高中数学必修2-3

2.1.2 函数的表示方法
第1课时 函数的表示方法
学习目标 1.了 解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.
尝试作图并从图象上获 取有用的信息．

知识点一 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随 意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，
100.第x个人写下的数字为y，则x与 y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应 ，故x，y之间是函数关系，但因为
人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制 作一个表格来表示x的
值与y的值之间的对应关系．
梳理 列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
知识点二 图象法
图象法：用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
知识点三 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0)．
梳理 解析法：用代数式(或解析式)来表示函数的方法叫解析法．
函数三种表示方法的优缺点：


1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．( × )

2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．( × )
3．函数y＝f (x)的图象上任一点(x
0
，y
0
)必满足y
0
＝f(x
0
)．( √ )
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．( √ )

类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a
2
x＋ab＋b＝2x－1，
2
?
?
a＝2，
由恒等式性质，得
?

?
?
ab＋b＝－1，

??
?
a＝2，
?
a＝－2，
∴
?
或
?

?
b＝1－2
?
??
b＝1＋2.
∴所求函数解析式为
f(x)＝2x＋1－2或f(x)＝－2x＋1＋2.
1
1
x＋
?
＝x
2
＋
2
； (2 )f
?
?
x
?
x
11
1
x＋
?< br>＝x
2
＋
2
＝
?
x＋
?
2
－2， 解 ∵f
?
?
x
?
x
?
x
?∴f(x)＝x
2
－2.
11
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
xx
1
1
x＋
?
中的x＋取值范围相同， ∴f(x)中的 x与f
?
?
x
?
x
∴f(x)＝x
2
－2 ，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)f(x)＋2f(－x)＝x
2
＋2x.
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x
2
＋2x，

将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x
2
－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x
2
－6x，
1
∴f(x)＝x
2
－2x.
3
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x
都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个 关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x
换成－x，其目的是 再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
?
?
2a＝2，
由恒等式性质，得
?

?
?
3a＋2b＝9，
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x
2
＋4x＋1；
解 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)
2
＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t
2
＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x
2
＋2x－2.
1
?
( 3)2f
?
?
x
?
＋f(x)＝x(x≠0)．
1
?
1
解 ∵f(x)＋2f
?
＝x，将原式中的x与互换，
?
x
?
x

1
?
1
得f
?
＋2f(x)＝.
?
x
?
x
?
于是得关于f(x)的方程组
?
?1
?
＋2f?x?＝
1
，f
?
?
x
?
x
2x
解得f(x)＝－(x≠0)．
3x3
类型二 图象的画法及应用
命题角度1 画函数图象
例2 试画出函数y＝1－x
2
的图象．
1
?
f?x?＋2f
?
?
x
?
＝x，


解 由1－x
2
≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.
13
x＝±时，y＝.
22

利用以上五点描点连线，即得函数y＝1－x
2
的图象如下：

反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些 关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实
心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
2
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
x
(3)y＝x
2
＋2x，x∈[－2,2]．
解 (1)列表：

x
y

0
1
1

2
2
1
3
3

2
4
2
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，
观察图象可知，其值域为[1,5]．

(2)列表：
x
y
2
1
3
2

3
4
1

2
5
2

5
…
…
2
当x∈ [2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
x

(3)列表：
x
y

画图象，图象是抛物线y＝x
2
＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图象可得函数的值域是[－1,8]．
－2
0
－1
－1
0
0
1
3
2
8

命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．

答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3 函数f(x)＝x
2
－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有2个交点，求实数m的取值范围．
解 f(x)＝x
2
－4x＋3(x≥0)图象如图，

f(x)与直线y＝m的图象有2个不同交点，
由图易知－1
类型三 列表法及函数表示方法的选择
例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号
姓名
成绩
王伟
张城
98
90
87
76
91
88
92
75
88
86
95
80
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次

赵磊
班级平均分

68
88.2
65
78.3
73
85.4
72
80.3
75
75.7
82
82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：

(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同 学
的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成
绩 低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能
用其中的一种来表示．
跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：
x
f(x)

则f(f(1))＝________.
答案 1
解析 ∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.

0
3
1
2
2
1
3
0

1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
f(x)

1
3
2
2
3
4
4
1

A.1
C．3
答案 A
B．2
D．4
2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二 次函数的解析
式可以是( )
A．f(x)＝x
2
－1
B．f(x)＝－(x－1)
2
＋1
C．f(x)＝(x－1)
2
＋1
D．f(x)＝(x－1)
2
－1
答案 D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
2
x
2
2
x
4
2
x
8
2
x
16


答案 A
4．某同学从家到学校，为了不迟到，先跑，跑 累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，
离家的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )

答案 C
5．画出y＝2x
2
－4x－3，x∈(0,3] 的图象，并求出y的最大值，最小值．

解 y＝2x
2
－4x－3(0

由图易知，当x＝3时，y
max
＝2×3
2
－4×3－3＝3.
由y＝2x
2
－4x－3＝2(x－1)
2
－5，
∴当x＝1时，y
min
＝－5.

1．如何求函数的解析式 < br>求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理
的操 作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要
方法有：待定系 数法、换元法、解方程组法(消元法)．
2．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有 三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，
再在定义域内化简函数解析式，最后列 表描出图象．画图时要注意一些关键点，如与坐标轴
的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
课时对点练
一、选择题
1．一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在 函数f(x)的图象上的是( )
A．(2,1)
C．(1,2)
答案 C
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
B．(－1,1)
D．(3,2)

又图象过点A(－1,0)，B(2,3)，
?
?
－k＋b＝0，
则有
?

?
?
2k＋b＝3，
?
?
k＝1，
解得
?
故y＝x＋1.
?
?
b＝1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
2．一个面积为100 cm
2
的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y
表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0)
50
C．y＝(x>0)
x
答案 C
x＋3x
解析 由·y＝100，得2xy＝100.
2
50
∴y＝(x>0)．
x
1
?
x
3 ．如果f
?
＝
?
x
?
1－x
，则当x≠0,1时， f(x)等于( )
1
A.
x
1
C.
1－x
答案 B
1
?
11x
解析 令＝t，则x＝，代入f
?
＝
?
x
?
1－x
，
xt
1
则有f(t)＝＝，故选B.
1
t－1
1－
t
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
1
t
1
B.
x－1
1
D.－1
x
B．y＝100x(x>0)
100
D．y＝(x>0)
x



A．f(x)＝(x－a)
2
(b－x)

B．f(x)＝(x－a)
2
(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)
2
(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)
2
(x－b)
答案 A
解析 由图象 知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故选
A.
x
5．函数y＝的大致图象是( )
1＋x


答案 A
x
解析 y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
1＋x
当x＝0时，y＝0，排除B.
6．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
答案 B
t－2
解析 设t＝3x＋2，则x＝，
3
所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，
所以f(x)＝3x＋2.
二、填空题
1－x
2
1
?< br>7．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝
2
，则f
?
?
2
?
的值为______．
x
答案 15

11
解析 令1－2x＝，则x＝，
24
1
?2
1－
?
?
4
?
1
?
∴f
?
＝＝15.
?
2
?
1
2
??
?
4
?
8．若正比例函数y＝(m－1)xm
2
－3的图象经过第二、四象限， 则m＝________.
答案 －2
解析 因为y＝(m－1)xm
2
－3是正比例函数，
所以有m
2
－3＝1，m＝±2.
又图象经过第二、四象限，所以m＝－2.
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 ：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
f(x)
g(x)

答案 2或4
解析 x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
10．如图，函数f(x)的图 象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则f(f( f(2)))＝________.
1
1
3
2
3
2
3
1
3
4
3
2

答案 2
解析 由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.
三、解答题

1
1
1＋
?
＝
2
－1的函数f(x)． 11．求满足f
?
?
x
?
x
11
解 令t＝1＋(x≠0)，则x＝(t≠1)，
x
t－1
所以f(t)＝(t－1)< br>2
－1＝t
2
－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x
2
－2x(x≠1)．
12．已知f(x)＝x
2
－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.
(1)求f(x)的解析式；
1
??
(2)求f
??
的解析式及其定义域．
?
x＋1
?
2
??
?
f?1?＝1－b＋c＝0，
?
b＝6，
解 (1)由
?
解得
?

2
??
?
f?2?＝2－2b＋c＝－3，
?
c＝5.

∴f(x)＝x
2
－6x＋5.
?
1
??
1?
2
6
(2)f
?
＋5
?
＝
??< br>－
?
x＋1
??
x＋1
?
x＋1
＝－
x＋1
16
x＋1
＋5.
由x＋1>0，得定义域为(－1，＋∞)．
13．画出函数f(x)＝－x
2
＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x
1
2
<1，比较f(x
1
)与f(x
2
)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
解 因为函数f(x)＝－x
2
＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
y

描点，连线，得函数图象如图：
…
…
－2
－5
－1
0
0
3
1
4
2
3
3
0
4
－5
…
…

(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x
1
< x
2
<1时，有f(x
1
)2
)．
(3 )根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域
为(－ ∞，4]．
四、探究与拓展
14．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀 速行驶，过了一段时间，火车
到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行 驶，下列图象可
以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )

答案 B
解析 根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B，C符合题意，然 后匀速
行驶一段时间后又停止了一段时间，故选B.
15．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.