2
＋a－1，
∴若f(a)＝11，则a
2
＋a－1＝11，

即(a＋4)(a－3)＝0.
∴a＝－4或a＝3.
6
12．已知函数f(x)＝－x＋4.
x－1
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解 (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
6
(2)f(－1)＝－
－2
f(12)＝－
12－1
6
－ 1＋4＝－3－3.
638
12＋4＝－4＝－.
1111
13．已知A ＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x
2
＋1}，求A∩B.
解 集合A＝{x |y＝x＋1}表示函数y＝x＋1的定义域，∴A＝[－1，＋∞)，集合B＝{y|y
＝x
2
＋1}表示函数y＝x
2
＋1的值域，∴B＝[1，＋∞)，
∴A∩B＝[1，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a )＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q
C．2p＋3q
答案 B
解析 f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋ f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f( 3)
＝3p＋2q.
x
2
15．已知函数f(x)＝.
1＋x< br>2
1
?
(1)求f(2)＋f
?
?
2
?的值；
1
?
(2)求证：f(x)＋f
?
?
x
?
是定值；
1
??
1
?
＋…＋f(2 017)＋f
?
1
?
＋f(2 018)＋f
?
1
?
的值． (3)求2f(1)＋f(2)＋f
?
＋f(3)＋f
?
2
??
3
??
2 017
??
2 018
?
B．3p＋2q
D．p
3
＋q
2

(1)解 因为f(x)＝，
1＋x
2
x
2
?
1
?
2
?
2
?
1
?
2
所以f(2)＋f
?＝＋＝1.
?
2
?
1＋2
2
1
?
2
?
1＋
?
2
?
2
?
1
?
2
2
x
2
＋1
x
??
1
xx1
?
(2)证明 f(x)＋f
?
?
x
?
＝
1＋x2
＋
?
1
?
2
＝
1＋x
2
＋
x
2
＋1
＝
x
2
＋1
＝1，是定值．
1＋
?
x
?
2
1
?
(3)解 由(2)知，f(x)＋f
?
?
x
?
＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
1
?
f(2)＋f
?
?
2
?
＝1，
1
?
f(3)＋f
?
?
3
?
＝1，
1
?
f(4)＋f
?
?
4
?
＝1，
…
1
?
f(2 018)＋f
?
?
2 018
?
＝1，
1
??
1
?
＋…＋f(2 017)＋f
?
1
?
＋f(2 018)＋f
?
1
?
＝2 018. 所以2f(1)＋f(2)＋f
?
＋f(3)＋f
?
2
??
3
??
2 017
??
2 018
?