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高中数学学习材料
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立体几何单元测试
姓名:_______班级:______成绩:_______
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1、已知某几何体的俯视图是如图
所示的矩形,正视图(或称主视图)
是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是
一个
底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为( )
(A)48
(B)64 (C)96 (D)192
2.棱长都是
1
的三棱锥的表面积为(
)
A.
3
B.
23
C.
33
D.
43
3.长方体的一个顶点上三条棱长分别
是
3,4,5
,且它的
8
个顶点都在同一球面上,则这个球的
表面积
是( )
A.
25
?
B.
50
?
C.
125
?
D.都不对
4、已知正方体外接球的体积是
32
?
,那么正方体的棱长等于 ( D)
3
2343
42
(C) (D)
33
3
(A)
22
(B)
5、若
l、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若
?
?
,l?
?
,n?
?
,则
ln
B.若
?
?
?
,l?
?
,则
l?
?
C.
若
l?
?
,l
?
,则
?
?
?
D.若
l?n,m?n
,则
lm
6、如图,在正方体
AB
CD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
,F,G,H
分别为
AA
1
,
AB
,
D
1
B
1
A.45° B.60° C.90°
D.120°
7.已知两个平面垂直,下列命题
E
D
G
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
C
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
A
F
B
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面.
D
1
其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0
C
1
A
1
D
A
B
B
1
C
BB
1
,
B
1
C
1
的中点,
则异面直线
EF
与
GH
所成的角等于( )
A
1
H
C
1
8、如图长方体中,AB=AD=2
3
,CC
1
=
2
,则
二面角
C
1
—BD—C的大小为( )
A.30°
B.45° C.60° D.90°
9、平面
?
与平面
?
平行的条件可以是( )
A.
?
内有无穷多条直线与
?
平行;
B.直线a
?
,a
?
C.直线a
?
?
,
直线b
?
?
,且a
?
,b
?
D.
?
内的任何直线都与
?
平行
10、如图,一个封闭的立方体,
它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一,现放置成如
图的三种不同的位置,则字母
A,B,C对面的
字母分别为( )
D B B
A) D ,E ,F
B) F ,D ,E
A E
C) E, F ,D D) E, D,F
C C A
选择题答题表
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.已知直线b平面
?<
br>,平面
?
平面
?
,则直线b与
?
的位置关系为
.
12.正方体的内切球和外接球的半径之比为_____
13如图,△ABC是直角三
角形,
?
ACB=
90
?
,PA
?
平面ABC,此
图形中有 个
直角三角形
14.
将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结
A
论:(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形 (3)AB与平面BCD所成的角为
6
0°;(4)AB与CD所成的角为60°。则正确结论的序号为____
三、解答题(15、16、17题分别为8分、10分、12分,共30分)
15.如图,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC 求证:AB⊥BC
P
A
B
16.在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知
DA?DC?4,DD
1
?3<
br>,求异
面直线
A
1
B
与
B
1
C所成角的余弦值 。.
C
B
P
C
C
17.如图,在四棱锥
P?ABCD
中,
PA?
底面
A BCD
,
AB?AD
,AC?CD,
?ABC?60°
,
PA?AB?BC
,
E
是
PC
的中点.
(Ⅰ)求
PB
和平面
PAD
所成的角的大小;
(Ⅱ)证明
AE?
平面
PCD
;
(Ⅲ)求二面角
A?PD?C
的正弦值.
P
E
A
B
C
D
答案
:1、B 2.A 因为四个面是全等的正三角形,则
S
表面积< br>?4S
底面积
?4?
3
?3
4
3.B 长 方体对角线是球直径,
l?3?4?5?52,2R?52,R?
222
52
,S?4
?
R
2
?50
?
2
4.D 5、C 6、B 7、C 8、A 9、D 10、D 11、平行或在平面内;
12、正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是
a
a?2r
内切球
,r
内切球
?
a3a
,3a?r2,r?r,:r?:1
3
外接球外接球
22
内切球外接球
13、4 14、(1)(2)(4)
15、证明:过A作AD⊥PB于D,由平面PAB⊥平面PBC ,得AD⊥平面PBC,故AD⊥BC,
又BC⊥PA,故BC⊥平面PAB,所以BC⊥AB
16、连接
A
1
D
,
?A
1
DB
1
C,??BA
1
D
为异面直线
A
1
B
与
B
1
C
所成的角.
连接
BD
,在△
A
1
DB
中,
A
1
B?A
1
D?5,BD?42
,
A
1
B
2
?A
1D
2
?BD
2
25?25?329
则
cos?BA
1
D?
.
??
2?A
1< br>B?A
1
D
2?5?525
17、(Ⅰ)解:在四棱锥
P?A BCD
中,因
PA?
底面
ABCD
,
AB?
平面< br>ABCD
,故
PA?AB
又
AB?AD
,
PA
.
AD?A
,从而
AB?
平面
PAD
.故
PB
在平面
PAD
内的射影为
PA
,从
P
而
∠APB
为
PB
和平面
PAD
所成的角.
M
在
Rt△PAB
中,
AB?PA
,故
∠APB?45
.
E
所以
PB
和平面
PAD
所成的角的大小为
45
.
(Ⅱ)证明:在四棱锥
P?ABCD
中,
因
PA?
底面< br>ABCD
,
CD?
平面
ABCD
,故
CD?PA.
由条件
CD?AC
,
PA
A
B
C
D
AC?A
,
?CD?
面
PAC
.又
AE?
面
PAC
,
?AE?CD
. < br>由
PA?AB?BC
,
∠ABC?60
,可得
AC?PA.
E
是
PC
的中点,
?AE?PC
,
?PCCD?C
.综上得
AE?
平面
PCD
.
(
Ⅲ)解:过点
E
作
EM?PD
,垂足为
M
,连结
A
M
.由(Ⅱ)知,
AE?
平面
PCD
,
AM
在平面
PCD
内的射影是
EM
,则
AM?PD
.
因此<
br>∠AME
是二面角
A?PD?C
的平面角.由已知,得
∠CAD?30
.设
AC?a
,得
PA?a
,
AD?
23212
a
,
PD?a
,
AE?a
.
332
在<
br>Rt△ADP
中,
AM?PD
,
?AMPD?PAAD
,则
a
23
a
27
AE14
3
a
.在
Rt△AEM
中,
sinAME??
.
AM4
7
21a
3
AM?
PAAD
?
PD