人教A版高中数学必修2能力强化提升：2-3-2 平面与平面垂直的判定

一、选择题
1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二 面角；②异
面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这
个二面角相等 或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在
两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小 与其平面角的顶点
在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )
A．①③
C．③④
[答案] B
[解析] 对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是 错误的；对
②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由
于异面直线所成 的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确
的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是 正确的，故选B.
[点评] 根据二面角的相关概念进行分析判定．
2．以下三个命题中，正确的命题有( )
①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱 垂直于这个二面
角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于
棱的两直线 所成的角等于二面角的大小
A．0个
C．2个
[答案] B
[解析] 仅②正确．
3．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的六个面中，与平面BC
1
垂直的面
的个数 是( )
B．1个
D．3个
B．②④
D．①②

A．1
C．3
[答案] D
B．2
D．4
[解析] 与平面BC
1
垂直的面有：平面AC，平面A
1
C
1
，平面AB
1
，
平面CD
1
.
4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角
与二面角的平面角的关系是( )
A．相等
C．互余
[答案] B
B．互补
D．无法确定

[解析] 如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线 ，则
∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A
＋∠BD C＝180°.
5．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m?α，n?α，m
∥
β，n
∥
β，则α
∥
β；
③如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n
∥
m，且n?α，n?β，则n
∥
α且n
∥
β.
其中表述正确的个数是( )

A．1
C．3
[答案] B
B．2
D．4
[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理 ，所以①正确；②中，
m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②
不正 确；③中，还可能n
∥
α，所以③不正确；④中，由于n
∥
m，n?
α，m?α，则n
∥
α，同理n
∥
β，所以④正确．
6．正方体A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD中，截面A< br>1
BD与底面ABCD所成
二面角A
1
－BD－A的正切值等于( )
3
A.
3

C.2
2
B.
2

D.3

[答案] C
[解析] 设AC、BD交于O，连A
1
O，∵BD⊥AC，BD⊥AA
1< br>，∴
BD⊥平面AA
1
O，∴BD⊥A
1
O，
∴∠A
1
OA为二面角的平面角．
A
1
A
tan ∠A
1
OA＝
AO
＝2，∴选C.
7．在二面角α－l－β中，A ∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α
于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的 大小为( )

A．30°
C．30°或150°
B．60°
D．60°或120°

[答案] D
[解析] 如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥
平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
8．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二 面角A－
BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为( )
A．45°
C．60°
[答案] D
B．30°
D．90°

[解析] 设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.
∵E、F分别为CD、BD的中点，
∴EF
∥
BC，
∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，
又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.
二、填空题
9．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．
①α
∥
β，β⊥γ，则α⊥γ
②α
∥
β，β
∥
γ，则α
∥
γ
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ
④α⊥β，γ⊥β，则α
∥
γ
[答案] ①②

10．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，

如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有
________对．
[答案] 3
[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，
∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面
PAB⊥平面PAC.

11．如图所示，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，BC＝2，AA
1
＝1，
E，F分别在AD和 BC上，且EF
∥
AB，若二面角C
1
－EF－C等于
45°，则B F＝________.
[答案] 1
[解析] ∵AB⊥平面BC
1
， C
1
F?平面BC
1
，CF?平面BC
1
，∴
AB ⊥C
1
F，AB⊥CF，又EF
∥
AB，
∴C
1
F⊥EF，CF⊥EF，
∴∠C
1
FC是二面角C
1
－EF－C的平面角，
∴∠C
1
FC＝45°，
∴△FCC
1
是等腰直角三角形，
∴CF＝CC
1
＝AA
1
＝1.
又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.

12．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝
AB＝a.

(1)二面角A－PD－C的度数为________；
(2)二面角B－PA－D的度数为________；
(3)二面角B－PA－C的度数为________；
(4)二面角B－PC－D的度数为________．
[答案] 90°；90°；45°；120°
[解析] (1)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，
∴二面角A－PD－C为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，
∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．
又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.
(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
即二面角B－PA－C为45°.

(4)作BE⊥PC于E，连DE，
则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE，
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB·BC6
∴BE＝
PC
＝
3
a，BD＝2a，
BO3
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝
BE
＝
2
，
∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D的度数为120°.
三、解答题
13．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD中，AB
∥
CD，E，F是
线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝
42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两
点重合与点G，得到多 面体CDEFG.

(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
[解析] (1)由已知可得AE＝3，BF＝4，则折 叠完后EG＝3，GF
＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF，又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过G作GO垂直于EF， GO即为四棱锥G－EFCD的高，所
1112
以所求体积为
3
S
矩
DECF
·GO＝
3
×5×4×
5
＝16.
14．在如下图所示的四面体ABCD中，AB，BC，CD两两互相
垂直，且BC＝CD.

(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大小．
[分析] (1)转化为证明CD⊥平面ABC；

(2)∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
[解析] (1)证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，且BC∩CD＝C，
∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．
∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.
∴二面角C－AB－D的大小为45°.
15．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为 矩形，PA＝AD，M、
N分别是AB、PC的中点，求证：
(1)MN
∥
平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.

[解析] (1)取PD的中点Q，连接AQ、QN，
1
∵PN＝NC，∴QN綊
2
DC.
∵四边形ABCD为矩形，
∴QN綊AM，
∴MN
∥
AQ，

又∵AQ?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN
∥
平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD＝90°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，
∵AQ?平面PAD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC
由(1)MN
∥
AQ，∴MN⊥平面PDC，
又∵MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.

16．如图所示，四棱锥P －ABCD的底面ABCD是边长为1的菱
形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABC D，PA＝3.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小．

[解析] (1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD
＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，
又AB
∥
CD，所以BE⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)由(1)知，BE⊥平面PAB ，PB?平面PAB，所以PB⊥BE.又AB
⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝
AB
＝3，∠PBA＝60°.
故二面角A－BE－P的大小是60°.