2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：模块质量检测 Word版含解析

模块质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几
何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：当用过高 线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三
角形，只有球满足任意截面都是圆面．
答案：C
2．已知直线x－3y－2＝0，则该直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3
解析：直线 x－3y－2＝0的斜率k＝
3
，故倾斜角为30°，故选
A.
答案：A
3．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为
( )
A．1 B．－3
517
C．1或
3
D．－3或
3

解析：利用点到直线的距离公式．
答案：D
4． 圆(x＋2)
2
＋y
2
＝4与圆(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3
两 圆的圆心距离为?－2－2?
2
＋?0－1?
2
＝17，则R－r<17以两圆相交，选B.
答案：B
5．在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β
为不同的两个平面)：
①m⊥α，n∥α?m⊥n ②m∥n，n∥α?m∥α ③m∥n，n⊥β，
m∥α?α⊥β ④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β?α∥β.
其中正确的命题个数有( )

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.
答案：C
6．点P 在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，
则PA与BD所成角的度数为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：利用正方体求解，如图所示：
PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△ APQ为等
边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.
答案：C
7．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x
2
＋y
2< br>－2x＝0相切，则a的值
为( )
A．1或－1 B．2或－2
C．1 D．－1
解析：圆x
2
＋y
2
－2 x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得
|1＋a＋0＋1|
2
＝1，即|a＋ 2|＝?a＋1?＋1，
2
?1＋a?＋1
平方整理得a＝－1，故选D.
答案：D
8．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )
A．三点构成等腰三角形 B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形 D．三点构不成三角形
解析：∵|AB|＝29，|AC| ＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，
∴三点A，B，C共线，构不成三角形 ．
答案：D
9．已知圆(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝ 16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0
被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0
1
解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为
2
，已知圆 的圆心坐标为(2，－

1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以 该直径所在的直线方程为y＋1
＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.
答案：D
10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则
顶点A在底面BCD上的 投影H为△BCD的( )
A．垂心 B．重心
C．外心 D．内心
解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.
因为AH⊥平面BCD，
所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，
所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.
同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，
则H是△BCD的垂心．故选A.
答案：A
11．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)
2
＋y
2
＝1 有公共点，则直
线l的斜率的取值范围为( )
A．[－3，3] B．(－3，3)
??
33
?
33
?
C.
?
－，
?
D.
?
－，
?

33
?
33
???
解析：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
因为直线l与曲线(x－2)
2
＋y
2
＝1有公共点，
所以圆心到直线的距离d小于或等于半径，
|2k－4k|
33
∴d＝2
≤1，解得－
3
≤k≤
3
.
k＋1
答案：C
12．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△AB C
为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为
( )
A．123 B．183
C．243 D．543
解析：由于△ABC为等边 三角形且面积为93，故当三棱锥D－
ABC体积最大时，点D到平面ABC的距离最大．设等边△AB C的边
3
2
长为a，则
4
a＝93，得a
2
＝36 ，解得a＝6.
设△ABC的中心为点E，连接AE，BE，CE，由正三角形的性质
得AE ＝BE＝CE＝23，

设球心为点O，连接OA，OB，OC， OE，OD，则OA＝OB＝OC
＝4，则OE＝4
2
－?23?
2
＝2，故D到平面ABC的距离的最大值为
1
OE＋OD＝2＋4＝6，则(V
D－
ABC
)
max
＝93×6×
3
＝183.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在
题中横线上)

13．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，
其中A′C′⊥B′C ′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为
________．




解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所
11
示，则有BO＝OC＝1，AO＝22.故S
△
ABC
＝
2
BC·AO＝
2
×2×22＝
22.
答案：22
14．已知点P (0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ
垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标 是________．
解析：设Q(x
0
，y
0
)，因为点Q在直 线x－y＋1＝0上，所以x
0
－
y
0
＋1＝0①
y0
＋1
1
又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－
2
，直线PQ的 斜率k
PQ
＝
x
，
0
所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，

y0
＋1
?
1
?
?
－
?
＝－1② 得< br>x
·
2
0
??
由①②解得x
0
＝2，y0
＝3，即点Q的坐标是(2,3)．
答案：(2,3)
15．若直线y＝a x＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)
2
＋(y＋
b)
2
＝ 1的圆心位于第________象限．
解析：(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象 限，得到
a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限．
答案：四

16．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直
线为轴，旋转一周 得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为
________．
4
3< br>解析：半圆旋转一周形成一个球体，其体积V
球
＝
3
πR
，内 部两个
11
?
3
?
2
π
32
??
圆锥的体积之和为V
锥
＝
3
πCD
·AB＝
3
π·
R
·2R＝
2
R，所以所求几
?
2
?
4< br>3
π
3
5
3
何体的体积为
3
πR
－
2
R＝
6
πR
.
6
3
答案：
5
πR

三、解答题(本大题共6小题 ，共70分．解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)[20 19·广州高一检测]三棱锥S－ABC中，SA⊥AB，
SA⊥AC，AC⊥BC且AC＝2，BC＝ 13，SB＝29.
(1)证明：SC⊥BC.
(2)求三棱锥的体积V
S
－
ABC
.
解析：(1)证明 ：因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，所以SA⊥
平面ABC，所以AC为SC在平面AB C内的射影，又因为BC⊥AC，
所以SC⊥BC.

( 2)在△ABC中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝13，所以AB＝4＋13
＝17，因为SA⊥AB ，所以△SAB为直角三角形，SB＝29，所以
SA＝29－17＝23，因为SA⊥平面ABC，所 以SA为棱锥的高，所
111239
以V
S-ABC
＝××AC×BC×SA ＝×2×13×23＝
3263
.
18．(12分)求经过直线x＋y＝0与圆x< br>2
＋y
2
＋2x－4y－8＝0的交
点，且经过点P(－1，－2)的 圆的方程．
?
?
x＋y＝0，
解析：解方程组
?
22得x＝1，y＝－1或x
?
x＋y＋2x－4y－8＝0，
?
＝－4，y ＝4，
即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．
设所求圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将A，B，P的坐
标代入，

1＋1＋D－E＋F＝0，
?
?
得方程组
?
16 ＋16－4D＋4E＋F＝0，
?
?
1＋4－D－2E＋F＝0，
D＝3，< br>?
?
解得
?
E＝－3，
?
?
F＝－8，

所求圆的方程为x
2
＋y
2
＋3x－3y－8＝0.
19 ．(12分)已知圆的方程为x
2
＋y
2
＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB
为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解析：有两种方法．
(1)方法一 (几何法)


如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan135°＝－1，
所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
|－1|2
因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝＝
2
.因为r＝22，所以|BC|＝
2

?
2
?
2
308－
??
＝
2
，
?
2
?
所以|AB|＝2|BC|＝30.
方法二 (代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1，代入x2
＋y
2
＝8，得2x
2
－2x－7＝0.
7
所以x
1
＋x
2
＝1，x
1
x
2
＝－< br>2
，所以|AB|＝1＋k
2
|x
1
－x
2
|
＝?1＋1?[?x
1
＋x
2
?
2
－4x1
x
2
]
＝30.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，
OP⊥AB，
1
因为k
OP
＝－2，所以k
AB
＝
2
，
所以直线AB的方程为y－2＝
1
2
(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
20．(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且
1
垂直于 低面ABCD，AB＝BC＝
2
AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P- ABCD的体积．
解析：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，
所以BC∥AD，又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
1
(2 )取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝
2
AD及BC∥AD，
∠ABC ＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD
为等边三角形且垂直于底面AB CD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所
以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，因为CM?平面AB CD，所以PM⊥CM，
设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x，取C D

14
中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝< br>2
x，因为△PCD的面积
114
为27，所以
2
×2x×< br>2
x＝27，解得x＝－2(舍去)，x＝2，于是
1
AB＝BC＝2，AD＝ 4，PM＝23，所以四棱锥P- ABCD的体积V＝
3
2×?2＋4?
××23＝43.
2
21． (12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C
1
：x
2
＋y
2
－6x－6＝0，
圆C
2
：x
2
＋y
2
－ 4y－6＝0
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线的方程；
(3)求公共弦的长度．
解析：(1)圆C
1
：x
2
＋y
2
－6x－6＝0，化为(x－3)
2
＋y
2
＝15，圆心 坐
标为(3,0)，半径为15；圆C
2
：x
2
＋y
2－4y－6＝0化为x
2
＋(y－2)
2
＝10，
圆心坐标(0 ,2)，半径为 10.圆心距为：3
2
＋2
2
＝13，因为15 －10
＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．
(2)将两圆的方程相减，得－6x＋4y＝0，化简得：3x－2y＝0，
∴公共弦所在直线的方程是3x－2y＝0；
9
(3)由(2)知圆C
1< br>的圆心(3,0)到直线3x－2y＝0的距离d＝＝
9＋4
98121 482
，由此可得，公共弦的长l＝2 15－
13
＝
13
. 13
22．(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
(侧
棱垂直于底面)中，D，E分别是AB，BB
1
的中点．
(1)证明：BC
1
∥平面A
1
CD； < br>(2)设AA
1
＝AC＝CB＝2，AB＝22，求二面角A
1
-EC -C
1
的正弦
值．
解析：(1)证明：连接AC
1
交A< br>1
C于点F，则F为AC
1
的中点，又
D是AB中点，连接DF，则B C
1
∥DF，因为DF?平面A
1
CD，BC
1
?
平面A
1
CD，所以BC
1
∥平面A
1
CD.

(2)连接A
1
E，C
1
E， 过C
1
作C
1
G⊥EC，垂足为G，连接A
1
G，

由题意知，AB＝AC＋BC，所以AC⊥BC，又由直三棱柱得AC⊥
平面BB< br>1
C
1
C，所以A
1
C
1
⊥平面BB
1
C
1
C，所以∠A
1
GC
1
为二面角
A
1
-EC-C
1
的平面角，在△CEC
1
中，CE＝C< br>1
E＝5，CC
1
＝2，利用等面
114
积法可知
2
CE·C
1
G＝
2
×2×2，所以C
1
G＝，在R t△A
1
GC
1
中，A
1
C
1
5
?
4
?
2
46A
1
C
1
2
＝2， C
1
G＝，所以A
1
G＝2＋
??
＝，所以sin∠A1
GC
1
＝
AG
?
5
?
55
1
255
＝
6
＝
3
，所以二面角A
1
-E C－C
1
的正弦值为
3
.
5
222