人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

必 修 2知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
2直观图：斜二测画法. 步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
S

?

22

?

r

2
3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2 圆柱的表面积
?

rl

?

4 圆台的表面积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R
5 球的表面积
S?4
?
R

（二）空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S
底
?h
2锥体的体积
V?
3台体的体积
V?（S
上
?
222
2
1
3
S
上
S
下
1
S底
?h

3
4
?S
下
)?h
4球体的体积
V?
?
R
3

3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为 A∈L
A
B∈L => L α

·

L
A∈α
α
B∈α
A B
公理1作用：判断直线是否在平面内.
·

C
·

·

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
α
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
P
α
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
·

L
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：① a' 与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为
了简便，点O一般取在两直线 中的一条上；
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]
2
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与
此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示： a α
b α => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行 。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面 平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交
线平行。 符号表示：α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：直线L与平面α内的任意一条直线垂直，就说直线L与平面α垂直，记作L⊥α.
2、线面垂直判定定理：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
说明：1.证线面平行、 面面平行关键是证明线线平行，证明线线平行常用方法有：三角形中
位线定理、平行四边形的性质定理、 梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。.
????
直线与平面平行
???
????
平面与平面平 直线与直线平行
?????
性质性质
判定判定
2.证明线面垂直、面面垂直的 关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角
形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.
????
直线与平面垂直
???
????
平面与平面垂直 直线与直线垂直
?????
性质性质
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地， 当直线与x轴平行
或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180 °
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率。即
k?tan
?
。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
注意： 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
??
??
?
当< br>?
?0,90
时，
k?0
； 当
?
?90,180
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存在。
判定判定
?
?
??
②过两点P
1
(x
1
,y
1
), P
2
(x
2
,y< br>2
),x
1
≠x
2
的直线斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
注意：当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

②斜截式：
y?k x?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
（
x
1?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2?x
1
④截矩式：
?
y
?1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0, b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴
b
，< br>的截距分别为
a,b
。 （其中
a?0,b?0
）
x
a
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
倾斜角0°，k=0，此时为平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）；
倾斜角 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示． 此时为平行于y轴的
x?a
直线：（a为常数）；
（4）两直线平行与垂直 ：当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（5）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

斜率互为负倒数
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合

（6）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
，则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

Bx
2
,y
2
）
（7）点到直线距离公式：点
P
?
x
0
,y< br>0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

22
A?B
（8）两平行直线距离公式
l
2
：
A x?By?C
2
?0
，两平行线为
l
1
：
Ax?B y?C
1
?0
，则
l
1
与
l
2
的 距离
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2
注意点：x，y对应项系数应相等。
（9）平行直线与垂直直线设法：

1、圆定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆半径。
2、圆的方程
22
2
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
，圆心
a,b
，半径为 r；
222
特殊地，当
a?b?0
时，圆心在原点的圆的方程为：
x?y?r
。
222
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系如何判断？
22
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

??
1
DE
?
，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为< br>?
r?D
2
?E
2
?4F

?
?, ?
?
22
22
当
D?E?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。
需三个独立条件，若用圆的标准方程，需求出a，b，r；若用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系(用圆心到直线的距离来判断)：
直线
l:Ax?By? C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b< br>?
到l的距离
d?
Aa?Bb?C
，
22
A?B

d?r?相离???0
；
d?r?相切???0
；
d?r?相交???0
。
还 可利用直线方程与圆的方程联立方程组
?
?
Ax?By?C?0
22
?
x?y?Dx?Ey?F?0
?
22
?
2
求解，通过解的 个数来判断。
注:(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到直线距离=半径，求k，得方程
(2)过圆上一点的切线 方程：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为 (x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程
为(x
0< br>-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
22
22
2
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
?
?
y?b
1
?
?r
，
C< br>2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，公切线三条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含，无公切线；
当
d?0
时，为同心圆。
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。
5、中点坐标公式
6、两圆相交则连心线垂直平分相交弦
7、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。
8、光线反射问题：入 射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射
光线的反向延长线上

4.3.1空间直角坐标系
R
M
O
P
Q
M'
y

1、点M对 应有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间 中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做点M在此空
间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x< br>1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式

选修2－1
x
第一章：命题与逻辑结构
1、
2．真 假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
4、（1）当
p
、
q
都是真命题 时，
p?q
是真命题；有一个是假命题时，
p?q
是假命题．
（2 ）当
p
、
q
有一个是真命题时，
p?q
是真命题；两个都是 假命题时，
p?q
是假命题．
（3）对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
． 若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
5、（1）全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
3、若
全称命题
p：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
? p
：
?x??
，
?p
?
x
?
。是特称命题 。
，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
p
?
x
?
成立”（2）特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
特称命题
p
：
?x??
，
p
?
x
?
，它的否定
?p
：
?x??
，
? p
?
x
?
。是全称命题。
第二章：圆锥曲线
1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系； ②设动点
M
?
x,y
?
及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④ 将点的坐标
）的点的轨迹称为椭圆。
代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
2、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大 于
F
1
F
2
MF
1
?MF
2
?2 a
?
2a?2c
?

3、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性

离心率
4、平面内与两个定点
?b?x?b
且
?a?y?a

?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
0,?b
?
、
?2
?
0,b
?

?
1
?
?b,0?
、
?
2
?
b,0
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
，a最大

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
）的点的轨迹称为双曲线。
F
1
，
F
2< br>的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
MF
1
?MF
2
?2a
?
2a?2c
?

焦点的位置
焦点在
5、双曲线的几何性质：
x
轴上


焦点在
y
轴上


图形



标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
a
2
b
2


范围
顶点
轴长

焦点
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

焦距
对称性
离心率
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?< br>，c最大
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
b
x

a
y??
a
x

b
渐近线方程
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率？渐近线？

7、平面内与一 个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
8、 过焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，称为 “通径”，即
9、抛物线的几何性质：
???2p
．
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
对称轴
y
轴
?
p
?
F
?
?,0
??
2
?

p
??
F
?
0,
?
2
?

?
p
??
F
?
0,?
?
2
?

?
焦点
?
p
?
F
?
,0
??
2
?

准线方程
x??
p
2
x?

p
2
y??

p
2
y?

p
2

离心率
e?1

范围
焦半径

x?0

?F?x
0
?
p
2
x?0

?F??x
0
?
p
2
y?0

y?0


?F?y
0
?
p
2

?F??y
0
?
p
2

第三章：空间向量
1、空间向量的概念：2、空间向量的加法和减法：

?
1
?
向量的加法，它遵循三角形法和平行四边形法则．
?
2
?
向量的减法，它遵循三角形法则．
?0
时，
?
a与
a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；
当
?
?0
时，
?
a
为零向量，记为
0
．
?
a
的长度是
a
的长度的
?
倍．
4、< br>?
，
?
为实数，
a
，
b
是向量，则分配律：
?
a?b?
?
a?
?
b
；结合律：
??
?
a
?
?
?
??
?
a
．
3、向量的数乘运算．当
?
??
5、有向线段所在直线互相平行或重合，则这 些向量称为共线向量或平行向量。零向量与任何向量都共线．
6、向量共线充要条件：对向量
a
，
b
?
b?0
?
，
ab
的充要条件是存 在实数
?
，使
a?
?
b
．
x????yC
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
??
8、向量 共面定理：点
?
在平面
??C
内的充要条件是存在实数
x
，
y
，使
?
对空间任一定点
?
，有
??
； 或
????x???y?C
；

x???y???z?C
?
x?y?z?1
?
． < br>9、向量
a
，
b
的夹角（起点相同），记作
?a,b?
．两个向量夹角的取值范围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
10、
a
，
b
的数量积，
a?b?abcos?a,b ?
．零向量与任何向量的数量积为
0
．
或若四点
?
，?
，
?
，
C
共面，则
???
11、
a ?b
等于
a
的长度
a
与
b
在
a
的 方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
12、若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e?a ?a?e?acos?a,e?
；
?
aba与b同向
?
?
2
?
a?b?a?b?0
；
?
3
?
a?b?
?
?aba与b反向
?
?
??
??
，
a?a?a
2
，
a?a?a
；
?
4
?
cos?a, b??
13运算律
a?b
ab
；
?
5
?
a ?b?ab
．
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
?
a? b
?
?a?
?
?
b
?
；
?
3?
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
p
， 存在实数组
?
x,y,z
?
，14、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
使得
p?x a?yb?zc
．
?
a,b,c
?
称为空间的一个基底，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
15、设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
,z
2
?
，则
?
1
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
2
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?
．
?
3
?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?
4
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
5
?
若< br>a
、
b
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
6
?
若
b?0
，则
ab?a ?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1< br>?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
?
7
?
a?a?a?x
1
2
?y1
2
?z
1
2
a?b
ab
?
． ?
8
?
cos?a,b??
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
x?y?z?x? y?z
2
1
2
1
2
1
2
2
22
2
2
．
?
9
?
?
?
x< br>1
,y
1
,z
1
?
，
??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
? ?
????
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?
222
．
16、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向量分别为
a
，
b
，
则
a b?ab?
a?
?
b
?
?
?R
?
，
a?b?a?b?a?b?0
．
17、若直线
a
的方向向量为a
，平面
?
的法向量为
n
，且
a?
?
，
则
a
?
?a
?
?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
． < br>18、若空间不重合的两个平面
?
，
?
的法向量分别为
a，
b
，
则
?

?
?ab?
a?
?
b
，
?
?
?
?a?b?a?b?0
．

19、用向量法求线线角、线面角、面面角公式；点面距离公式。（略）