高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题

高一数学必修2《直线与方程》知识点与例题
1直线的倾斜角和斜率
1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x 轴正向与直线l
向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规
定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k
表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:

2两条直线的平行与垂直
1 、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它
们的斜率相等，那 么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提 ，
结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2 、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它
们的斜率互为负倒 数，那么它们互相垂直，即


3.直线的点斜式方程
1、 直线的 点斜式方程：直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k

y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式 方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

4 直线的两点式方程
1、直线的两 点式方程：已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P2
(x
2
,y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

2、直线的截 距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与< br>y
轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0

y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
)

y
2
?y1x
2
?x
1
5 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax?By?C?0（A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。

6直线的交点坐标与距离公式
1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0

解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0

?
2x?2y?2?0

得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
2.两点间距离

两点间的距离公式
PP
12< br>?
22
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?

3.点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y
0
)< br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离 公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式 方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1< br>与
l
2
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

C
1
?C
2
A?B
22

《直线与方程》测试题
一、选择题
1．若直线
x
＝1的倾斜角为

，则 )．
(第2题)
A．等于0 B．等于 C．等于
?
D．不存在
2
2．图中的直线
l
1
，
l
2
，
l
3
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
k
3
，则( )．
A．
k
1
＜
k
2
＜
k
3
B．
k
3
＜
k
1
＜
k
2
C．
k
3
＜
k
2
＜
k
1
D．
k
1
＜
k
3
＜
k
2

3．已知直线
l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线
l
2
经过两点(2，1)、(
x
，6)，且
l
1
∥
l
2
，则
x
＝( )．
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线
l
与过点
M
(－
3< br>3
3
，
2
)，
N
(
2
，－
3
)的直线垂直，则直线
l
的倾斜角是( )．
4
A．
?
B．
2?
C．
?
D．
3?

4
5．如果
AC
＜0，且
BC
＜0，那么直线
Ax
＋
By
＋
C< br>＝0不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．设
A
，
B
是
x
轴上 的两点，点
P
的横坐标为2，且|
PA
|＝|
PB
|，若直 线
PA
的方程为
x

－
y
＋1＝0，则直线
PB
的方程是( )．
A．
x
＋
y
－5＝0 B．2
x
－
y
－1＝0 C．2
y
－
x
－4＝0 D．2
x
＋
y
－7＝0
7．过两直线
l
1
：
x
－3
y
＋4＝0和
l
2
：2
x＋
y
＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．
A．19
x
－9
y
＝0 B．9
x
＋19
y
＝0 C．19
x
－3
y
＝ 0 D．3
x
＋19
y
＝0
8．直线
l
1
：
x
＋
a
2
y
＋6＝0和直线
l
2
: (
a
－2)
x
＋3
ay
＋2
a
＝0没有公共点，则
a
的值是．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
9．将直线
l
沿
y
轴的负方向平移
a
(
a
＞0)个单位，再沿
x
轴正方向平移
a
＋1个单位得直< br>线
l'
，此时直线
l'

与
l
重合，则直线
l'

的斜率为( )．
A．
a

a＋1
B．
－
a

a＋1
C．
a＋1
D．
－
a＋1
a
a
10．点(4，0)关于直线5
x
＋4
y
＋21＝ 0的对称点是( )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
二、填空题
11．已知直线
l
1
的倾斜角
1
＝15°，直线
l
1
与
l
2
的交点为< br>A
，把直线
l
2
绕着点
A
按逆
时针方向旋转 到和直线
l
1
重合时所转的最小正角为60°，则直线
l
2
的斜率
k
2
的值
为 ．
12．若三点
A
(－2，3)，
B
(3，－2)，
C
(
1
，m
)共线，则
m
的值为 ．
2
13．已 知长方形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A
(0，1)，
B
(1，0)，
C
(3，2)，求第四个
顶点
D
的坐标为 ．
14．求直线3
x
＋
ay
＝1的斜率 ．
15．已知点
A
(－2，1)，
B
(1，－2)，直线
y
＝ 2上一点
P
，使|
AP
|＝|
BP
|，则
P
点坐标
为 ．
16．与直线2
x
＋3
y< br>＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程
是 ．
17． 若一束光线沿着直线
x
－2
y
＋5＝0射到
x
轴上一点，经
x
轴反射后其反射线所在直
线的方程是 ．

三、解答题
18．设直线
l
的方程为(
m
2
－2
m
－3)
x
＋(2
m
2
＋
m
－1)
y
＝2
m
－6(
m
∈R，m
≠－1)，根据下列
条件分别求
m
的值：
①
l
在
x
轴上的截距是－3； ②斜率为1．



19．已知△
ABC
的三顶点是
A
(－1，－ 1)，
B
(3，1)，
C
(1，6)．直线
l
平行于
AB
，交
AC
，
BC
分别于
E
，
F，△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
1
．求直线
l
的方程．
4




(第19题)
20．一直线被两直线
l
1
：4
x
＋
y
＋6＝0 ，
l
2
：3
x
－5
y
－6＝0截得的线段的中点恰 好是坐标
原点，求该直线方程．



21．直线
l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线
l
的横截距与纵截距之和为6，求直
线
l
的方程．


第三章 直线与方程
参考答案

A组
一、选择题
1．C解析：直线
x
＝1垂直于
x
轴，其倾斜角为90°．
2．D解析：直线
l
1
的倾斜角
3
1
是钝角，故
k
1
＜0；直线
l
2
与
l
3
的倾 斜角
2
，
均为锐角且
2
＞
3
，所以
k2
＞
k
3
＞0，因此
k
2
＞
k
3
＞
k
1
，故应选D．
2
3．A解析：因为直线
l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线
l
1
的倾 斜角为
?
，
而
l
1
∥
l
2
，所以 ，直线
l
2
的倾斜角也为
?
，又直线
l
2
经过两点(2，1)、(
x
，6)，所以，
x
2
＝2．
4 ．C解析：因为直线
MN
的斜率为
2＋3
－3－2
＝－1
， 而已知直线
l
与直线
MN
垂直，所以
直线
l
的斜率 为1，故直线
l
的倾斜角是
?
．
4
5．C解析：直线Ax
＋
By
＋
C
＝0的斜率
k＝
?
A
＜0，在
y
轴上的截距
D＝－
C
＞0，所
B
B
以，直线不通过第三象限．
6．A解析：由已知得点
A
(－1，0) ，
P
(2，3)，
B
(5，0)，可得直线
PB
的方程是< br>x
＋
y
－5＝0．
7．D 8．D 9．B
解析: 结合 图形，若直线
l
先沿
y
轴的负方向平移，再沿
x
轴正方向平 移后，所得
直线与
l
重合，这说明直线
l
和
l’
的斜率均为负，倾斜角是钝角．设
l’
的倾斜角
为 ，则
tan ＝
－
a
．
a＋1
10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点问 题．直线5
x
＋4
y
＋21＝0是点
A
(4，
0) 与所求点
A'
(
x
，
y
)连线的中垂线，列出关于
x
，
y
的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．解析：设直线
l
2
的倾斜角为
180°－
2
2
，则由题意知：
＋15°＝60°，
2
＝135°，

∴
k
2
＝tan
12．
1
．
2
2
＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
解：∵
A
，
B
，
C
三点共线，
－31
∴
k
AB
＝
k
AC
，
－2－3＝
m
．解得
m
＝．
1
3＋2
2
＋2
2
13．(2，3)．解析：设第四个顶点
D
的坐标为(
x
，
y
)，
∵
AD
⊥
CD
，
AD
∥
BC
，
∴
k
AD
·
k
CD
＝－1，且
k
AD
＝
k
BC
．
∴
y－1
·
y－2
＝－1，
y－1
＝1．
x－0x－3x－0
?
x＝0
?
x＝2
(舍去)
?

y＝1y＝3
??
解得
?
所以，第四个顶点
D
的坐标为(2，3)．
14．－
3
或不存在．解析：若
a
＝0时，倾角90°，无斜率．
a
若
a
≠0时，
y
＝－
3
x
＋< br>1

a
a
a
∴直线的斜率为－
3
． 15．
P
(2，2).解析：设所求点
P
(
x
，2)， 依题意：
得
x
＝2，故所求
P
点的坐标为(2，2)．
16．10
x
＋15
y
－36＝0．
解析：设所求的直线 的方程为2
x
＋3
y
＋
c
＝0，横截距为－
c，纵截距为－
c
，进而得
23
(x?2)
2
?(2? 1)
2
＝
(x?1)
2
?(2?2)
2
，解
c
= －
36
．
5
17．
x
＋2
y
＋5＝0．
解析：反射线所在 直线与入射线所在的直线关于
x
轴对称，故将直线方程中的
y
换
成
－
y
．
三、解答题

18．①
m
＝－
5
；②
m
＝
4
．
33
解析：①由题意，得
2m?6
＝－3，且
2
m?2m ?3
m
2
－2
m
－3≠0．
解得
m
＝－
5
．
3
m
2
?2m?3
②由题意，得
2
＝－1，且
2
m
?
m?
1
2
m
2
＋
m
－1≠0．
解得
m
＝
4
．
3
19．
x
－2
y
＋5＝0．
解析：由已知，直线
AB
的斜率
k
＝
1?1
＝
1
．
3?1
2
2
因为
EF
∥
AB
，所以直线
EF
的斜率为
1
．
因为△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
1< br>，所以
E
是
CA
的中点．点
E
的坐标是(0，
5
)．
42
直线
EF
的方程是
y
－
5
＝
1
x
，即
x
－2
y
＋5＝0．
22
20．
x
＋6
y
＝0．
解析：设所求直线与
l
1
，
l
2
的交点分别是
A
，
B
，设
A
(
x
0
，
y
0
)，则B
点坐标为
(－
x
0
，－
y
0
)．
因为
A
，
B
分别在
l
1
，
l2
上，
所以
?
?
?
4x
0
＋y0
＋6＝0
?
?
－3x
0
＋5y
0
－ 6＝0

②
①
①＋②得：
x
0
＋6
y
0
＝0，即点
A
在直线
x
＋6
y
＝0上， 又直线
x
＋6
y
＝0过原点，所以
直线
l
的方程为
x
＋6
y
＝0．
21．2
x
＋
y
－4＝0和
x
＋
y
－3＝0．
解析：设直线
l
的横截距为
a
，由题意可得纵截距为6－
a
．
∴直线
l< br>的方程为
x
＋
a
y
＝1
．
6－a
a
2
2
＝1
，
a
－5
a
＋6＝0，解得< br>6－a
∵点(1，2)在直线
l
上，∴
1
＋
24a
1
＝2，
a
2
＝3．当
a
＝2
33
时，直线的方程为
x
?
y
?1
，直线经过第一、二、四象限 ．当
a
＝3时，直线的方程为
x
?
y
?1
，
直线经过第一、二、四象限．

综上所述，所求直线方程为2
x< br>＋
y
－4＝0和
x
＋
y
－3＝0．