高中数学必修2直线与圆的方程

< br>13.（天津）若圆
x
2
?y
2
?4
与圆
x
2
?y
2
?2ay?6?0
（a>0）的公共弦的长为
23
，则
a=
___________ .
14．（辽宁）已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.
三．解答题
15． （广西重点中学第一次联考）设直线
l
过点A（2，4），它被平行线
x–y +1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线
l
的方程.
16．（北京）已知菱形
ABCD
的顶点
A，C
在椭圆
x< br>2
?3y
2
?4
上，对角线
BD
所在直线的斜率为1 ．
（Ⅰ）当直线
BD
过点
(0，1)
时，求直线
AC的方程；
（Ⅱ）当
?ABC?60
?
时，求菱形
ABCD面积的最大值．
2
17．（江苏）设平面直角坐标系
xoy
中，设二次 函数
f
?
x
?
?x?2x?b
?
x?R
?
的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交
点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数
b
的取值范围；
（Ⅱ）求圆C

的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与
b
无关）？请证明你的结论．
18．(海淀一模)在平面直角坐标系中，N为圆A：
(x?1)
AN上，且
MP?B N?0.

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
2
，点M是BN中点，点P在 线段
?y
2
?16
上的一动点，点B（1，0）
?y
2=4的位置关系，并说明理由.
4
19．（西城一模）在面积为9的
?ABC< br>中，
tan?BAC??
，且
CD?2DB
.现建立以A点为坐标原点 ，以
?BAC
3
（Ⅱ）试判断以PB为直径的圆与圆
x
线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.
（Ⅰ）求AB
、
AC所在的直线方程；
(Ⅱ)求以AB
、
AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
2< br>的平分
????????
(Ⅲ)过D分别作AB
、
AC所在直线的垂线 DF
、
DE
（
E
、
F为垂足），求
DE?DF的值.
20.（朝阳一模）已知点
A,B
分别是射线
l
1:y?x
?
x?0
?
，
l
2
:y??x
?
x?0
?
上的动点，
O
为坐标原点，且
?OAB
的面
积为定值2．(Ⅰ）求线段
AB
中点
M
的轨迹
C< br>的方程；（Ⅱ）过点
N
?
0,2
?
作直线
l
，与曲
线
C
交于不同的两点
P,Q
，与射线
l
1
,l
2
分别交于点
R,S
，若点
P,Q
恰为线段< br>RS
的两个三等分点，求此时直线
l
的方程．
参考答案
一．选择题
1．【答案】D【解析】由题设，可知
S
?ABC
?< br>121
ab
，且
??1
， ∴
2ab
?
a?2b
?
a?4
ab?8
.∴ l
的方时，
ab?a?2b?2a?2b?22?ab?ab?22?ab?8.
且仅当
?
?
?
2b?a?abb?2
??
xy
?1 ?x?2y?4?0.
∴应选D. 程为：
?
42
2．【答案】A【解析 】由（x－1）
2
+y
2
=25知圆心为Q（1，0）.据k
QP< br>·k
AB
=－1，∴k
AB
=－
∴AB的方程为y=（x－2 ）－1=x－3，即
x
－
y
－3=0.∴ 应选A.
3. 【答 案】D【解析】直线方程
1
k
QP
=1（其中k
QP
=?1?0
=－1）.
2?1
y?3x
,圆的方程为：
x
2
?(y?2)
2
?4

3?0?2
(3)
2< br>?(?1)
2
?1
，由垂径定理知所求弦长为
d
*
?22
2
?1
2
?23
，选D. < br>?
圆心
(0,2)
到直线的距离
d?
?
a?1b?1
??1?0
?
?
a?2
?
22
4.【答案】B【解 析】设圆
C
2
的圆心为（a，b），则依题意，有
?
，解得
?
，对称圆的半径不变，为
?
b??2
?
b?1
??1?
?
a?1
1.

4

5.【答案】 B【解析】圆心
(0,0)
为到直线
y?x?1
，即
x?y?1?0
的距离
d?
12
?
2
2
，而
0?
2
?1
，选B.
2
6.【答案】A【解法】设圆心坐标为
(0,b )
，则由题意知
(o?1)
2
?(b?2)?1
，解得
b? 2
，故圆的方程为
x
2
?(y?2)
2
?1
. < br>7．【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径 ，此时只有一条，其长度为26，过
A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条， 其长度为10（PA的长为12，弦长=2
13
2
?12
2
=10） ，而其
它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点 的直径对称，所以所求的弦共有
2（26-10-1）+2=32．故选C．
8．【答案】C 【解析】此圆的圆心为
C
（5，1），半径
r
又

?2.设直线
l:y?x
上的点
P
符合要求，连结
PC
，则 由题意知
PC?l
，
AC
1
5?1
CRt?PAC
.设与⊙切于点
A
，连结
AC
，则.在中，
?
，∴
?APC?30?
，
PC??22
l
2
AC?2
PC2< br>2
∴
l
1
与
l
2
的夹角为60°. 故选C.
二．填空题
22m12
???m??
. 【解析】
33?1?13
22
10.【答案】
x?(y?1)?18
.【解析】圆C的 圆心与
9．【答案】
?
P（－2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1) ,设该圆的方程为
CM?
3?0?4?(?1)?11
5
22
?3,

x
2
?(y?1)
2
?R
2
.
设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中
又|AM|?3,
?R
2
?CM?MA?3
2
?3
2
?18,
故圆的方程为
x2
?(y?1)
2
?18.

O
1
(0,0) ,O
2
(m,0)
，且11.【答案】4【解析】由题知
5?|m|?35< br>，又
O
1
A?AO
2
，所以有
m
2
?(5)
2
?(25)
2
?25?m??5
∴
AB?2?< br>12.【答案】①或⑤【解析】两平行线间的距离为
d
所以直线
m
的倾 斜角等于
30
13.【答案】1【解析】由知
x
2
o
5?2 0
?4
.
5
?2
，由图知直线
m
与
l< br>1
的夹角为
30
o
，
l
1
的倾斜角为
45
o
，
?
|3?1|
1?1
?45
0
?75
0
或
45
o
?30
0
?15
0< br>.
?y
2
?2ay?6?0
的半径为
6?a
2,
6?a
2
?(?a?1)
2
?(3)
2
解之 得
a?1
.

22
14．【答案】
(x?1)?(y?1) ?2
【解析】圆心在x＋y＝0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径
程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线
l
过点A（2，4）由两点式得直线
l
的方程为：3x-y-2=0.
16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线
BD
的方
2即可.
三．解答题
15．【答案】3x-y-2=0【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截 得的线段的中点一定在y=x上，将x+2y-3=0与y=x联立构成方
?
x
2?3y
2
?4，
程为
y?x?1
．因为四边形
ABCD
为菱形，所以
AC?BD
．于是可设直线
AC
的方程为
y? ?x?n
．由
?
?
y??x?n
4343
222
? n?
得
4x?6nx?3n?4?0
．因为
A，C
在椭圆上，所以< br>???12n?64?0
，解得
?
．
33
3n
3n
2
?4
设A
，
B两点坐标分别为
(x
1
， y
1
)，
，
x
1
x
2
?
，
y
1
??x
1
?n
，
y
2
??x
2
?n
．
(x
2
，y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
2
4
n
?
3nn
??
3nn
?
所以
y
1
?y
2
?
．所以
AC
的中点坐标为
?
，
?
．由四边形
ABCD
为菱形可知，点
?
，
?
在直线
y?x?1
上， 所
2
?
44
??
44
?

5 < /p>

n3n
??1
，解得
n??2
．所以直线
AC
的方程为
y??x?2
，即
x?y?2?0
．（Ⅱ）因为四边形ABCD
为菱形，
44
3
2
?
且
?ABC? 60
，所以
AB?BC
的面积
S?AC
．由（Ⅰ）可得
?C
．
A
所以菱形
ABCD
2
?
43
?3n< br>2
?16
343
?
2
2
22
(?3n?16 )
?
AC?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?
所以
S?
?
?
3
?n?
3
?
?
．
4
2
??
所以当
n?0
时，菱形
ABCD
的面积取得最大值
43
．
以
17．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令
x
＝0，得抛物线与
2
y
轴交点是（0，b）；令
f
?
x
?
?x?2x?b?0
，
由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，令
y
＝0 得
x
2
?Dx ?F?0
．这与
x
2
?2x?b
＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝
b
．令
x
＝0 得
y
2?Ey
＝0，此方程有一个根为
b
，代
入得出E＝―
b
―1．所以圆C 的方程为
x
2
?y
2
?2x?(b?1)y?b?0
.
22
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
18．【解析】由点M是BN中点。又
MP ?BN?0
，可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
x
2
y
2
所以|PA|+|PB|=4.由椭圆定义知，点P的轨迹 是以A，B为焦点的椭圆.设椭圆方程为
2
?
2
?1
， 由2a=4 ，2c=2，可得
ab
x?1y
0
x
2
y
2
2
,)
，
??1.
（II）设点
P(x
0
,y
0
),PB
的中点为Q
。
则
Q(
0
b=3 .动点P的轨迹方程为
22
43
2
|PB|?(x
0
?1)
2
?y
0
a
2
=4，
3
22
?x
0
?2x
0
?1?3?x
0
4
?
即以PB 为直径的圆的圆心为
Q(
x
0
?1y
0
,)
，半径 为
22
1
2
1
x
0
?2x
0
?4 ?2?x
0
.
42
1
r
1
?1?x
0，又圆
x
2
?y
2
?4
的圆心为O（0，0），半径r
2
=2，
4
又
|OQ|?(
x
0
?1< br>2
y
0
2
)?()
22
?
?
12
1113
2
x
0
?x
0
??(3?x
0
)
42444
故|OQ|=r
2
－r
1
，即两 圆内切.
1
2
11
x
0
?x
0
?1?1 ?x
0
.
1624
则由
tan?BAC

19．【 解析】（Ⅰ）设
?CAx?
?
?tan2
?
?
的直线方程为 y=2xAB所在的直线方程为y=
2tan
?
4
??.
?
?
为锐角，
?
tan
?
?2
，
?
AC所 在
2
1?tan
?
3
22
-2x（Ⅱ）设所求双曲线为4x?y?
?
,
?
?
?0
?
设
C?
x
1
,y
1
?
，
22
?
x ?2x
2
2x
1
?4x
2
?
?
x
1
?x
2
??
2x
1
?4x
2
?
B
?
x
2
,y
2
??
x
1
?0, x
2
?0
?
，由
CD?2DB
可
D
?1
,
?
4
?
??
?
??
?
?
，即
33
3
??
?
3
???
3244x
1
x
2
?
?
,由
tan?BAC??
，可得
sin?BAC?
，又
?
AB?5x
1
，
AC?5x
2
，
?
x
1
x
2
?0
?

935
1
?S
?ABC
?ABACsin?BAC< br>9
x
2
y
2
2
??1
（Ⅲ）由题设可即x
1
x
2
?
，代入（1）得
?
?16
，∴双曲线方程为
14
2
416
??5?x
1
x
2
??2x
1
x
2
?9.
25

6

22
????????
x
0
y
0
3
知
?DE,DF??
?
??BAC
，∴
cos?DE,DF??cos(
?
??BAC)?,
设点D为
?
x
0
,y
0
?
，则
??1
又
5
416
2x< br>0
?y
0
2x
0
?y
0
????????? ???????
点D到AB，AC所在直线距离
DF?
，
DE?
，< br>DE?DF?DE?DF?
cos?DE,DF?

55
2x
0
?y
0
2x
0
?y
0
348
=
??.

?
525
5
5
x
1
?x
2
?
x?,(1)
?
?
2
20.【解析】（I）由题可设< br>A
?
x
1
,x
1
?
，
B
?
x
2
,?x
2
?
，
M
?
x,y< br>?
，其中
x
1
?0,x
2
?0
.则
?

x?x
?
y?
12,(2)
?
?2
11
OA?OB?2x
1
2x
2

?x
1
x
2
?2.

(1)
2
?(2)
2
，消去
x
1
,x
2
，得∵
?OAB
的面积为定值2， ∴
S
?OAB
?
22
．
x
2
?y
2
?2
． 由于
x
1
?0,x
2
?0
，∴
x?0
，所以点
M
的轨迹方 程为
x
2
?y
2
?2
（
x?0
）
????
?
y?kx?2,
22
y?kx?2
．由
?
2
消去
y
得
?
1?k
?
x?4kx?6?0，
2
?
x?y?2,
设点
P
、
Q
、
R
、
S
的横坐标分别是
x
P
、x
Q
、
x
R
、
x
P
，∴由
x
P
,x
Q
?0
得
（II）依题意，直线
l
的斜率存在，设直线
l
的方程为
?
1?k
2
?0,
?
22
?
??16k?24
?
1?k
?
?0,< br>2
?
2
26?2k
解之得：
?3?k??1
．∴
x
P
?x
Q

?
?
x
P
?x
Q
?
?4x
P
x
Q
?.

?
x?x?
4k
? 0,
2
PQ
k?1
2
?
1?k
?
?6?
x
P
x
Q
??0,
2
?
1?k?
?
y?kx?2,
?
y?kx?2,
224
由
?
消去
y
得：
x
R
?
，由
?
消 去
y
得：
x
S
?
，∴
x
R
?x< br>S
?
2
.
1?k?1?kk?1
y?x,y ??x,
??
5
由于
P,Q
为
RS
的三等分点，∴
x
R
?x
S
?3
x
P
?x
Q. 解之得
k??
.
3
5
经检验，此时
P,Q
恰为
RS
的三等分点，故 所求直线方程为
y??x?2
.
3
【测验2】
1. 在
?ABC
中，三内角
A,B,C
所对的边是
a,b ,c
且
lgsinA,lgsinB,lgsinC
成等差数列，那么直线
2
xsinA?ysinA?a
与直线
xsin
2
B?ysinC?c
的位置关系是 （ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2. 已知直线
l
1
:x?m y?6?0,l
2
:(m?2)x?3y?2m?0
平行，则实数
m
的值为 .
11
C. 3 D. -1或
22
3. 已知点
A(?3,4),B(1,5),P
是直线l:x?2y?4?0
上的动点，则
PA?PB
的最小值为 .
A. -1 B.
17
B.
17
或
35
C.
35
D. 以上都不对
????????????????
22
4． 已知直线
x?y?a
与圆
x?y?4
交于A、B两点，且
OA?OB?OA?OBA.
A. -2 B.
5
、已知

，其中
O
原点，则实数
a
的值为 .
1
2
C. 2 D. 0
分别是直线P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x2
,y
2
)
l
上和直线
l
外的点，若直线l
的方程是
f(x,y)?0
，则方程
7

f( x,y)?f(x
1
,y
1
)?f(x
2
,y
2< br>)?0
表示

A
、与
l
重合的直线
B
、过
P
2
且与
l
平行的直线
C
、过
P
1
且与
l
垂直的直线

6
、
M
（
x
0
,y
0
)
为圆
x
2< br>
7
、曲线
A
、相切

D
、不过
P
2
但与
l
平行的直线


?y
2
?a
2
(a?0)
内异于圆心的一点 ，则直线
x
0
x?y
0
y?a
2
与该圆的位置关系 为

B
、相交
C
、相离
D
、相切或相交

y?1?4?x
2
?
x?2
?< br>与直线
y?k
?
x?2
?
?4
有两个交点时，实数< br>k
的取值范围是

A
、
?

?
53
?
，
?

124
??
B
、
?
?
53
?
，
?

124< br>??
C
、
?
?
13
?
，
?

3
?
4
?
D
、
?
0，
?
5
?
?

12
??
8. 直线
l
1
:2x?y?3?0
关于直线
l:x?y?1?0
的对称直线方程为 .
1719
A. x - 2y +4=0 B. x - 3y +=0 C. x - 2y +5=0 D. 2x - 3y +=0
33
9. 已知 直线
l
1
:kx?y?3k?2?0
与直线
l
2
: x?4y?4?0
的交点在第一象限，则
k?
.
10. 过点
P(3,1)
，且与两点
A(2,3),B(4,?5)
距离相等的直线方程为 .
2
11．直线
l:(2 m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)
与圆
C:(x?1)
与圆相交， 且
l
被圆
C
截得弦长最短时，
l
的方程为 .
12.经过两圆
?(y?2)
2
?25
可能的位置关系是 ；若直线
上的圆的方程
x
2
?y
2
?6x?4?0
和
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点，且圆心在直线l:x?y?4?0
为 .
13
、已知集合
A
＝｛
(x,y)
｜
y?3
y
∈
R
｝
B
＝
y
∈
R
｝

＝
2,x
、， ｛
(x,y)
｜
4x+ay
＝
16,x
、，若
A< br>∩
B
＝
?
，则实数
a
的值为

．
x?1
π
14、直线L
1
: 2 x + 4 y + 9 = 0 与L
2
: x + a y + 8 = 0与的夹角为 , 则实数a 的值为 _______________
4
15、过点P ( – 3 , 5 ) 的直线L 被圆x
2
+ y
2
= 25 截得弦长为8 , 则L 的方程为 ________
B的坐标为(2,0)
，则另一端点
C
的轨迹方程
.
是
________

16
、等腰三角形< br>ABC
的顶点
A(?1,0),底边一端点
17. 设△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，求直线BC的方程。

18、一条直线被两平行直线
x?3y?1?0
和
x?3y?3? 0
所截的得线段中点在直线
x?y?1?0
上，且这条直线被两平行直线截得
2
，求此直线方程。
5
22
19、已知方程
x?y?2x?4y? m?0
（Ⅰ）.若此方程表示圆，求
m
的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x?2y?4?0
相交于M，N两点，且OM
?
ON（O为坐标原点）求
m
的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
20. 过点
A< br>?
01，、
?
B
?
4，m
?
且与
x
轴相切的圆有且只有一个，求实数
m
的值和这个圆的方程.
的线段长是（Ⅰ）求证：对
m?R
，直线
l
与圆C总有两个不同交点；
? (y?1)
2
?5
，直线
l:mx?y?1?m?0
。
AP 1
?
，求此时直线（Ⅱ）设
l
与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
PB2
l
的方程。
21. 已知圆
C:x
答案： BACC BCAA
9. （27,1） 10. 4x+y-13=0或x=3 11 .相交 2x-y-5=0 12. (12,-72) x^2+y^2-x +7y-32=0
1
13 . 4
或
-2 14. a =
3

或
– 3 15. x = – 3
或
8 x + 15 y – 51 = 016.
(x?1)
2
?y
2
?9(y?0)
17. y=2x+518. 2x+y-74=0
或
x-2y+94=019.
m?5


2
m?
8
5
4816< br>(x?)
2
?(y?)
2
?
555
20. m=0或1 分别：x^2+y^2-8x -17y+16=0 x^2+y^2-4x -5y+4=0
21.



x
2
?y
2
?x?2y?1?0

m??1
，直线
l
的方程为
x?y?0
或
x?y?2?0
。
8