高中数学选填题技巧-高中数学选修四高考题
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
一、基础过关
1
1.一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时,它的体积是原来的
2
1112
A. B. C. D.
2484
2.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为
A.1∶9
B.1∶27
C.1∶3
D.1∶1
(
)
( )
( )
( )
3.已知直角三角形的两直角边长
为a、b,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形成
的几何体的体积之比为
A.a∶b
A.1
________ cm.
6.如图,在
长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB=AD=3 cm,AA
1
=2
cm,则四棱锥A-BB
1
D
1
D
的体积为______
cm
3
.
B.b∶a
B.2
C.a
2
∶b
2
C.3
D.b
2
∶a
2
D.4
4.若球的体积与表面积相等,则球的半径是
5.将一钢球放入底面半径为3
cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是
7.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是______;
(2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是______.
8.在球面上有四个
点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a,求这
个球的体积.
二、能力提升
9.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积和体积分别为( )
A.24π cm
2,
12π cm
3
C.24π
cm
2,
36π cm
3
B.15π cm
2,
12π
cm
3
D.以上都不正确
10.圆柱的底面半径为1,母线长为2,则它的体积和表面积分别为
A.2π,6π
C.4π,6π
B.3π,5π
D.2π,4π
( )
11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________
m
3
.
12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器
内放一个半径为r的铁球,
并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
三、探究与拓展
13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切
,第三个球过这
个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
答案
1.C 2.A 3.B 4.C 5.3 6.6
7.(1)球 (2)球
8.解 ∵PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点,
∴球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径.
3
∴2R=3a,R=a,
2
4433
∴V=
πR
3
=
π(
a)3
=
πa
3
.
3322
9.A 10.A
11.9π+18
12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.
根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为3r,则容器内水的体积145
为V=V
圆锥
-V
球
=
π·(3r)
2
·3r-
πr
3
=
πr
3
,
333
而将球取出后,设容器内水的深度为h,
3
则水面圆的半径为h,
3
从而容器内水的体积是
131
V′=
π·(
h)
2
·h=
πh
3
,
339
3
由V=V′,得h=15r.
3
即容器中水的深度为15r.
13.解 设正方体的棱长为a.如图所示. (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点
及球心作
截面,
所以有2r
1
=a,
a
r
1
=,
2
2
所以S
1
=4πr
2
1
=πa.
(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,
过球心作正方体的对角面得截面,
2r
2
=2a,r
2
=
2
a,
2
2
所以S
2
=4πr
2
2
=2πa.
(3)中正方体的各个顶点在球面上,
过球心作正方体的对角面得截面,
3
所以有2r
3
=3a,r
3
=a,
2
2
所以S
3
=4πr
2
3
=3πa.
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
=1∶2∶3.