最新高一数学必修一必修二知识点

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必修1知识点
第一章、集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、常见集合：正整数集合：
N
*
或
N
?
； 整数集合：
Z
；
有理数集合：
Q
； 实数集合：
R
.
3、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个 元素都是集
合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，则称集合 A是集合
B的真子集.记作：AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.
并规定：空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
n
个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集 合，称为集合
A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B的所有元素组成的集合，称为
A与B的交集.记作：
A?B
.
3、全集、补集：
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.
2、如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个
函数相等.
§1.2.2、函数的表示法 解析法、图象法、列表法.
求解析式的方法：
1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法 4.方程组法
§1.3.1、单调性与最大（小）值
注意函数单调性证明的一般格式：解：设
x< br>1
,x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1
?
? f
?
x
2
?
=…
五个步骤：取值，作差，化简，定号，小结
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如 果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就 称函数
f
?
x
?
为偶函数.偶函数图象关于
y
轴< br>对称.
2、一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义 域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为奇函数 .奇函数图象关于原点
对称.
第二章、基本初等函数
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§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、一般地，如果
x
n
?a< br>，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
2、当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?a
.
n
3、⑴
a
m
?
m
a
n

?
a?0,m,n?N
*
,m?1
?
； ⑵
a?n
?
1
a
n
?
n?0
?
；
4、运算性质：
⑴
a
r
a
s
?a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?
； ⑵
?
a
r
?
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
⑶
?
ab
?
r
?a
r
b
r
?< br>a?0,b?0,r?Q
?
.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、 记住图象：
y?a
x
?
a?0,a?1
?


§2.2.1、对数与对数运算
1.
a
x
?N?log
a
N?x
2.
a
log
a
N
?a
3.
log
a
1?0
，
log
a
a?1

4.当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
(1)
log
?
?loglog
?
M
a
?
MN
a
M?
a
N
； (2)
log
a
?
?
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M
5.换底公式：
log
c
b
a
b?
log
log
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?

c
a
log
1
a
b?
log

b
a
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
§2..2.2、对数函数及其性
质
1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?


§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
y?x
a


2、幂函数单调性：

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a?0
时，在区间
(0,??)
上为增函数；
a?0
时，在区间
(0,??)
上为减函数；
3、比较多个值的大小时，常借助于-1，1，0作为中间值.
第三章、函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点
?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 性质：如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?a,b
?
上的图象是连续不断的一条
曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么，函数
y? f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有
零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检
验.






必修2知识点
第一部分 立体几何
1.三视图与直观图：⑴画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图
与侧视图高 平齐；侧视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置
几何体的直观图的要领。
棱柱：有 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面所围成的 多面体叫做棱柱。（侧棱相
等，侧面是平行四边形）
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，这
些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面与截面之间的部分，
这样的多面体叫做棱台。（侧棱延长线交于一点）
2.表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S
侧
+2S
底
；②侧面积：圆柱S
侧
=
2
?
rh
；
③体积：V=S
底
h
⑵锥体：①表面积：S=S
侧
+S
底
；②侧面积：圆锥S
侧
=
?
rl
；
③体积：V=
1
3
S
底
h：
⑶台体：①表面积： S=S
侧
+
S
上底
?
S
下底
②侧面积:圆 台S
侧
=
?
(r?r
'
)l

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③体积：V=
1
3
（S+
SS
'
?S
'< br>）h；
⑷球体：①表面积：S=
4
?
R
2
；②体积 ：V=
4
3
?
R
3
.
3.线线位置关系：< br>?
?
?
共面直线
?
?
平行
相交

?
?
?
异面直线　　
不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线。
线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
面面位置关系：平行、相交。
4.四个公理：
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
②过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过
该点的公共直线。
④平行于同一直线的两条直线平行。
5.等角定理：
空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补。
6.直线与平面平行：
判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平
面平行。
性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行。
7.平面与平面平行：
判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个
平面平行。
性质 ①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个
平面平行。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。
8.直线与平面垂直：
判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这
个平面垂直。
性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平
面垂直。
9.平面与平面垂直：
判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
10.三角形四“心”
（1）
O
为
?ABC
的外心（各边垂直平分线的交点）.
（2）
O
为
?ABC
的重心（各边中线的交点）.
（3）
O
为
?ABC
的垂心（各边高的交点）.
（4）
O
为
?ABC
的内心（各内角平分线的交点）.
11.位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；

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③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；
②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义：两平面所成二面角为直角；②面面垂
直的判定定理。
12.角：（步骤--Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）
⑴异面直线所成角的求法：
平移法：平移直线，构造三角形；
⑵直线与平面所成的角：
直接法（利用线面角定义）
(3)平面与平面所成二面角：
在半平面分别作垂直于棱的射线
13.距离：（步骤-- Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）点到平面的距
离：等体积法
14.一些结论
（1 ）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则长方体对
角线长为
a
2?b
2
?c
2
，全面积为
2ab?2ac?2bc
，体 积
V?abc
。
（2）正方体的棱长为a，则正方体对角线长为
3a
，全面积为
6a
2
，
体积V=
a
3
。
（3）球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长.
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
（4）正四面体的性质：设棱长为
a
，则正四面体的：
?高：
h< br>?
6
3
a
；②对棱间距离：
2
2
a
；③内切球半径：
6
12
a
；
④外接球半径：
6
4
a
。
第二部分 直线与圆 1.斜率公式：
k?
y
1
?y
2
x
?
y
2
?y
1
?x
，其中
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y< br>2
)
.
1
?x
2
x
21
斜率与倾 斜角的关系：（1）斜率存在：
k?
tan
?
；
（2）斜率不存在，
?
?
90
0

2.直线方程的五种形式：
(1)点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
(直 线
l
过点
(x
0
,y
0
)
，且斜率为k
)．
(2)斜截式：
y?kx?b
(
b
为直线
l
在
y
轴上的截距).
(3)两点式 ：
y?y
1
y
?
x?x
1
?x
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2(x
2
,y
2
)

x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
).
2
?y
1
x
21
(4)截距式：
x
a
?
y
b
?1
(其中
a
、
b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截距，
且
a?0,b?0
).
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(5)一般式：
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系：
（1）若
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,斜率存在的情况，则：
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,且
b
1
?b
2
；

②
l
1
?l
2
?
.
k1
k
2
??1

（2）若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2< br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,则：
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2< br>?B
2
C
1
?0，A
1
C
2
?A< br>2
C
1
?0
；
②
l
1
?l
2
?

A
1
A
2
?B
1
B
2
?0


（3）与直线Ax?By?C?0
平行的直线方程可设为
Ax?By?m?0(m?C)

与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线方程可设为
Bx?Ay?m?0

4.距离公式:
(1)点
A
1
(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
之间的距离：
AB?(x
1
?x
2
2
)?(y
1
?y< br>2
)
2
(2)点P（x
?By
0，
y
0）到直线Ax+By+C=0的距离：
d?
|Ax
00
?C|
A
2
?B
2

(3)两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
C
1< br>?C
2
2
=0的距离
d?
A
2
?B
2

（两直线A,B相同）
5.圆的方程：
⑴标准方程：
(x? a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,圆心是
(a,b)
，半径是
r


⑵一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D
2
?E
2
?4F?0)


注：Ax
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C ≠0且B=0且D
2
+E
2
－4AF>0

6.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
7.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（
d
表示点到圆心的距离）
①
d?r?
点在圆上； ②
d?r?
点在圆内；
③
d?r?
点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（
d
表示圆心到直线的距离）

①
d?r?
相切； ②
d?r?
相交；
③
d?r?
相离。
⑶圆与圆的位置关系：（
d
表示圆心距 ，
r
1
,r
2
表示两圆半径）

①
d?r
1
?r
2
?
外离；

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②
d?r
1
?r
2
?
外切；
③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相交；

④
d?r
1
?r
2
?
内切；
⑤
0?d?r
1
?r
2
?
内含。
8.空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1?
2

9.过两条相交直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直
线方程看， 可设为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
（不含直线l
2
）
10.弦长公式：
l?2r
2
?d
2

两圆公共弦直线方程：两圆方程相减，注意两圆二次项系数相同
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