高中数学必修2-4

第2课时 分段函数
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．

知识点 分段函数
思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B 中的y
＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？
答案 算函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理 1.分段函数的定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的 函数通常
叫做分段函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域 、值域的并集；各段函数
的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( × )
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.( × )
3．分段函数的图象一定是不连续的．( × )

类型一 建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为22 cm，
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形< br>分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．

解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.

因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
1
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x
2
；
2
x＋x－2
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
2
11
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S
五边形
ABFED
＝S
梯形
ABCD
－S
Rt
△
CEF< br>＝(7＋3)×2－(7－
22
x)
2

1
＝－(x－7)
2
＋10.
2
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
?
y＝
?
2x－2，x∈?2，5]，
?x－7?＋10，x∈?5，7].
?
－
1< br>2
2
1
2
x，x∈[0，2]，
2


图象如图所示：

反思与感悟 当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需 要用分段函数模型来表示
两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条 线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出
函数的图象．

解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
?
?< br>3，5由题意得函数的解析式为y＝
?
4，10?
?
5，15

函数图象如图所示：
2，0



类型二 分段函数的求值问题
命题角度1 给x求y
x＋1，x≤－2，
?
?
2
例2 已知函数f(x)＝
?
x＋2x，－2?
?
2x－1，x ≥2.

?
－
5
??
的值． 试求f(－5)，f(－3)，f
?
f
??
2
??
解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－3∈(－2,2)，
∴f(－3)＝(－3)
2
＋2(－3)
＝3－23，
5
∵－∈(－∞，－2]，
2
5
53
－
?
＝－＋1＝－∈(－2,2)， ∴f
?
?
2
?
22
?
－
5
??
＝f
?
－
3
?
＝
?
－
3
?
2
＋2
?
－
3
?
＝－
3
. ∴f
?
f
??
2
???
2
??
2
??
2
?
4
引申探究
本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解 当－5≤x≤－2时 ，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；当－22
＋2x＝(x＋1 )
2
－1∈

[－1,8)；
当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x
0
))的形式时，应从内到 外依次求值．
x＋4，x≤0，
?
?
2
跟踪训练2 已知函数f( x)＝
?
x－2x，0?
?
－x＋2，x>4.
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解 (1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝1
2
－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：



命题角度2 给y求x
?
?
2x，x≤2，
例3 已知函数f(x)＝
?
2

?
x＋2，x>2.
?

(1)若f(x
0
)＝8，求x
0
的值；
(2)解不等式f(x)>8.
解 (1)当x
0
≤2时，由2x
0
＝8，得x
0
＝4，不符合题意；
当x
0
>2时，由x
2
0
＋2＝8，得x
0
＝6或x
0
＝－6(舍去) ，故x
0
＝6.

?
?
x≤2，
(2)f( x)>8等价于
?
①
?
2x>8，
?
?
?
x>2，
或
?
②
2
?
?
x＋2>8，
解①得x∈?，解②得x>6，综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>6}．
反思与感悟 已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出字母的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论 区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值
并起来．
?
x
2
，－1≤x≤1，
?
跟踪训练3 已知f(x)＝
?

?
1，x>1或x<－1.
?



(1)画出f(x)的图象；
1
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
4
(3)求f(x)的值域．
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

1
11
?
－∞，－
1
?
∪
?
1
，＋∞
?
.
±
?
＝，(2)由于f
?
结合此函数图象可知，使f(x)≥ 的x的取值范围是
2
??
2
?
2
?
4
??
4
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x
2
的值域为[0,1] ，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．

?
0，x＞0
1．已知函数f(x)＝
?
，
?
－π，x＝0，
?
?
x
2
＋1，x＜0，

则f(－1)的值等于( )
A．1 B．2 C．－π D．0
答案 B
解析 f(－1)＝(－1)
2
＋1＝2.
?
?
1< br>x＋1
，x＜1，
2．已知函数f(x)＝
?

则f(2)等于( )
?
?
x－1，x＞1，
A．0 B.
1
3

C．1 D．2
答案 C
解析 f(2)＝2－1＝1.
?
x＋1，x>0，
3．设f(x)＝
?
?
1，x＝0，
则f(f(0))等于( )
?
?
－1，x<0，

A．1 B．0 C．2 D．－1
答案 C
4．已知函数y＝
?
?
?
x
2
＋1，x≤0，
?
则使函数值为5的x的值是( )
?
－2x，x>0，

A．－2或2 B．2或－
5
2

C．－2 D．2或－2或－
5
2

答案 C
?
1，x>0，
5．设f(x)＝
?
?
0，x＝0，
?
?
－1，x<0，

g(x)＝
?
?
?
1，x为有理数，
?
则f(g
?
0，x为无理数，

(π))的值为(
A．1 B．0
C．－1 D．π
答案 B

对分段函数的理解
)

(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段 函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以
决定这些点的虚实情 况．

一、选择题
?
?
－x，x≤0，
1．设函数f( x)＝
?
2
若f(α)＝4，则实数α等于( )
?
x，x>0，
?

A．－4或－2
C．－2或4
答案 B
B．－4或2
D．－2或2
解析 当α≤0时，f(α)＝－ α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α
2
＝4，得α＝2.∴α＝－4或
α ＝2.
x＋1，x≤1，
?
?
2．设函数f(x)＝
?
2
则f(f(3))等于( )
，x＞1，
?
?
x
1
A.
5
2
C.
3
答案 D
2
?
2
213
解析 ∵f(3)＝，∴f(f(3))＝
?
＋1＝.
?
3
?
3 9
2x，0≤x≤1，
?
?
3．函数f(x)＝
?
2，1< x<2，
?
?
3，x≥2
A．R
C．[0,3]
答案 D
解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．
2
2

B．3
13
D.
9

的值域是( )
B．[0，＋∞)
D．{x|0≤x≤2或x＝3}

?
?
2，x∈[－1，1]，
4．已知函数f(x)＝
?若f(f(x))＝2，则x的取值范围是( )
?
x，xD∈[－1，1]，
?

A．?
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．{2}∪[－1,1]
答案 D
解析 若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符 合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)
＝x＝2，此时只有x＝2符合题意； 若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，
此时没有x符合 题意．综上，选D.
?
?
1，x取有理数时，
5．著名的Dirichle t函数D(x)＝
?
则D[D(x)]等于( )
?
0，x取无理数时，
?

A．0
B．1
?
?
1，x取无理数时
C.
?

?
0，x 取有理数时
?
?
?
1，x取有理数时
D.
?

?
0，x取无理数时
?


答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D[D(x)]＝1.
6．某单位为鼓 励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，
按每立方米m元收费；用水 超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月
缴水费16m元，则该职工这个月实际 用水为( )
A．13立方米
C．18立方米
答案 A
B．14立方米
D．26立方米
?
?
mx，0≤x≤10，
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
?

?
?
2mx－10m，x>10.
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13.

二、填空题
2x，0≤x≤1，
?
?
7．函数f(x)＝
?
2，1?
?
3，x≥2
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
??
?
x，x> 0，
?
x，x≤3，
8．分段函数f(x)＝
?
可以表示为f(x) ＝|x|，分段函数f(x)＝
?
可表示为f(x)
?
－x，x≤0
?
3，x>3
??
?
?
6，x<6，
1
＝(x＋3 －|x－3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)＝
?
可表示为f(x)＝________ .
2
?
?
x，x≥6

的定义域是________．


考点
题点
1
答案 (x＋6＋|x－6|)
2
?
?
x，x≤3，
1
解析 因为f(x)＝
?< br>可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3，从而式子中含
2
?
?
3，x>3
有x＋3与x－3，并通过|x－3|前面的“－”构造出需要的结果的形式． 所以，对于分段函数

?
?
6，x<6，
f(x)＝
?其分界点为6，故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时f(x)＝6，故|x－6|
?
?
x，x≥6，
1
的前面应取“＋”．因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
2
?
?
1，x≥0，
9．已知f(x)＝
?
则不等 式xf(x)＋x≤2的解集是________．
?
0，x<0，
?


答案 {x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤ 2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，
代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2， ∴x<0.综上可知x≤1.
?
?
b，a≥b，
10．若定义运算a⊙b＝
?
则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
?
a，a?

答案 (－∞，1]
?
?
2－x，x≥1，
解析 由题意知f(x)＝
?

?
?
x，x<1.

画出图象为

由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
2
?
?
x＋bx＋c，x≤0，
11．设函数f(x)＝
?
若f(－2)＝f(0 )，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x
?
2，x>0，
?

的解．
解 ∵当x≤0时，f(x)＝x
2
＋bx＋c，
∴f(－2)＝(－2)
2
－2b＋c，f(0)＝c，
f(－1)＝(－1)
2
－b＋c.
∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
2
?
?
?－2?－2b＋c＝c，
∴
?

2
?
?
?－1?－b＋c＝－3，

?
?
b＝2，
解得
?

?
c＝－2.?
2
?
?
x＋2x－2，x≤0，
则f(x)＝
?
?
?
2，x>0，


当x≤0时，由f(x)＝x得，x
2
＋2x－2＝x，
得x＝－2或x＝1.
由于x＝1>0，所以舍去．
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2，
所以方程f(x)＝x的解为－2,2.
12．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，
用x 表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．

解 当点P在BC上运动，
1
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
2
1
当点P在CD上运动，即42
当点P在DA上运动，即81
y＝×4×(12－x)＝24－2x.
2
2x，0≤x≤4，
?
?
综上可知，f(x)＝
?
8，4?
?
24－2x，813．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4. 4，x≤－1，
?
?
∴f(x)＝
?
－2x＋2，－1?
?
－4，x>3.




(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
?
x≤－1，
(2)f(x)>0，即
?
①
?
4>0

?
?
－1或
?
②
?< br>－2x＋2>0
?
?
?
x>3，
或
?
③
?
?
－4>0，
解①得x≤－1，解②得－1∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．

(3)f(x)的图象如下：



由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
四、探究与拓展
?
?
2，n＝0，
14．已知函数f(n)＝?
则f(5)的值是( )
?
nf?n－1?，n∈N
＋
，
?

A．4 B．48 C．240 D．1 440
答案 C
?
?
2，n＝0，
解析 因为f(n)＝
?

?< br>nf?n－1?，n∈N
＋
，
?
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f (3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝
5×4×3 ×2×1×2＝240.故选C.
－2x，x<－1，
?
?
15．已知函数 f(x)＝
?
2，－1≤x≤1，

?
?
2x，x>1.< br>311
－
?
，f
??
，f(4.5)，f
?
f
???
； (1)求f
?
?
2
??
2
? ??
2
??
(2)若f(a)＝6，求a的值．
3
解 (1)∵－∈(－∞，－1)，
2

33
－?
＝－2×
?
－
?
＝3. ∴f
?
?
2
??
2
?
1
?
1
∵∈[－1,1]，∴f
?
?
2
?
＝2.
2
?
1
??
＝f(2)＝2×2＝4. 又2∈(1，＋∞)，∴f
?
f
??
2
??
∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5) ＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.