高中数学必修2知识点总结：第四章_圆与方程

高中数学必修2知识点总结

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)
2
?( y?b)
2
?r
2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 < br>2、点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)< br>（1）
(x
0
（3）
(x
0
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外 （2）
( x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上
?a)
2
?(y
0
?b)2
<
r
2
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标 与半
径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x?y?Dx?Ey?F?0
，圆的半径 为
r
，圆心
(?
为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有 以下几点：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相 离；（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
22
DE
,?)
到直线的距离
22
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；

1

（4）当
l?|r
1
?r
2
|< br>时，圆
C
1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?| r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
R
M
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)
，
x
、
上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点
y
、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴
x
O
P
Q
M'
y
3、空间中任意点M的坐标都可以 用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记
M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
坐标。
y< br>叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖
z
4.3.2空间两点间的距离公 式
1、空间中任意一点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式
P
1
P
2< br>P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
)

222
N
1
x
O
M
1
M
M
2
H
N
2
y
N



一、知识概述
1、圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程 为(x－a)
2
＋(y－b)
2
=r
2
．
由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．

2

2、圆的一般方程
对于方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F=0．
(1)当D2
＋E
2
－4F>0时，方程表示以
程就叫做圆的一般方程．
为圆心、为半径的圆．此时方
(2)当D
2
＋E
2
－4F=0时，方程表示一个点．
(3)当D
2
＋E
2
－4F<0时，方程不表示任何图形．
即 圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F=0（D
2
＋ E
2
－4F>0）．
圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．
3、圆的参数方程
（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点
为圆心的圆的参数方程为.
（2）θ的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角.
4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：
(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
二、重难点知识归纳：1、理解圆的 定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方
程成立的条件．3、利用待定系数法求 圆的方程．
三、典型例题剖析

3

例1、(1)已知圆心在直线5x－3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；
(2)圆心在y=－2x上且与直线y=1－x相切于(2，－1)，求圆的方程．
分析：( 1)圆心在5x－3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=－x上，这样就能求出圆心
及半径；
(2)圆心在y=－2x上，与y=1－x相切于(2，－1)，知圆心在过(2，－1 )且垂直于y=1－x的直线
上；
解：(1)设所求圆的方程为(x－x
0)
2
＋(y－y
0
)
2
=r
2
，
圆心在5x－3y=8上，又与坐标轴相切，
解得或
∴圆心坐标为( 4，4)或(1，－1)，半径为r=|x
0
|=4或r=|x
0
|=1．
∴所求圆的方程为(x－4)
2
＋(y－4)
2
=16，或(x －1)
2
＋(y＋1)
2
=1．
(2)设圆心为(a，－2a)，由题意，圆与y=1－x相切于点(2，－1)，则
． 解得a=1，所求圆心为(1，－2)，半径r=．
所求圆的方程为(x－1)
2
＋(y＋2)
2
=2．
例2、已知曲线C：x
2
＋y
2
－2x－4y＋m=0 （1）当 m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x
＋2y－4=0交于M、N两点，且OM⊥ON( O为坐标原点)，求m的值．分析：要考虑圆的一般方程成立的前
提条件．

解： （1）由D
2
＋E
2
－4F=4＋16－4m=20－4m>0，得m<5．
（2）设M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y< br>2
)，由OM⊥ON得x
1
x
2
＋y
1
y< br>2
=0．
联立方程组消去y得5x
2
－8x＋4m－16=0．

4

由韦达定理得x
1
＋x
2
= ①，x
1
x
2
= ②．又由x＋2y－4=0得y=(4－x)，
∴x
1
x
2
＋y
1
y
2
=x
1< br>x
2
＋(4－x
1
)·(4－x
2
)=x
1
x
2
－(x
1
＋x
2
)＋4=0． 将①、②代入得m=.
例3、已知动点M到定点A(3，0)与定点O(0，0)的距离之比为常数k (k>0)，求动点M的轨迹．分
析：按直接法求出轨迹方程．为说明轨迹类型，对k进行分类讨论．
解：设M(x，y)，由题意得，即|MA|=k|MO|．

222
代入坐 标得(x－3)
2
＋y
2
=k
2
(x
2
＋ y
2
)，化简得(k
2
－1)x
2
＋(k
2
－1)y
2
＋6x－9=0．①当k=1时，方程化为
，轨迹是线段AO的垂直平分 线．②当k>0且k1时，方程化为，
轨迹是以为圆心，为半径的圆．
例4、已知曲线C：x
2
＋y
2
＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明：曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
(1)证明：原方程可化为(x＋k)
2< br>＋(y＋2k＋5)
2
=5(k＋1)
2
．①
－1．
∵k－1，∴5(k＋1)
2
>0．故方程表示圆心在(－k，－2k－5)、半 径为|k＋1|的圆．
设圆心为(x，y)，有消去k，得2x－y－5=0．
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5=0上．
(2)证明：将原方程变形为k(2x＋4y＋1 0)＋(x
2
＋y
2
＋10y＋20)=0．②

5

上式关于参数k是恒等式．
解得∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)解：∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|=|k＋1|．两边平方，得(2k＋5)
2
=5(k＋1)
2
．．
例5、直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x
2
＋y
2
=25相交，截得弦长为，求l的方程．
解析：设直线l的方程为y－5=k(x－5)，且 与圆C交于两点A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，
消去y得，
，解得k>0．
，． 由斜率公式，得．


．两边平方，整理得2k
2
－5k＋2=0．
解得k=或k=2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5=0或2x－y－5=0．
? 判断直线l与圆C位置关系的两种方法：
6

①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与 圆C有公共点．有两组
实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直 线l与圆C相离．
②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d直线l与圆相切；如果d>r，直线l与圆C相离．
? 圆与圆的位置关系
设圆C
1
的半径为R，圆C
2
的半径是r，圆心距为d，则
①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；
③当|R－r|? 空间直角坐标系
空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标：
点P（x，y，z）关于x轴对称：点P
1
（x，－y，－z）；
点P（x，y，z）关于y轴对称：点P
2
（－x，y，－z）；
点P（x，y，z）关于z轴对称：点P
3
（－x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点P
4
（x，y，－z）；
点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P
5
（－x，y，z）；
点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P
6
（x，－y，z）；
点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点P
7
（－x，－y，－z）.
? 空间两点间的距离公式
空间点
典型例题剖析
、间的距离是．
例1、(1)求圆心在C(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为的圆的方程；

7

(2)求圆x
2
＋y
2
=4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标．
分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；
(2)借助图 形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x＋3y－12=0垂直的
直线方程．
解：(1)设圆的方程为(x－2)
2
＋(y＋1)
2
=r
2
，由题设圆心到直线y=x－1的距离
．又直线y=x－1被圆截得弦长为
求圆的方 程为(x－2)
2
＋(y＋1)
2
=4．
， ． 所
(2)过圆心(0,0)作直线4x＋3y－12=0的垂线，垂线方程为．①
直线①与圆x2
＋y
2
=4的靠近直线4x＋3y－12=0的交点就是所要求的点．
解方程组解得．
点是与直线4x＋3y－12=0距离最远的点，而点是与直线4x＋3y－12=0距离最短
的点． 故所求点的坐标为.
例2、设P在x轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标．解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0)
则，

故点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．

8

例3、求与两平行直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0相切，圆心在2 x＋y＋3=0上的圆的方程．
解析：设所求圆的方程是(x－a)＋(y－b)=r． 由已知，两平行线之间的距离是
222
． 所以，所求圆的半径长是．

由于圆心(a,b)到直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0的距离都是，于是
，且．即|a＋3b－5|=1，且|a＋3b－3|=1．
又圆心在2x＋y＋3=0上，于是有2a＋b＋3=0．
解方程组，得或
当时，不满足|a＋3b－3|=1，所以，
所以，所求圆的方程为．

例 4、
求半径为4，与圆x
2
＋y
2
－4x－2y－4=0相切且和直 线y=0相切的圆的方程．、解析：依
题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或
或，又已知圆的
．
(1)当圆心为
所求圆的方程为
时，有(a－2)
2
＋(4－1)
2
=7< br>2
，解得
或
，或(a－2)
2
＋(4－1)
2
=1
2
，无解．故
．

9

(2)当圆心为时，有(a－2)
2
＋(－4－1)
2
=7
2，解得
或
，或(a－2)
2
＋(－4－1)
2
=12
，无
． 解．故所求的圆的方程为
综合(1)(2)可知所求圆的方程为
或
或或
例5 、由一点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x
2＋y
2
－4x
－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．
解析 ：因为点A(－3,3)关于x轴的对称点为，设直线l
1
的斜率为k，则过点的直线l
的方程为y＋3=－k(x＋3)，将y=－k(x＋3)－3代入圆的方程，整理得
(1＋k2
)x
2
＋2(3k
2
＋5k－2)x＋(9k
2＋30k＋8)=0，
若直线l
1
与圆相切，则，即12k
2
＋25k＋12=0，
解之得，或．
所以，所求直线l的方程为y－3=(x＋3)，或y－3=(x＋3)，
即3x＋4y－3=0，或4x＋3y＋3=0







10