人教版高中数学必修2全部精品导学案

必修2 第一章
⑵圆锥：
§2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计
算
【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完
成下面填空

1．
棱柱、棱锥、棱台的本质特征

⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即
底面 ），②其余各面（即侧面）
每相邻两个面的公共边都互相平行
（即侧棱都 ）.

⑵棱锥：①有一个面（即底面）
是 ，②其余各面（即侧面）
是 .

⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一
点，

②两底面是平行且相似的多边形。


2．
圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征

⑴圆柱：

.


.

⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆，

②过轴的截面都是全等的等腰梯形，

③母线长都相等，每条母线延长后都
与轴交于同一

点.

(4)
球：
.


3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面
积和体积的计算公式

(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展
开图分别是

①若

干个小矩形拼成的一
个 ，

②若干

个 ，

③若干
个 .








（2）表面积及体积公式：



4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面
积和体积的计算公式




5．球的表面积和体积的计算公式





【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．下列命题正确的是（ ）

(A).有两个面平行,其余各面都是四
边形的几何体叫棱柱。

(B)有两个面平行,其余各面都是平行
四边形的几何体叫棱柱。

(C) 有两个面平行,其余各面都是四
边形,并且每相邻两个四边形的公共
边都互相 平行的几何体叫棱柱。
(D)用一个平面去截棱锥，底面与截面
之间的部分组成的几何体叫棱台。


2．根据下列对于几何体结构特征的描
述，说出几何体的名称：

（1）由8 个面围成，其中两个面是互
相平行且全等的六边形，其他面都是
全等的矩形。

（2）一个等腰三角形绕着底边上的高
所在的直线旋转180°形成的封闭曲
面所围成的图形 。


3．五棱台的上下底面均是正五边形，

边长 分别是6cm和16cm，侧面是全等
的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的
侧面面积。





4．一个气球的半径扩大
a
倍，它的体
积扩大到原来的几倍






强调（笔记）：





【课中35分钟】边听边练边落实

5．如图：右边长方体由左边的平面
图形围成的是（ ） （图在教
材P8 T1 (3)）
















6．已知圆台的上下底面半径分别是
r，R，且侧面面积等于两底面面积之
和，求圆台 的母线长。







7．如图，将 一个长方体沿相邻三个面
的对角线截出一个棱锥，求长方体
的体积与剩下的几何体的体积的比。



8．一个正方体的顶点都在球面上，它
的棱长是2cm，求球的体积与表面积。

强调（笔记）：




【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

3.

4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1.填空题：

（1）正方形边长扩大n倍，其面积扩
大 倍；长方体棱长扩大n倍，其表
面积扩大 倍，体积扩大 倍。

（2） 圆半径扩大n倍，其面积扩大
倍；球半径扩大n倍，其表面积扩大
倍，体积扩大 倍。

（3） 圆柱的底面不变，体积扩大到
原来的n倍，则高扩大到原来的 倍；
反之，高不变，底面半径扩大到原来

的 倍。


2．已知各面均为等边三角形的四面体

S-ABC的棱长为1，求它的表面积与体
积。








3．
直角三角形三边长分别是
3cm,4cm,5cm，绕着三边旋转一周分
别形成三个几何体，求出它们的表
面积和体积 。

分别是从物体的 、 、
看到的物体轮廓线即正投影（被遮挡
的轮廓线要画虚线）。


互助小组长签名：

必修2 第一章

§2-2 投影与三视图

【课前预习】阅读教材P11-18完成下
面填空

1.中心投影、平行投影

⑴ 叫
中心投影,

⑵ 叫
平行投影，投影线正对着投影面时，
叫 ，否则叫斜投影.


2.空间几何体的三视图、直观图

平行投影下的正投影包括斜二测法
和三视图:

(1)三视图的正视图、左视图、俯视图
(2)直观图的斜二测画法

①在已 知图形中取互相垂直的x轴和y
轴，两轴相交于O点，画直观图时，
把它们画成对应的x
′
轴与y
′
轴,两轴
交于O
′
,且使∠x
′O
′
y
′
= ,它们确
定的平面表示水平面；

②已知图形中平行于x轴或y轴的线
段，画成


；

③已知图形中平行于x轴的线段，在
直观图中长度

，平行于y轴的线段，长
度 .


【课初5分钟】课前完成下列练习，

课前5分钟回答下列问题

1．下列三视图对应的几何体中，可以
看作不是简单组合体的是（ ）.


A B C D


2 ．根据下列描述，说出几何体的结构
特征，并画出它的三视图：由五个面
围成，其中一个面是正 四边形，其余
四个面是全等的等腰三角形的几何
体。







3．下列结论正确的有

（1）角的水平放置的直观图一定是
角；

（2）相等的角在直观图中仍然相等；

（3）相等的线段在直观图中仍然相
等；

（4）若两条线段平行，则在直观图中
对应线段仍然平行


4．利用斜二测画法得到的结论正确的
是

（1）三角形的直观图是三角形；

（2）平行四边形的直观图是平行四边
形；

（3）正方形的直观图是正方形；

（4）菱形的直观图是菱形


强调（笔记）：







【课中35分钟】边听边练边落实

5．画出下列几何体的三视图：

6．根据下列三视图，画出对应的几
何体：










7．用斜二测画法画出水 平放置的一角
为60°，边长为4cm的菱形的直观
图。










8．已知正三角形ABC 的边长为
a
，求
出正三角形的直观图三角形
A
'
B
'
C
'
的面
积。












强调（笔记）：





【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1. 一个几何体的三视图如图所示，则
该几何体的体积等于（ ）.


A.
8?
4
?
3
B.
4?
4
?
3
C.
8?4
?
D.
10
?
3



2． 已知几何体的三视图如下，画出
它们的直观图：








3．下列图形表示水平放置图形的直观
图，画出它们原来的图形.







互助小组长签名：
必修2 第二章

§2-3 平面概念、公理

【课前预习】阅读教材P40-43完成下
面填空

1.平面及画法




2.三个公理：

公理1：文字语言：
符号语言：
图形语言：

线
?
?
,
?
重合

公理2：文字语言：


2．下列结论中，错误的是（ ）

符号语言：

图形语言：



公理3：文字语言：
符号语言：
图形语言：



注意：公理1的作用：直线在平面上
的判定依据；

公理2的作用：确定一个平面的依据，
用其证明点、线共面；

公理3的作用 ：判定两个平面相交的
依据，用其证明点在直线上——两平
面的公共点一定在交线上.


【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．下列推断中，错误的是（ ）.

A．
A?l,A?
?< br>,B?l,B?
?
?l?
?

B．
A?
?< br>,A?
?
,B?
?
,B?
?
?
??
?AB

C．
l?
?
,A?l?A?
?

D．
A,B,C?
?
,A,B,C?
?
，且
A、B、C不共
A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和这条直线外一点确
定一个平面

C．经过两条相交直线确定一个平面


D．经过两条平行直线确定一个平面



3．用符号表示下列语句，并画出相应
的图形：

（1）直线
a
经过平面
?
外的一点M;

（2）直 线
a
既在平面
?
内，又在平面
?
内;




4．如图，试根据下列要求，把被遮挡
的部分改为虚线：

（1）AB没有被平面
?
遮挡；

（2）AB被平面
?
遮挡

强调（笔记）：





【课中35分钟】边听边练边落实

5．如果一条直线与两条平行直线都相
交,那么这三条直线是否共面








6．在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，

（1）
AA
1
与
CC
1
是否在同一平面内

（2）点
B,C
1
,D
是否在同一平面内

（3） 画出平面
AC
1
与平面
BC
1
D
的交线，
平面
ACD
1
与平面
BDC
1
的交线.









7．空间四边 形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BC
、
CD
、
DA
上的点，已知
EF
和
GH
交于
P
点，求证：
EF< br>、
GH
、
AC
三线共点.









8．
?ABC
在平面α外，
AB
?
?P
，
BC
?
?Q
，
AC
?
?R
，求证：
P
，
Q
，
R
三点 共线.












强调（笔记）：

【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

号依次是 .

① 梯形的四个顶点共面；

② 三条平行直线共面；

1.


2.

3.

4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．下列说法中正确的是（ ）.

A. 空间不同的三点确定一个平面

B. 空间两两相交的三条直线确定一
个平面

C. 空间有三个角为直角的四边形一
定是平面图形

D. 和同一条直线相交的三条平行直
线一定在同一平面内


2．给出下列说法，其中说法正确的序
③ 有三个公共点的两个平面重合；

④ 每两条都相交并且交点全部不同
的四条直线共面.



3．已知空间四点中无任何三点共线，
那么这四点可以确定平面的个
是

数
.


4．

下面四个叙 述语（其中A,B表示点，
a
表示直线，
?
表示平面）

①
A?
?
,B?
?
,?AB?
?
；

②
A?
?
,B?
?
,?AB?
?
；

③
A?a,a?
?
,?A?
?
；

④
A?
?
,a?
?
,?A?a
.

其中叙述方式和推理都正确的序号是

5．在棱长为
a< br>的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中M,N分别是AA
1
，D
1
C
1
的中点，过点D，< br>M，N三点的平面与正方体的下底面
A
1
B
1
C
1< br>D
1
相交于直线
l
，

（1）画出直线
l
；

（2）设
lA
1
B
1
?P
，求PB
1
的长；

（3）求D
1
到
l
的距离.



















互助小组长签名：

必修2 第二章

§2-4 空间直线位置关系

【课前预习】阅读教材P44-50完成下
面填空

1．空间两直线的位置关系和异面直线
的概念与画法

(1)
?
?
?
相交直线： ；
?
共面直线
?
?
?
平行直线： ；

?
异面直线： .
（注意：常用平面衬托法画两条异面
直线）


（2）已知两条异面直线
a,b
，经过空间
任一点
O
作直线 ，把
a
?
,b
?
所成的锐角（或直角）叫异面直线
a,b< br>所
成的角（或夹角）.


注意：①
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的
选择无关，为了简便，点
O
通常取在异
面直线的一条上；


②异面直线所成的角的范围
为 ，



③如果两条异面直线所成的角是直
角，则叫两条异面直线垂直，记作
a?b
.


2．空间直线和平面的位置关系

（1）直线与平面相
交： ；

直线在平面
内： ；

直线与平面平
行： .


（2）直线在平面外——直线和平面相
交或平行，记作a
?< br>α包括a∩α=A和
a∥α


3．空间平面与平面的位置关系

平面与平面平
行: ；

平面与平面相
交: .



【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．分别在两个平面内的两条直线间的
位置关系是（ ）.

A. 异面 B. 平行
C. 相交 D. 以上都有
可能


2．直线
l
与平面
?
不平行，则（ ）.

A.
l
与
?
相交 B.
l
?
?


C.
l
与
?
相交或
l
?
?
D. 以上结论
都不对


3．若两个平面内分别有一条直线，这
两条直线互相平行，则这两个平面的
公共点个数（ ）.

A.

有限个 B. 无限个

C. 没有 D. 没有或无限
个


4．如果
OA
∥
O
'< br>A
'
,
OB
∥
O
'
B
'
， 那么
?AOB
与
?AO
''
B
'
（大
小关系）.



强调（笔记）：





【课中35分钟】边听边练边落实

5．如图，已知长方体
ABCD-A'B'C'D'
中，
AB?3
,
AD?3
，
AA
'
?1
.

''
（1）
BC
和
AC
所成的角是多少度

（2）
AA
'
和
BC
'
所成的角是多少度


















8．三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧棱垂直底
面，

∠BCA=90°，点D
1
、F
1分别是A
1
B
1
、A
1
C
1

的中点.若BC=CA=CC
1
，求BD
1
与AF
1
所
成的角的余弦值.








6．下图是正方体平面展开图，在
这个正方体中：

①
BM
与
ED
平行； ②
CN
与
BE
是异面直线；

③
CN
与
BM
成60?角； ④
DM
与
BN
垂直.

以上四个说法中，正确说法的序号依
次是 .







N
D
E
强调（笔记）：

CM
B
F
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.





A
7．已知空间四边形
ABCD
各边长与对
角线都相等，求
AB
和
CD
所成的角的
大小.

（3
2.

）若空间四边形ABCD 的对角线AC

与
形.

3.

BD 相等，则EFGH 是

4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．两条直线
a
,
b
分别和异面直线
c
,
d
都相交，则直线
a
，
b
的位置关系是
（ ）.

A. 一定是异面直线

B. 一定是相交直线

C. 可能是平行直线

D. 可能是异面直线，也可能是相交直
线


2．E、F、G、H 是空间四边形ABCD 的
边AB、BC、CD、DA 的中点，

（1）EFGH 是 形；

（2）若空间四边形ABCD 的对角线AC
与BD 垂直，则EFGH 是
形；






3．若一条直线与两个平行平面中的一
个平面平行，则这条直线与另一平 面
的位置关系是 .





4．正方体各面所在平面将空间分成
（ ）个部分.

A. 7 B. 15 C. 21
D. 27





5．一个平面内不共线的三点到另一个
平面的距离相等且不为零，则这两个
平面（ ）.

A. 平行 B. 相交


C. 平行或垂合 D. 平行或相交

6．正方 体AC
1
中，E,F分别是A
1
B
1
,B
1
C
1
的中点，求异面直线DB
1
与EF所成角
的大小.
















互助小组长签名：

必修2 第二章

§2-5 空间平行关系（1）

【课前预习】阅读教材P54-57完成下
面填空

1．直线与平面平行判定定理：

（1）定义： ，则直线
和平面平行.

（2）判定定
理： ，
则该直线与此平面平行.


图形语言：



符号语言
为： .


2．平面与平面平行判定定理：

（1）定义： ，则平
面和平面平行.

（2）判定定
理： ，
则这两个平面平行

.


图形语言：



符号语言
为： .



【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．已知直线
l
1
、
l
2
, 平面α,
l
1
∥
l
2
,
l
1
∥α, 那么
l
2
与平面α的关系是
（ ）.

A.
l
1
∥α B.
l
2
?
α A.

α、β都平行于直线
l

C.
l
2
∥α或
l
2
?
α D.
l
2
与α相
交


2．以下说法（其中
a,b
表示直线，表
示平面）

①若
a
∥
b
，
b
，则
a
∥

②若
a
∥，
b
∥，则
a
∥
b

③若
a
∥
b
，
b
∥，则
a
∥

④若
a
∥，
b
，则
a
∥
b

其中正确说法的个数是（ ）.

A. 0个 B. 1个 C. 2个
D. 3个


3．下列说法正确的是（ ）.

A. 一条直线和一个平面平行，它就和
这个平面内的任一条直线平行

B. 平行于同一平面的两条直线平行

C. 如果一个平面内的无数条直线平
行于另一个平面，则这两个平面平行

D. 如果一个平面内任何一条直线都
平行于另一个平面，则这两个平面平
行


4．在下列条件中，可判断平面α与β
平行的是（ ）.

B. α内存在不共线的三点到
β
的距
离相等

C.
l
、
m
是α内两条直线，且
l
∥
β
，
m
∥
β

D.
l
、
m
是两条异面直线，且
l
∥α，
m
∥α，
l
∥β，
m
∥β



强调（笔记）：






【课中35分钟】边听边练边落实

5．在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、
F
分
别为棱
BC
、
C
1
D
1
的中点. 求证：
EF
∥平
面
BB
1
D
1
D.














6．如图，已知
P
是平行四边形
ABCD

所在平面外一点，
M、N
分别是
AB、PC
的中点

（1）求证：
MN
MN?BC?4
PA?43













7．在正方体
ABCD
—
A
1
B1
C
1
D
1
中，
M
、
N
、< br>P
分别是
C
1
C
、
B
1
C
1
、
C
1
D
1
的中点，求证：
平面
MNP
∥平面
A
1
BD
.











8．直四棱柱
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD
为正方形，边长为2,侧棱
A
1
A?3
，
M< br>、
N
分别为
A
1
B
1
、
A
1
D
1
的中点，
E
、
F
分别是
B
1
C
1
、
C
1
D
1
的中点.

（1）求证：平面
AMN
∥平面
EFDB
；

（2）求平面
AMN
与平面
EFDB
的距离.















强调（笔记）：




【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

3.

4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．已知
a
，
b
是两条相交直线，
a
∥，
则
b
与的位置关系是（ ）.

A.
b
∥ B.
b
与
C.
b
?
α D.
b
∥
相交



相交

5．
P
是平行四边形
ABCD
所在平面外一
点，
E
为
PB
的中点，
O
为
AC
，
BD
的交
点.

（1）求证：
EO‖
平面
PCD
；

（2）图中
EO
还与哪个平面平行





或
b
与
2．如果平面外有两点
A
、
B< br>，它们到
平面的距离都是
a
，则直线
AB
和平
面的位 置关系一定是（ ）.

A. 平行 B. 相交

C. 平行或相交 D.
AB


3．如果 点
M
是两条异面直线外的一点，
则过点
M
且与
a
，
b
都平行的平面
（ ）.

A. 只有一个 B. 恰有两个

6．已知四棱锥
P-ABCD
中, 底面
ABCD
为平行四边形. 点
M、N、Q
分别在
PA、
P

BD、PD
上, 且
PM
：
MA
=
BN
：
ND
=
P Q
：
QD
.
Q
M
C

求证：面
MNQ
∥面
D

PBC
.

N
B










C. 或没有，或只有一个 D. 有无
数个


4．已知
a
、
b
、< br>c
是三条不重合直线，
、、是三个不重合的平面，下
列说法中：

⑴
a
∥
c
，
b
∥
c
?
a
∥
b
； ⑵
a
∥，
b
∥
?
a
∥
b
； ⑶
c
∥，
c
∥
?
∥；⑷ ∥，∥
?
∥；
⑸
a
∥
c
，∥
c
?
a
∥； ⑹
a
∥，
∥
?
a
∥.

其中正确的说法依次
是 .

互助小组长签名：
必修2 第二章

§2-6 空间平行关系（2）

【课前预习】阅读教材P58-61完成下
面填空

1．直线与平面平行性质定理：

①
?

?
,l?
?
?l
?
；

②
?

?
,l?
?
?l?
?；

③夹在平行平面间的平行线段相等.


性质定理：一条直线与一个平面平行，


.


图形语言：




符号语言
为： .


2．平面与平面平行性质定理：

（1）性质定
理：
.


图形语言：




符号语言
为： .


（2）其它性质：

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．已知直线
l
A. 平行 B.
异面

C. 相交 D. 平行或异面


2．下列说法错误的是（ ）

A.一条直线若同时平行于两个相交平
面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.

B.平面外的两条平行直线中的一条平
行于这个平面，则另一条也平行于这
个平面

C. 若直线
a
、
b
均平行于平面α，则
a与
b
平行

D. 夹在两个平行平面间的平行线段
相等


3．下列说法正确的是（ ）.

A. 如果两个平面有三个公共点，那么
它们重合

B. 过两条异面直线中的一条可以作
无数个平面与另一条直线平行

C. 在两个平行平面中，一个平面内的
任何直线都与另一个平面平行

D. 如果两个平面平行，那么分别在两
个平面中的两条直线平行


4．下列说法正确的是（ ）.

A. 过直线外一点有且只有一个平面
与已知直线平行

B. 经过两条平行线中一条有且只有
一个平面与另一条直线平行

C. 经过平面外一点有且只有一条直
线与已知平面平行

D. 经过平面外一点有且只有一个平
面与已知平面平行



强调（笔记）：






【课中35分钟】边听边练边落实

5．经过正方体
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
BB
1
作一平面交平面
AA
1
D
1
D
于
E
1
E
，求证：
E
1
E
∥
B
1
B













6．已知正三棱柱的棱长都是
a
， 过
底面一边和上、下底面中心连线的中
点作截面，求此截面的面积..













7．如图，设平面α求证：MN





_A



_C



_M

_N



_D



B_



8．已知平面
?

?
，直线AB，CA交于

点S，A，C在平面
?
内，B，D在平 面
?
内，且线段AS=2cm，BS=4cm，CD=8cm，

4.

求线段CS的长度.















强调（笔记）：




【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

3.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．梯形
ABCD
中
AB
?
?

A. 平行 B. 平行和异面

C. 平行和相交 D. 异面和相交


2．如图：已知
l
是过正
方体
AB CD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶
点的平面
AB
1
D
1
与下底面
ABCD所在平面的交线，下
列结论错误的是（ ）.

A.
D
1
B
1
∥
l


B.
BD

l
∥平面
A
1
D
1
B
1



D.
l
⊥
B
1
C
1


3．设不同的直线
a
,
b
和不 同的平面α，
β，γ，给出下列四个说法：


①
a
∥α，
b
∥α，则
a
∥
b
；

②
a
∥α,
a
∥β, 则α∥β；

③α∥γ，β∥γ，则α∥β；


④
a
∥
b
,b
?
α,则
a
∥α.

其

中说法正确的序号依次
是 .

§2-7 空间垂直关系（1）

【课前预习】阅读教材P64-69完成下
面填空

4．在正方体
A BCD?A'B'C'D'
中，下列四
对截面中，彼此平行的一对截面是
（ ）.

A.
BDC'与B'D'C
B.
A'BC'与ACD'


C.
B'D'D与BDA'
D.
A'DC'与AD'C

< br>5．已知在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
是平行四边形，点E、F在PC上，且
PE：EF：FC=1：1：1，问在PB上是否
存在一点M，使平面AEM∥平面BFD，
并 请说明理由。















互助小组长签名：
必修2 第二章

1．直线与平面垂直的判定：

（1）定义：如果直线
l
与平面
?
内的
直线 都垂直，则直线
l
与平面
?
互相垂
直，记作
l?
?
.
l
是平面
?
的 ，
?
是
直线
l
的 ，它们的唯一公共点
P
叫
做 .


（2）判定定
理： ，
则这条直线与该平面垂直.（线线垂直
?
面面垂直）


符号语言表示
为： .

（3）斜线和平面所成的角是

；

直线与平面所成的角的范围
是： .



2．平面与平面垂直的判定：

（1）定义：

所组成的图形叫二面角. 这条直线叫
做 ，这两个半平面叫
做 .

记作二面角
?
－AB－
?
. （简记
P－AB－Q
）


③一条直线在平面内，另一条直线与
这个平面垂直，则这两条直线互相垂
直.

④经过一个平面的垂线的平面与这个
平面垂直；

其中正确的说法个数是（ ）.

（2）二面角的平面角：在二面角
?
－l－
?
的棱< br>l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，
B. 2 C. 3
在半平面
?
,
?
内分别作
射线
OA
和
OB
，则射线
OA
和
OB
构成 的
?AOB
叫做二面角的平面角.

范围： .


（3）定义：两个平面相交，如果它们
所成的二面角是直二面角，就说 这两
个平面互相垂直. 记作
?
?
?
.


（4）判
定： ，
则这两个平面垂直. （线面垂直
?
面
面垂直）


【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．
下面四个说法：

①如果一条直线垂直于一个平面内的
无数条直线，那么这条 直线和这个平
面垂直；

②过空间一定点有且只有一条直线和
已知平面垂直；

D. 4


2．若三条直线
OA
，
OB
，
OC
两两 垂直，
则直线
OA
垂直于（ ）.

A．平面
OAB
B．平面
OAC


C．平面
OBC
D．平面
ABC


3．在三 棱锥
A
—
BCD
中，如果
AD
⊥
BC
，< br>BD
⊥
AD
，△
BCD
是锐角三角形，那么
（ ）.

A. 平面
ABD
⊥平面
ADC


B. 平面
ABD
⊥平面
ABC


C. 平面
BCD
⊥平面
ADC


D. 平面
ABC
⊥平面
BCD


4．设三棱锥
P?ABC
的顶点
P
在平面
ABC
上的射影是
H< br>，给出以下说法：

①若
PA?BC
，
PB?AC
， 则
H
是
?ABC
垂
心； ②若
PA,PB,PC
两两互相垂直，则
H
是
?ABC
垂心；

③ 若
?ABC?90
，
H
是
AC
的中点，则
PA?P B?PC
；

④若
PA?PB?PC
，则
H
是< br>?ABC
的外心.

（2）求证：平面
APE
⊥平面
APF
.



其中正确说法的序号依次
是 .



强调（笔记）：






【课中35分钟】边听边练边落实

5．四面体
ABCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且
EF?
2
2
AC
，
?BDC?90
，求证：
BD?
平面
A CD
.












6．已知正方形
ABCD
的边长为1，分 别
取边
BC
、
CD
的中点
E
、
F
，连结
AE
、
EF
、
AF
，以
AE
、EF
、
FA
为折痕，折叠
使点
B
、
C
、
D
重合于一点
P
.

（1）求证：
AP
⊥
EF
；











7．在长方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=2，
AA
1
=1，求BC
1
与平面BB
1
D
1
D 所成角的
正弦值.












8．Rt△ABC 的斜边BC 在平面
?
内，两
直角边AB、AC 与平面
?
所成的角分别
为30?、45?，求平面ABC 与平面
?
所
成的锐二面角的大小.

强调（笔记）：




【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.
3.

4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．把正方形
ABCD< br>沿对角线
AC
折起,
当以
A
、
B
、
C
、
D
四点为顶点的三棱锥
体积最大时，直线
BD
和平面< br>ABC
所成
的角的大小为（ ）.

A. 90° B. 60° C. 45°
D. 30°


2．在直二面角
?
?AB?
?
棱
AB
上取一点
P
，过P
分别在
?
,
?
平面内作与棱成45°
角的斜线
PC
、
PD
，则∠
CPD
的大小是
（ ）.

A．45° B．60°

C．120° D．60°或120°


3．
E
是正方形
ABCD
的
AB
边中点，将
△
ADE
与△
BCE
沿
DE
、
CE
向上折起，
使得
A
、
B
重合 为点
P
，那么二面角
D
—
PE
—
C
的大小 为 .



4．棱长为
a
的正方 体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E,F
分别为棱
AB
和
BC
的中点，
M
为棱
B
1
B

的中点.

求证：
< br>（1）
EF?
平面
BB
1
D
1
D
；

（2）平面
EFB
1
?
平面
D
1
C
1
M
.











5．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是
边长为
a
的正方形，并且PD=
a
，
PA=PC=
2a
.

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）求二面角A-PB-C 的大小；

（3）在这个四棱锥中放入一个球，求
球的最大半径









互助小组长签名：

必修2 第二章

§2-8 空间垂直关系（2）

【课前预习】阅读教材P70-72完成下
面填空

1. 线面垂直性质定理：
（线面垂直
?
线线平行）

用符号语言表示
为： .


2. 面面垂直性质定
理： . （面面
垂直
?
线面垂直）


用符号语言表示
为： .


【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1．在下列说法中，错误的是（ ）.

A. 若平面α内的一条直线垂直于平
面β内的任一直线，则α⊥β

B. 若平面α内任一直线平行于平面

β，则α∥β

C. 若平面α⊥平面β，任取直线
l
?
α，则必有
l
⊥β

D. 若平面α∥平面β，任取直线
l
?
α，则必有
l
∥β


2．给出下列说法：

①直线上有两点到平面的距离相等，
则此直线与平面平行；


②夹在两个平行平面间的两条异面线
段的中点连线平行于这两个平面；

③直 线
m
⊥平面α，直线
n
⊥
m
，则
n
∥α；

④垂直于同一个平面的两条直线平
行.

其中正确的两个说法是（ ）.

A. ①② B. ②③ C. ③④
D. ②④

N
D
CM

3．已知
m、
n
是不重合的直线，α、
β是不重合的平面，有下列说法：






①若
m
?
α，
n
∥α，则
m
∥
n
；

②若
m
∥α，
m
∥β，则α∥β；

③若α∩β=
n
，
m
∥
n
，则
m
∥α且
m∥
β；

④若
m
⊥α，
m
⊥β，则α∥β.

其中正确说法的个数是（ ）.

A. 0 B. 1 C. 2
D. 3


4．已知两个平面垂直，给出下列一些
说法：

①一个平面内已知直线必垂直于另一
个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另
一个平面的无数条直线；

③一个平面内 的任一条直线必垂直于
另一个平面；④过一个平面内任意一
点作交线的垂线，则此垂线必垂直于
另一个平面.

其中正确的说法的序号依次
是 .


强调（笔记）：

【课中35分钟】边听边练边落实

5．把直角三角板
ABC
的直角边
BC
放
置于桌面，另一条 直角边
AC
与桌面所
在的平面
?
垂直，
a
是
?
内一条直线，
若斜边
AB
与
a
垂直，则
BC< br>是否与
a
垂直














6．如图，< br>AB
是圆
O
的直径，
C
是圆周
上一点，
PA
⊥平面
ABC
.

（1）求证：平面
PAC
⊥平面
PBC
；

（2） 若
D
也是圆周上一点，且与
C
分
居直径
AB
的两侧 ，试写出图中所有互
相垂直的各对平面.

7．三棱锥
P?ABC
中，
PA ?PB?PC
,
PO?
平面
ABC
，垂足为
O
，求 证：
O
为底面
△
ABC
的外心.












8 ．三棱锥
P?ABC
中，三个侧面与底面
所成的二面角相等，
PO?
平面
ABC
，垂
足为
O
，求证：
O
为底面△
ABC
的内心.












强调（笔记）：




【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.


2.


3.


4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．
PA垂直于以
AB
为直径的圆所在平
面，
C
为圆上异于
A< br>、
B
的任一点，则
下列关系不正确的是（ ）.

A.
PA
⊥
BC
B.
BC
⊥平面
PAC

C.
AC
⊥
PB
D.
PC
⊥
BC


2．在
?ABC< br>中，
?ACB?90?
，
AB
=8，
?BAC?60?
，
PC
?
面
ABC
，
PC
＝4，
M是
AB
边上的一动点，则
PM
的最小值为
（ ）.

A.
27
B.
7
C.
19

D.
5

3．已知平面
?
,
?
和直线m，给出条件

①m∥
?
；②m⊥
?
；③m
?
?




5．已知PCBM 是直角梯形，∠PCB＝
90°，PM ∥BC，PM＝1，PC＝2，点A是
平面PCBM外一点，又AC＝1，∠ACB＝
；④
?
?
?
；⑤
?

?
.

（1）当满足条件 时，有
m∥
?
；

90°，二面角P-BC-A 的大小为60°.

（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）当满足条件 时，有
m⊥
?

.

（2）求三棱锥P-MAC 的体积.















4．如图，在正方体
ABC D
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中. 求
证：

（1）
B
1
D
⊥平面
A< br>1
C
1
B
；

（2）
B
1
D
与平面
A
1
C
1
B
的交点设为
O
，
则点
O
是△
A
1
C
1
B
的垂 心.










互助小组长签名：
立体几何检测题

一、选择题：（每小题5分，共35分）
1．若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ）

A.直线在平面内 B.直线在平面外

C.直线上所有点都在平面外 D.直线与平面相交

2． 以下四个正方体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则P、Q、R、S四点共
面的图是（ ）

Q
P
R
S
S
R
S
S
P
R
Q
P
R
Q
Q
P

A
BC
D

3．如图, 过球的一条半径OP的中点O
1
，作垂直于该半径的平面，所得截面圆
的面积与球的表面面积之比为 ( )

A. 3：16 B. 9：16 C. 3：8 D. 9：32

P
O
1
O
Y＇
A＇
D＇
B＇
C＇


第3题图
O＇

第4题图
X＇

1
3
4. 右上图，水平放置的三角形的直观图，D
＇
是A
＇
B
＇
边上的一点且D
＇
A
＇
= A
＇< br>B
＇
，
A
＇
B
＇
∥Y
＇
轴 , C
＇
D
＇
∥X
＇
轴，那么C
＇
A＇
、C
＇
B
＇
、C
＇
D
＇
三 条线段对应原图形中的线段
CA、CB、CD中 （ ）

A．最长的是CA，最短的是CB B．最长的是CB，最短的是CA

C．最长的是CB，最短的是CD D．最长的是CA，最短的是CD

5．正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,则点A到△A1
BD所在平面的距离=（ ）

1
2
33
D．

23
A．1 B． C．
6．在正四面体P—ABC 中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中
不成立的是( )

．．．
A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE

C. 平面PDF⊥平面ABC D. 平面PAE⊥平面ABC


7．关于直线a、b与平面α、β，有下列四个命题：

①若a∥α，b∥β且α∥β，则a∥b ②若a⊥α，b⊥β且α⊥β,则a⊥b
③若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b ④若a∥α，b⊥β且α⊥β,则a∥b

其中真命题的序号是( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题（每小题5分，共20分）
8．用数学符号语言将“直线
l
既经过平面α内的一点A，也经过平面α外的
一点B” 记作 .


9．正六棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积等于 .

10. 给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平 面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行。

②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平
面。

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

其中正确的命题的是 。(把正确命题的题号都填上)


11．
P
是△
ABC
所在平面α外一点，
O是
P
在平面α内的射影. 若
P
到△
ABC
的三个顶点距离相等，则

（1）
O
是△
ABC
的__________心；

（2）若
P
到△
ABC
的三边的距离相等，则
O
是△ABC
的_______心；

（3）若
PA
,
PB< br>,
PC
两两垂直，则
O
是△
ABC
的_______ 心.



三、解答题： (共45分)
12．（12分）如图 ，已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，O是底面ABCD的中
心，E是C
1
C的中点．

⑴求异面直线OE与BC所成角的余弦值；

⑵求直线OE与平面BCC
1
B
1
所成角的正切值；
⑶求证：对角面AA
1
C
1
C与对角面BB
1
D
1
D垂直．

D
1
A
1
B
1
D
A
O
B
C
1
E
C


13．（10分）一个正三棱锥P—ABC的三视图如图所示，尺寸单位：cm .

求⑴正三棱锥P—ABC的表面积； ⑵正三棱锥P—ABC的体积．


正视图
23
12
12
侧视图
12
12< br>俯视图










14．（10分）已知一个圆锥的高为6cm，母线长为10cm．求：

⑴ 圆锥的体积；

⑵ 圆锥的内切球的体积；

⑶ 圆锥的外接球的表面积．



















15．（13分）如图，在四棱柱P—ABCD中，底面A BCD是正方形，侧棱PD⊥底面
ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．

（1）求证：BC⊥面PCD；

（2）求PB与面PCD所成角的正切值；

P
E
D
C
O
(3)求点C到面BED得距离．

A
B

2 第三章

3-1 直线的倾斜角与斜率

P
82-86
完成下面

1．
直线的倾斜角：

①定义：当直线
l
与
x
轴相交时，我
们取
x
轴作为基准,

叫做直线
l
的倾斜角
．．．.特别地,当直线
l
与
x
轴平行或重合时, 规定α=
0°.

②范围：倾斜角α的取值范围是
特别：当 时，称直线
l
与
x
轴垂直

2．直线的斜率：一条直线的倾斜角

必修
§

【课前预习】阅读教材
填空

α(α≠90°)的 果它们平行，那么它们的斜率相等；
叫做这条直线的斜率,斜率常用小写
字母k表示,即k = .

①当直线
l
与
x
轴平行或重合时, α
= , k =

②当直线
l
与
x
轴垂直时,α= ,
k .

3. 直线的斜率公式:

①已知直线的倾斜角α,则k=
②经过两个定点 P
1
(
x
1
,
y
1
) , P
2
(
x
2
,
y
2
)
的直线：

若
x
1
≠
x
2
，则直线P
1
P
2
的斜率存在，
k=

若
x
1
＝
x
2
，则直线P
1
P
2
的斜率
③已知直线方程，将方程化成斜截式
y=kx+b，则x项的系数就是斜率k,也可
能 无斜率.

4. 两条直线平行与垂直的判定

①两条直线都有斜率
．．．
而
．
且不重合
．．．．
，如
反之，如果它们的斜率相 等，那么它
们平行，即

②两条直线都有斜率< br>．．．．．．．．
，如果它们互相
垂直，那么它们的斜率互为负倒数；
反之，如 果它们的斜率互为负倒数，
那么它们互相垂直，
即 .


【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直
线的倾斜角是 .

2．过点
M
(–2,
a
),
N
(
a
, 4)的直线的
斜率为–
1
2
，则
a
等于
( )

A
.–8
B
.10

3．直线
x?3y?6
的斜率是 ，倾斜
角是 .

4．试求
m
的值,使过点
A
?
m,1
?
, B
?
?1,m
?

的直线与过点
P
?
1,2
?
,Q
?
?5,0
?
的直线< br>
(1)平行 (2)垂直






强调（笔记）：









【课中35分钟】边听边练边落实

5．已知直线
l< br>1
过点A（2，-1）和B
（3，2），直线
l
2
的倾斜角是 直线
l
1
倾斜
角的2倍，求直线
l
2
的斜率.






6．已知三点A(a，2)、B(3 ，7)、C(-2，
-9a)在一条直线上，求实数a的值








7．已知
?ABC
的顶点
B(2 ,1),C(?6,3)
，其垂
心为
H(?3,2)
，求顶点
A的坐标．




8．已知四边形
ABCD
的 顶点为
A
?
m,n
?
,B
?
6,1
?,

C
?
3,3
?
,D
?
2,5?
,求mn的值,使四边形
ABCD
为直角梯形.











9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线
l
过点P(0, -1)，且与线段MN相交,求
直线
l
的斜率k的取值范围.

强调（笔记）：

5分钟】 知识整理、理解记忆

1.
2.
3.
4.
15分钟】 自主落实，未懂则
问

1.在下列叙述中：

①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜
率k= tanθ；

②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为
135°；

③经过A（-1，0），B（-1，3）两点
的直线的倾斜角为90°；

④直线y=1的倾斜角为45°。

以上所有正确命题的序号是

2.已知直线
l
1
：3x＋4y=6和
l
2：
3x-4y=-6，则直线
l
1
和
l
2
的倾 斜角的

关系是 （ ）

A.互补 B.互余 C.相等 D.

互为相反数

3. 如图，直线
l
1
,
l
2
,
l
3
的斜率分别

为
k
1
,
k
2
,
k
3
，则成立的是
（ ）









【课末
要点





【课后

<
k
2
<
k
3



互助小组长签名：
<
k
3
<
k
2

<
k
2
<
k
1


<
k
1
<
k
2


4. k是直 线
l
的斜率，θ是直线
l
的
倾斜角，若30°≤θ<120°，则k 的
取值范围是（ ）

3
≤k≤
3

3
B.
3
≤k≤1

3
＜-
3
或k≥
3

≥
3

33
5.
?ABC
的顶点
A(5 ,?1),B(1,1),C(2,m)
，若
?ABC
为直角三角形，求m的值.















必修2 第三章

§3-2 直线的方程


【课前预习】阅读教材P
92
-
101
完成下面
填空

1. 点斜式：直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
)
,且斜率
为 k，其方程
为 .

2.斜截式：直线
l
的斜率为k，在y轴
上截距为b,其方程
为 .

注意：点斜式和斜截式不能表示垂直x
轴直线. 若直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且与
x轴
垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不
存在，它的方程不能用点斜式表示，
这 时的直线方程
为 .

3．两点式：直线
l
经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P2
(x
2
,y
2
)
,其方程
为 .

4．截距式：直线
l
在
x、y
轴上的截距
分 别为
a、b
，其方程
为 ..

注意:两点式不能表示垂直
x、y
轴直
线；截距式不能表示垂 直
x、y
轴及过
原点的直线.

当
x
1
?x
2
时,直线方程可表示
为; ;

当
y
1
?y
2
时,直线方程可表示
为; ;

5．一般式：所有直线的方程都可以化
成 ，注意
A、B
不同时为0. 直
线一般式方程
Ax?By?C?0(B?0)
化为
斜截式方程 ,表示斜率
为 ，
y
轴上截距为 的直
线.


【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1.写出满足下列条件的直线方程

①经过点
D
?
?4,? 2
?
,
倾斜角是120°

②斜率是-2,在y轴上的截距是-4

③过点
P
1
?2,1
?
,P
2
?
0,?3
?
,

④在x轴,y轴上的截距分别是
3
2
,?3

2.直线
x?2y?6?0
化成斜截式
为 ,

该直线的斜率是 ,在x轴上的截距
是 .

3.求过点(5,0),且在两坐标轴上的截
距之差为5的直线方程




4.在方程
Ax?By?C?0
中,
A、B、C
为何
值时,方程表示的直线

①平行于x轴

②平行于y轴

③与x轴重合

④过原点





强调（笔记）：

【课中35分钟】边听边练边落实

5.已知△
ABC
在第一象限,若
A
(1,1),B(5,1),∠
A
=60°∠B=45°,
求：（1）边
AB
所在直线的方程；（2 ）
边
AC
和
BC
所在直线的方程.








6. 三角形
ABC
的三个顶 点
A
（－3，0）、
B
（2，1）、
C
（－2，3），求： （1）
BC
边上中线
AD
所在直线的方程; (2）
BC
边的垂直平分线
DE
的方程.







7. 求过点
P(3,2)
，并且在两轴上的截距
相等的直线方程.






8. （1）求经过点
A(3,2)
且与 直线
4x?y?2?0
平行的直线方程；

（2）求经过点
B(3, 0)
且与直线
2x?y?5?0
垂直的直线方程.










9. 过点
P
(2,1)作直线
l
交
x
、
y
正
半轴于
A、B
两点，当△
ABO
的面积取
到最小值时，求直线
l
的方程.












强调（笔记）：










【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

C．
x?2y?5
D．
x?2y?5

1.


4. 设点
P
?
x
0
,y
0
?
在直线
Ax?By?C?0
上,
求证这条直线方程可以写成
2.


3.

4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．过两点
(?1,1)
和
(3,9)
的直线在
x
轴上的
截距为

A.
?
3
2
B.
?
2
3
C.
2
5
D. 2
( )

2.已知
2x
1
?3y
1
?4,2x
2
?3y
2
?4
，则过点
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
的直线
l
的方程是
( ) A.
2x?3y?4
B.
2x?3y?0


C.
3x?2y?4
D.
3x?2y?0

3.已知点
A
（1，2）、
B（3，1），则线
段
AB
的垂直平分线的方程是
(
)

A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5

A
?
x?x
0
?
? B(y?y
0
)?0
.













5. 已知直 线
l
经过点
P(?5,?4)
，且
l
与两
坐标轴围 成的三角形的面积为5，求直
线
l
的方程

















互助小组长签名：
必修2 第三章

§3-3 两直线交点坐标的求法


【课前预习】阅读教材P
102
-
104
完成下面
填空

1.点
A
（
a
,
b
）在直线L： Ax+By+C=0上,
则满足条件:

2.一 般地，将两条直线的方程联立，
得到二元一次方程组
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
.
若方程组有惟一解，则两条直线相交，< br>此解就是交点的坐标；若方程组无解，
则两条直线无公共点，此时两条直线
平行；若方程 组有无数解，则两条直
线有无数个公共点，此时两条直线重
合.

3.方程< br>?
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
为
直线系，所有的直 线恒过一个定点，
其定点就是
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点.

4.对于直线：
l
1
:y?k
1< br>x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
有：

⑴
l
1
l
2
?
；⑵
l
1
和
l
2
相交
?
；

⑶
l
1
和
l
2
重合
?
；⑷
l
1
?l
2
?
.
5.已知两直线
l
1
,l
2
的方程为
l
1
:
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=0,

l
2
:
A
2
x+
B
2
y
+
C
2
=0,则两直线的位置关系如下

⑴
l
1
l
2
?
；

⑵
l
1
和
l
2
相交
?
；

⑶
l
1
和
l
2
重合
?
；

⑷
l
1
?l
2
?
.

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1.直线
3x?5y?1?0
与
4x?3y?5?0
的交点
是( )

A.
(?2,1)
B.
(?3,2)
C.
(2,?1)
D.
(3,?2)

2.两直线
l
1
:(2?1)x?y?2
,
l
2
:x?(2?1)y?3
的位置
关系是
( )

A.

平行 B. 相交 C. 垂直
D. 重合

3. 直线
ax
＋2
y
＋８＝0，4
x＋3
y
＝10
和2
x
－
y
＝10相交于一点， 则
a
的值
为 ( ）.

A. 1 B. －1 C. 2 D.






－2

4. 若直线
l
1
：　2x?my?1?0
与直线
l
2
：y?3x?1
平行，则
m?
．








强调（笔记）：










【课中35分钟】边听边练边落实

5. 判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点坐标.

（1）直线
l
1
: 2
x
－3
y
+10=0 ,
l
2
: 3
x
+4
y
－2=0；

（2）直线
l
1
:
nx?y?n?1
,
l
2
:
ny?x?2n
.






6. 求经过两条直线
2x?y?8?0
和
x?2y?1?0
的交点，且平行于直线
4x?3y?7?0
的直线方程.








7.已知直线
l
1
:3mx+8y+3m-10=0 和
l
2
:x+6my-4=0 问 m为何值时: （1）.
l
1< br>与
l
2
相交;（2）.
l
1
与
l
2
平行;（3）.
l
1
与
l
2
垂直;











8. 过点P（0，1）作直线
l
，使它被两

直线
l
1
2x+y-8=0和
l
2
x-3y+10=0所截得< br>的线段被点P平分的直线的方程.











9. 试求直线
l
1
:
x
-
y
-2=0关于直线
l
2
:3
x< br>-
y
+3=0对称的直线
l
的方程.












强调（笔记）：










【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.


2.


3.


4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．两条垂直的直线2
x
+
y
+2=0与
ax
+4
y
-2=0的 交点坐标
是 .

2.与直线
3x?4y?5?0
关于x轴对称的
直线的方程是( )

A.
3x?4y?5?0
B.
3x?4y?5?0

C.
3x?4y?5?0
D.
3x?4y?5?0

3. 若直线
l
：
y
＝kx
?3
与直线2
x
＋3
y
－6＝0的交点位于第一象 限，则直线
l
的斜率的取值范围是 .

该直线的倾斜角的取值范围

是 .

4. 光线从M（-2，3）射到x轴上的
一点P（1，0）后被x轴反射，求反射
光线所在的直线方程.





5. 已知直线
(a?2)y?(3a?1)x?1
. 求证：
无论
a
为何值时直线总经过第一象限.









互助小组长签名：
必修2 第三章

§3-4 直线间的距离问题


【课前 预习】阅读教材P
104
-
110
完成下面
填空

1. 平面内两点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，
P
2
(x
2
,y
2
)
，则两点间的距离为
PP
1
2
= .特别地:

当
P
1
,P
2
所在直线与
x
轴平行时，
PP
1
2
= ；

当
P
1
,P
2
所在直线与
y
轴平行时，
P P
1
2
= ；

当
P
1
,P
2
在直线
y?kx?b
上时,
PP
1
2
= .

2. 点
P (x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的 距
离公式为
d?
.

3. 利用点到直线的距离公式，可以推
导出两条平行直线
l
1
:Ax?By?C< br>1
?0
，
l
2
:Ax?By?C
2
?0之间的距离公式
d?
.

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题


1. 已知点
A(?2,?1),B(a,3)
且
|AB|?5
，则
a
的值为
（ ）

B.－5 C.1或－5 D.－1或5

2. 已知点
(a,2)(a?0)
到 直线
l:x?y?3?0
的距离为1，则
a
=
（ ）

A．
2
B．－
2
C．
2?1

D．
2?1

3. 已知
A(7, 8),B(10,4),C(2,?4)
，则
BC
边

上的中线
AM
的长为 .

4. 求与直线
l
：< br>x?y?2?0
平行且到
l
的
距离为
22
的直线的方 程.






强调（笔记）：









【课中35分钟】边听边练边落实

5. 求过直线
l
10
1
:y??
1
3
x?
3
和
l
2
: 3x?y?0
的交点并且与原点相距为1的直线
l
的方程.











6. 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，
0），求三角形ABC的面积.







7. 已知一直线被两平行线3x+4y-7= 0
与3x+4y+8=0所截线段长为3,且该直
线过点（2，3），求该直线方程.
王新敞












8. 求点
P
（2，－4）关于直线
l
:2x+y+2=0的对称点坐标.








9. 已知
AO
是△
ABC
中
BC
边的中线，
证明|
AB
|
2
＋|
AC
|
2
=2（|
AO
|
2
＋
|
OC
|
2
）.

强调（笔记）：

5分钟】 知识整理、理解记忆

1.
2.
3.

4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．动点
P
在直 线
x?y?4?0
上，
O
为原
点，则
OP
的最小值 为
（ ）.

A.
10
B.
22
C.
6

D. 2

2. 已 知点
M(?1,3),N(5,1)
，点
P(x,y)
到
M
、
N
的距离相等，则点
P(x,y)
所满足的方
程是 （ ）.

A.
x?3y?8?0
B.
3x?y?4?0


C.
x?3y?9?0
D.
x?3y?8?0

3. 直线
l
过点
P
( 1，2)，且
M
(2，3)，
N
(4，－5)到
l
的距离相 等，则直线
l
的
方程是( ）.

A. 4
x+y
－6=0 B.
x
+4
y
－
6=0

C. 2

x
+3
y
－7=0或
x
+4
y
－6=0

D. 3
x
+2
y
－7=0或4
x+y
－6=0

4.

已知两条平行直线3
x
+2
y
-6=0与< br>6
x
+4
y
-3=0,求与它们等距离的平行线
的方程

.











【课末
要点

5. 已知P点坐标为
(2,3)
，在
y
轴及直
线
y?
1
2
x
上各取一点
R
、
Q
，使
?PQR
的
周长最小，求
Q
、
R
的坐标.





















互助小组长签名：
必修2 第四章

§4-1 圆的标准方程和一般方程


【课前预习】阅读教材P
1 18
-
125
完成下面
填空

1. 圆心为
A（
a
，
b
），半径长为
r
的圆
的方程可表示< br>为 ,称为圆
的标准方程.

2. 圆的一般方程
为 , 其中圆
心是 ，半径长
为 .

圆的一般方程的特点：

①
x
2
和y
2
的系数相同，不等于0;

②
没有xy这样的二次项;

③
D
2
?E
2
?4F?0

3.求圆的方程常用待定系数法：大致
步骤是:

①根据题意,选择适当的方程形式;


②根据条件列出关于a,b,c或D,E,F
的方程组;

③解出a,b,c或D,E,F代入标准方程
或一般方程.

另外,在求圆的方程时,要注意几何法
的运用.

4. 点< br>M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：

（1）当满足 时,点
在圆外;

（2）当满足 时,点
在圆上;

（3）当满足 时,点
在圆内.

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1. 圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?2
的圆心和半径分
别是 ( ）.

A．
(?2,3)
，1 B．
(2,?3)
，3
C．
(?2,3)
，
2
D．
(2,?3)
，
2

2. 方程
x
2
?y
2
?4x?2y?5m?0
表示圆的
条件是

A.
1
4
?m?1
B.
m?1


C.
m?
1
4
D.
m?1

( )

3.若
P(2 ,?1)
为圆
(x?1)
2
?y
2
?25
的弦AB
的中点，则直线
AB
的方程是（ ）.

A.
x?y?3?0
B.
2x?y?3?0


C.
x?y?1?0
D.
2x?y?5?0

4. 一曲线是与定点
O
(0,0)，
A
(3,0)
距离的 比是
1
2
的点的轨迹，求此曲线的
轨迹方程.





强调（笔记）：









【课中35分钟】边听边练边落实

5. 求下列各圆的方程：

(1).过点
A(?2,0)
，圆心在
(3,?2)
；
< br>(2).求经过三点
A(1,?1)
、
B(1,4)
、
C(4 ,?2)
的
圆的方程.

6. 一 个圆经过点
A(5,0)
与
B(?2,1)
，圆心
在直线
x ?3y?10?0
上，求此圆的方程.









7. 求经过
A(4,2),B(?1,3)
两点， 且在两坐
标轴上的四个截距之和为4的圆的方
程.










8. 如图,等腰梯形ABCD的底 边长分别
y
为6和4,高为3,求这个圆的圆方程
D
C
.


E

AO
B
x








9. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，
3） ，端点A在圆上
?
x?1
?
2
?y
2
?4
运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程.















强调（笔记）：







【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

4.画出方程
x
2
?y
2?x?y
所表示的图
3.

并求图形所围成的面积.

形,




4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．已知点
A
( －4，－5)，
B
(6，－1)，
则以线段
AB
为直径的圆的方程< br>为 .

2. 曲线
x
2
+y
2
+2
2
x
－2
2
y
=0关于
（ ）.

A. 直线
x
=
2
轴对称

B. 直线
y
=－
x
轴对称

C. 点（－2，
2
）中心对称

D. 点（－
2
，0）中心对称

3. 若实数
x,y
满足
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
，
则

x
2
?y
2
的最大值是
（ ）.

A.
5?3
B.
65?14


C.
?5?3
D.
?65?14








5.设方程
x
2< br>+
y
2
-2(
m
+3)
x
+2(1-4m
2
)
y
+16
m
4
-7
m
2
+9=
0,若该方程表示一个圆，求
m
的取值
范围及圆心的轨迹方 程.
















互助小组长签名：
必修2 第四章

§4-2 直线与圆的位置关系


【课前预习】阅读教材P
126
-
128
完成下面
填空

1. 直线与圆的位置关系
有: 、 、 三种形式.

2.直线与圆的位置关系的判断方法:

(1)几何法——比较圆心距与圆半径
r
的大小.圆心
C
(
a,b
)到直线
Ax
+By
+
C
=0
的距离
d
=
Aa?Bb?CA
2
?B
2

(2)代数法——由直线与圆的方程联
立 方程组
?
?
Ax?By?C?0
?
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,消去一
个未知数得方程
ax
2
?bx?c?0
利用方程
的解个数,得直线与圆的交点个数来
判断位置关系.

①相交
?

?
；

②相切
?

?
；

③相离
?

?
.
< br>3．经过一点M（x
0
，y
0
）作圆（x-a）
2
+ （y-b）
2
=r
2
的切线

①点M在圆上时，切线方程为 （x
0
-a）
（x-a）+（y
0
-b）（y-b）= r
2

②点M在圆外时，有2条切线、2个切
点P
1
（x< br>1
，y
1
）、P
2
（x
2
，y
2< br>），方程（x
0
-a）
（x-a）+（y
0
-b）（y-b） = r
2
不是切线
方程，而是经过2个切点P
1
（x
1，y
1
）、
P
2
（x
2
，y
2
）的直线方程.

4. 直线被圆所截得的弦长公式

│AB│=2
r
2
?d
2
（垂径分弦定理）
=< br>(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

=
(1?
1
k
2
)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题


1. 已知直线
l:x?y?4?0
与圆
C:
?
< br>x?1
?
2
?
?
y?1
?
2
?2< br>，则
C
上各点到
l
的
距离的最大值与最小值之差为

_______

x－２＝０相切，则实数
m
等于

２. 直线
3x?y?m?0
与圆
x
2
?y
2
－２
３ . 已知圆
C
：
(x?1)
2
?(y?2)
2
=4 及直线
l
：x-y+3=0，则直线
l
被C截得的弦长
为 .

４. 经过点P(2，1) 引圆x
2
+y
2
=4的切
线，求：⑴切线方程，⑵切线长.




强调（笔记）：









【课中35分钟】边听边练边落实

5. 已知直线
l
；
y?x?6
圆
C:
x
2
?y
2
?2y?4?0
则直线
l
与圆
C
有无
公 共点，有几个公共点









6. 一直线过点
P(?3,?
3
)
，被圆
x< br>2
2
?y
2
?25
截得的弦长为8, 求此弦所在直线方
程










7. 求与
x
轴相切，圆心在直线
3x?y ?0
上，且被直线
y?x
截得的弦长等于
27
的圆的方程.












8. 已知圆
x
2
?y
2
?8
内有一点
P
0
?
?1,2
?
，
AB
为过点
P
0
且倾斜角为α的弦.（１）
当α＝１３５°时，求
AB
的长；（ ２）
当弦
AB
被
P
0
平分时，写出直线
AB
的方
程.

强调（笔记）：





【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.

2.

3.

4.
【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1.设
m
>0， 则直线
2
(
x
+
y
)+1+
m
=0与圆< br>x
2
+
y
2
=
m
的位置关系为
（ ）

A.相切 B.相交

C.相切或相离 D.相交或相
切

２. 若直线
x
a
?
y
b
?1
与圆
x
2
?y
2
?1
有公
共点，则.

A．
a
2
?b
2
≤1
B．
a
2
?b
2
≥1

C．
1
a
2
?
1
b
2
≤1
D．
1
a
2
?
1
b
2
≥1
( )

3. 直线
x
=2被圆
(x?a)
2
? y
2
?4
所截弦
长等于

23
, 则
a
的值为（ ）.

A. －1或－3 B.
2
或
?2

C. 1或3 D.
3


4. 求与直线
x?y?2?0
和曲线
x
2
?y
2
－１２
x
－１２
y
＋５４＝ ０都相切
的

半径最小的圆的标准方程是
_________.




5. 已知圆
M:x
2
?(y?2)
2
?1
,
Q
是
x
轴
上的动点,
QA、
QB
分别切圆
M
于
A,B
两点

(1)若点
Q
的坐标为（1,0），求切线
QA
、< br> 若两圆相外离，则 ，公切
QB
的方程

(2)求四边形
QAMB
的面积的最小值

(3)若
AB?
42
3
，求直线
MQ
的方程













互助小组长签名：
必修2 第四章

§4-3 圆与圆的位置关系


【课前预习】阅读教材P
129< br>-
132
完成下面
填空

1. 两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为
r
1
,r
2
，圆心距为
d

线条数为

若两圆相外切,则 ，公切线
条数为

若两圆相交,则 ， 公切线
条数为

若两圆内切，则 ，公切线
条数为

若两圆内含，则 ，公切线
条数为

(2)

设两圆
C
2
1
:x
2
?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
C
2
:x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F2
?0
，若两圆相
交，则两圆的公共弦所在的直线方程
是

2.圆系方程

①以点
C(x
0
,y
0
)
为圆心的圆系方程为
②过圆
C:x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
和直 线
l:ax?by?c?0
的交点的圆系方程为

D. 不确定

4．两圆：
x

2
+
y

2
+ 6
x
+ 4
y
= 0及
③过两圆< br>C
1
:x
2
?y
2
?D
1
x?E< br>1
y?F
1
?0
，
C
2
:x
2?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆
x

2
+
y
2
+ 4
x
+ 2
y
– 4 =0的公共弦
系方程为
所在直线方程为

（不表示圆
C
2
）

【课初5分钟】课前完成下列练习，
课前5分钟回答下列问题

1. 已知圆
C
1
：
(x?1)
2
+
(y?1)
2=1，圆
C
2
与
圆
C
1
关于直线
x? y?1?0
对称，则圆
C
2
的方程为（ ）

A.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
B.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1

C.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
D.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1

2．两个圆
C
1
：
x
2
?y
2
? 2x?2y
-2=0与
C
2
：
x
2
?y
2
?4x?2y
+1=0的公切线有且仅有
（ ）.

A．1条 B．2条 C．3条
D．4条

3．圆
C
1
：
(x?m)
2
?(y?2)
2
=9与圆
C
2
：
(x?1)
2
+
(y?m)
2
= 4外切，则
m
的值为
（ ）.

A. 2 B. －5 C. 2或－5


强调（笔记）：







【课中35分钟】边听边练边落实

5. 已知圆
C
2
1
：
x?y
2
?6x ?6?0
①，圆
C
2
：
x
2
?y
2
?4y?6?0
②（1）试判断两圆
的位置关系；（2）求公共弦所在的直
线方程.











6. 求经过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0< br>和
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点，并且圆心在 直
线
x?y?4?0
上的圆的方程.

7. 求圆< br>x
2
?y
2
-4=0与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?12?0
的公共弦的长.


8. 有一种大型商 品，
A
、
B
两地都有出
售，且价格相同，某地居民从两地之
一购得商品后运回的费用是：每单位
距离，
A
地的运费是
B
地运费的 3倍．已
知
A
、
B
两地相距10千米，顾客购物
的标准是总 费用较低，求
A
、
B
两地的
售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如
何选择购货地．














强调（笔记）：





【课末5分钟】 知识整理、理解记忆
要点

1.


2.


3.


4.

【课后15分钟】 自主落实，未懂则
问

1．已知两圆相交于两 点
A(1,3),B(m,?1)
,
两圆圆心都在直线
x?y?c?0
上,则
m?c
的值是( )

A．-1 B．2 C．3 D．0

2．若圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?b
2
?1
始终平分
圆
(x?1)
2
?(y?1)
2
?4
的周长,则实数
a,b
应满足的关系是( )

A．
a
2
?2a?2b?3?0
重船载，降低船身．试问船身必须降
B．
a
2
?2a?2b?5?0


C．
a
2
?2b
2
?2a?2b?1?0

D．
3a
2
?2b
2
?2a?2b?1?0

低多少，才能顺利地通过桥洞










3. 在平面内,与点
A(1,2)
距离为1, 与
点
B(3,1)
距离为2的直线共有( )条

条 B. 2条 C. 3条 D.
4条

5. 实数
x,y< br>满足
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
， 求
下列各式的最大值和最小值：（1）
y
；
x?4
（2）
2x?y< br>.

4. 船行前方的河道上有一座圆拱桥，
在正常水位时，拱圈最高点距水面 为
9
m
，拱圈内水面宽22
m
．船只在水面以
上部分高6. 5
m
、船顶部宽4
m
，故通行
无阻．近日水位暴涨了2.7m，船已 经
不能通过桥洞
了．船员必须加











互助小组长签名：
《直线与圆》过

关检测卷

一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题4分，共40分）

1. 若直线
x?1
的倾斜角为
?
，则
?
等于

（ ）

A．0 B．45° C．90° D．不存在

2. 点（０，１）到直线
（ ）

25
5
C.２
5
D.

5
5
y＝２x的距离是
A.
5
B.
3. 圆
（ ）

(x?2)
2
?(y?3)
2
?2
的圆心和半径分别是
A．
(?2,3)
，1 B．
(2,?3)
，3 C．
(?2,3)
，
2
D．
(2,?3)
，
2

4. 原点在直线
l
上的 射影是
P
(－2，1)，则直线
l
的方程是
（ ）

A．
x
＋2
y
＝0 B．
x
＋2
y
－4＝0 C．2
x
－
y
＋5＝0 D．2
x
＋
y
＋3＝0

5. 经过圆
x
2
?2x?y
2
?0
的圆心
C
，且与直线
x?y? 0
垂直的直线方程是
（ ）

A．
x
＋
y
＋1＝0 B．
x
＋
y
－1＝0 C．
x
－
y
＋1＝0 D．
x
－
y
－1＝0

6. 直线
a(x?1)? b(y?1)?0
与圆
x
2
?y
2
?2
的位置关系 是
( )

A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不
能确定若直线

7. 已知圆C：
(x?a)
2
?( y?2)
2
?4
及直线
l
：
x?y?3?0
，当直 线
l
被C截得的弦长

为
23
时，则
a
等于
（ ）

A．
2
B.
2?3
C.
?2?1
D.
2?1

8. 已知过点
P(1,1)
作直线
l
与两坐标轴正半轴相交，所围成的三角形面积为2，
则这样的直线
l
有（ ）

A． 1条 B．2条 C．3条 D．0
条

9．
l
1
:y?2?(k?1)x
和直 线
l
2
关于直线
y?x?1
对称，那么直线
l
2< br>恒过定点
（ ）

A．（2，0） B．（1，－1） C．（1，1） D．（－2，
0）

10 ．已知半径为1的动圆与圆（x-5）
2
+(y+7)
2
=16相切，则动圆 圆心的轨迹方程
是 （ ）

222
A （x-5）+(y+7)
2
=25 B（x-5）+(y+7) =17 或（x-5）
2
+(y+7)
2
=15

222
C （x-5）+(y+7)
2
=9 D（x-5）+(y+7) =25 或（x-5）
2
+(y+7)
2
=9

题号

１

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

答案



二.填空题: （本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）

11. 已知直线
l1
:y?2x?1
，
l
2
:kx?y?3?0
，若l
1
∥
l
2
，则
k
=

12.两条平行线
3x?y?6?0,3x?y?3?0
间的距离是

13. 已知圆
(x?7)
2
?(y?4)
2
? 16
与圆
(x?5)
2
?(y?6)
2
?16
关于 直线
l
对称 ，则直线
l
的方程是 .

14. 已知
2x?3y?2?0
，则
x
2
?y
2
的最小值为

15. 若圆
x2
?y
2
?2mx?m
2
?4?0
与圆
x2
?y
2
?2x?4my?4m
2
?8?0
相切，则实 数
m
的取值集合是 .

三.解答题: （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）

16.（本小题满分6分）

已知圆
x
2
?y
2< br>?4
，直线
l:y?x?b
，当
b
为何值时，圆
x< br>2
?y
2
?4
上恰有３个点
到直线
l:y?x?b< br>的距离都等于１.

17. （本小题满分8分）

已知直线
l:x?
轴均相切.

（1）求该圆的方程；
< br>（2）直线
m
：
mx?y?
1
m?0
与圆
C
交于
A,B
两点，且
|AB|?
2








3
，求
m
的值.

3y?1?0
，一个圆的圆心< br>C
在
x
轴正半轴上，且该圆与直线
l
和
y
1 8. （本小题满分8分）

已知△ABC的顶点A（５，１），AB边上的中线CM所在直线 方程为２x－y－
５＝０，AC边上的高BH所在直线方程为x－２y－５＝０，求：（１）顶点C的< br>坐标；（２）直线BC的方程

19. （本小题满分8分）

如下图所示，圆心
C
的坐标为（2， 2），圆
C
与
x
轴和
y
轴都相切．
（I）求圆C
的一般方程；

（II）求与圆
C
相切，且在
x轴和
y
轴上的截
相等的直线方程．













距