高中数学必修2第2章 2.2.1

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

【课时目标】 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线
与平面平 行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．


1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
______________一条直线与_______ _________的一条直线平行，则该直线与此平面平
行．用符号表示为____________ ________________．


一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
3． 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位
置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶ FB＝1∶
3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在内 D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
6．过平行六面体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
任意两条棱的中 点作直线，其中与平面DBB
1
D
1
平
行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条

二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的面中：
(1)与直线AB平行的平面是________；

(2)与直线AA
1
平行的平面是______；
(3)与直线AD平行的平面是______．
9．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为DD
1
的中点， 则BD
1
与过点A，E，C的平面的
位置关系是______．

三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱BC、C
1
D
1< br>的中点．
求证：EF∥平面BDD
1
B
1
．






11．如图所示，P是?ABCD所在平面外一 点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝
BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．











能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的
中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求 的图形序号)

13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD 上各有一点P，Q，
且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)

直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与 平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借
助于反证法来证明．
(2)利用直线 和平面平行的判定定理：a?α，a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要
说明“不在平面内的 一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，
证明过程就不完整．因此要证明a ∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，
从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用 三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．

§2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．1 直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1．无
2．平面外 此平面内 a?α，b?α，且a∥b?a∥α
作业设计
1．A [ ①a?α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，
b还有可能异面．]
2．D 3．C 4．A 5．D
6．D

[如图所示，与BD平行的 有4条，与BB
1
平行的有4条，四边形
GHFE
的对角线与面
BB
1
D
1
D平行，同等位置有4条，总共12条，故选
D
．]
7．无数
8．(1)平面A
1
C
1
和平面DC
1
(2)平面BC
1
和平面DC
1
(3)平面B
1
C和平面A
1
C
1

9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD
1
．
10．证明 取D
1
B
1
的中点O，
连接OF，OB．
11
∵OF綊B
1
C
1
，BE綊B
1
C
1
，
22

∴OF綊BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF?平面BDD
1
B
1
，
BO?平面BDD
1
B
1
，
∴EF∥平面BDD
1
B
1
．
11．证明 连接AF延长交BC于G，连接PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
GFBFPE
∴＝＝，
FAFDEA
∴EF∥PG．
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，
连接MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
PMPEQNBQ
又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝．
ABAEDCBD
∴PM綊QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE．


方法二 如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．
DQAQ
∵KB∥AD，∴＝．∵AP＝DQ，AE＝BD，
BQQK
∴BQ＝PE．
DQAPAQAP
∴＝．∴＝．∴PQ∥EK．
BQPEQKPE
又PQ?面BCE，EK?面BCE，∴PQ∥面BCE．