高中数学正弦函数教案怎么写-79套高中数学
3.1 交集与并集
1．理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．
2．掌握有关术语和符号∩和∪，能用Venn图表达集合之间的关系和运算．
1．交集
(1)定义：一般地，由既属于集合
A
又属于集合
B的________组成的集合，叫作
A
与
B
的交集，也就是由集合A
与
B
的“公共”元素组成的集合．
当集
合
A
和集合
B
无公共元素时，说集合
A
，
B
的交集为空集．
(2)符号表示：
A
与
B
的交集记作
A
∩
B
，即
A
∩
B
＝____________.
(3)图示：用Venn图表示
A
∩
B
，如图所示．
A
∩
B
＝
B
∩
A
，<
br>A
∩
A
＝
A
，
A
∩＝，(
A
∩
B
)
A
，(
A
∩
B
)
B
，
ABA
∩
B
＝
A
.
【做一做1】 设集合
A
＝{1,3,5,8}，
B
＝{5,6,8
}，则
A
∩
B
等于( )．
A．{5}
B．{5,8} C．{8} D．{1,3,5,6,8}
2．并集
(1)定义：一般地，由属于集合
A
____属于集合
B
的所有元素组成的集合，叫作
A
与
B
的并集，也就是由集合
A
与
B
的“全部”元素组成的集合．
当元素<
br>a
是集合
A
，
B
的公共元素时，由集合元素的互异性知，集合
A
与
B
的并集中仅
有一个元素
a
，不能有两个相同
的元素
a
.
(2)符号表示：
A
与
B
的
并集记作
A
∪
B
，即
A
∪
B
＝_____
_______.
“
x
∈
A
或
x
∈
B
”包含三种情况：①
x
∈
A
，但
xB
；②
x
∈
B
，但
xA
；③
x
∈
A
，且
x
∈
B
.
(3)图示：用Venn图表示
A
∪
B
，如图①②所示．
A
∪
B
＝
B
∪
A
，
A
∪
A
＝
A
，
A
∪
＝
A
，
A
(
A
∪
B
)，
B
(
A
∪
B)，
ABA
∪
B
＝
B
.
1
【做一做2】 已知集合
A
＝{
x
|
x＞0}，
B
＝{
x
|－1≤
x
≤2}，则
A<
br>∪
B
等于( )．
A．{
x
|
x
≥－1}
B．{
x
|
x
≤2}
C．{
x
|0＜
x
≤2}
D．{
x
|－1≤
x
≤2}
答案：1．(1)所有元素
(2){
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}
【做一做1】 B 依据交集的定义，用Venn图表示或观察
A
，B
中的元素，如图所示，
可得
A
∩
B
＝{5,8}．
2．(1)或 (2){
x
|
x
∈
A
，
或
x
∈
B
}
【做一做2】 A
用数轴表示集合
A
和
B
，如图所示，
则阴影部分就是
A
∪
B
，
所以
A
∪B
＝{
x
|
x
≥－1}．
1．对于
A
∩
B
＝，存在哪几种可能的情况？
剖析：存在三种情况：
(1)集合
A
，
B
均为空集；
(2)集合
A
，
B
中有一个是空集；
(3)集合
A
，
B
均为非空集，但无相同元素．
2．为什
么集合{
x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}与集合{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}不一定相等？
剖析：在数学中，“或”表示至少有一个成立，而“且”表示都成
立．“
x
∈
A
，或
x
∈
B
”表示元素x
可能在集合
A
中，也可能在集合
B
中，也可能同时在集合A
和
B
中，因此集
合{
x
|
x
∈A
，或
x
∈
B
}是集合
A
和
B
的并集．而“
x
∈
A
，且
x
∈
B
”仅表
示元素
x
同时在集合
A
和
B
中，即是集合
A
和
B
的公共元素，因此集合{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}表示集合
A
和
B
的交集．
所
以这两个集合不一定相等，并且有{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}{
x
|
x
∈
A，或
x
∈
B
}．
例如，集合
A
＝{1,2,
3}，集合
B
＝{3,4}，则集合{
x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}＝{1,2,3,4}＝
A
∪
B
，而集合{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}＝{3}＝
A
∩
B
.很明显此时{
x|
x
∈
A
，或
x
∈
B
}≠{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}，且{
x
|
x
∈
A
，且
x
∈
B
}{
x
|
x
∈
A
，或
x
∈
B}．
题型一 集合的基本运算
【例1】 已知集合
A
＝{
x
|－4≤
x
＜2}，
B
＝{
x
|－1＜
x
≤3}，求
A
∩
B
，
A
∪
B<
br>.
分析：已知集合
A
，
B
都是无限集合，要求
A<
br>∩
B
，
A
∪
B
，可借助数轴直观求解．
反
思：利用数形结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求出集合
的交集、并集，是必
须掌握且要熟练运用的方法．
题型二 交集与并集的综合应用
22
【例2】 设集
合
A
＝{|
a
＋1|,3,5}，集合
B
＝{2
a
＋1，
a
＋2
a
，
a
＋2
a
－1
}，当
A
∩
B
＝
{2,3}时，求
A
∪
B
.
2
分析：欲求
A
∪
B，关键在于求出
a
，由条件
A
∩
B
＝{2,3}，根据
交集的定义，可得|
a
＋
1|＝2，从而求出
A
，
B
.
反思：本例中，抓住
A
∩
B
＝{2,3}，联想交集性质A
∩
BA
，从而得到2和3均在
A
中，
推知|
a
＋1|＝2.由此可知捕捉解题的“题眼”，找到解题切入点，是顺利解题的关键，若已
知中
含有未知字母(或参数)，在解出未知字母(或参数)后，应代入原集合进行检验，最后再
进行并、交运
算．
题型三 由集合间的关系求参数的取值范围
22
【例3】 设集合
A
＝{
x
|
x
－
x
－2＝0}，
B
＝{
x
|
x
＋
x
＋
a
＝0}，若
A
∪
B
＝
A
，求实数
a
的
取值范围． <
br>分析：集合
A
，
B
均是关于
x
的一元二次方程的解集
，由
A
∪
B
＝
A
可得
BA
，通过讨论集合
B
是否为空集来求得
a
的取值范围．
反思：通过深刻理解
集合表示法的转换及集合之间的关系，把求参数取值范围问题转化
为不等式、方程等常见的数学问题，这
称为数学的转化与化归思想，也是常用的数学方法．
解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了
B
＝
充分．对于
B
的情形，其原因是对
BA
的理解不够A
，当
A
≠时，则有
B
＝或
B
≠.避免出错的
方法是培养分类讨论的数
学思想方法和注意经验的积累．
答案：【例1】
解：分别在数轴上表示集合
A
和
B
，
根据
A<
br>∩
B
，
A
∪
B
的定义，由图知，
A
∩
B
＝{
x
|－1＜
x
＜2}，
A
∪B
＝{
x
|－4≤
x
≤3}．
【例2】 解：∵2∈
A
，∴|
a
＋1|＝2.∴
a
＝1或
a
＝
－3.
2
当
a
＝1时，集合
B
的元素
a
＋2
a
＝3,2
a
＋1＝3.由集合元素的互异性知
a
≠1
.
22
当
a
＝－3时，2
a
＋1＝－5，
a＋2
a
＝3，
a
＋2
a
－1＝2，即集合
B<
br>＝{－5,3,2}．∴
A
∪
B
＝{－5,2,3,5}．
22
【例3】 解：
A
＝{
x
|
x
－x
－2＝0}＝{－1,2}，
B
是关于
x
的方程
x<
br>＋
x
＋
a
＝0的解集．
∵
A
∪
B
＝
A
，∴
BA
.
∵
A
＝{－1,2}≠，∴
B
＝或
B
≠.
2
当
B
＝时，即关于
x
的方程
x
＋
x<
br>＋
a
＝0无实数解，则有Δ＝1－4
a
＜0，即此时有
a1
＞.
4
当
B
≠时，即关于
x
的方程
x
＋
x
＋
a
＝0有实数解．
1
若
B
中仅有一个元素，则Δ＝0，即
a
＝，
4
?
?
2
1
?
此时
B
＝
?
x
?
x
＋
x
＋＝0
?
4
??
?<
br>2
?
1
?
＝
?
－
?
.
?
2
?
11
∵－
A
，∴
B
不是<
br>A
的子集，即
a
＝不合题意．
24
若
B
中
含有两个元素，则必有
B
＝{－1,2}，则－1和2是关于
x
的方程
x
＋
x
＋
a
＝0的
解，
2
3
?
?
－1＋2＝－1，
∴
?
?
－＝
a
，
?
?
?
1＝－1，
即
?
?
a
＝－2.
?
∵1≠－1，∴此时不合题意．
?
1
?
综上可得，实数
a
的取值范围是
?
a
|
a
>
?
.
4
??
1 (2010广东高考，文1)若集合
A
＝{0
,1,2,3}，
B
＝{1,2,4}，则集合
A
∪
B
＝(
)．
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2}
D．{0}
22
2 若集合
P
＝{
x
|
x
＝1}，
M
＝{
x
|
x
－2
x
－3＝0
}，则
P
∩
M
等于( )．
A．{3}
B．{1} C．{－1} D．
3 已知集合
A
＝{
x
|
x
＜
a
}，
B
＝{
x
|
x
≤1，或
x
≥2}，且
A
∪
B
＝R，则实数
a
的取值范围
是(
)．
A．
a
≤1 B．
a
＜1
C．
a
≥2 D．
a
＞2
4
若集合
A
＝{
x
|
x
≤2}，
B
＝{x
|
x
≥
a
}满足
A
∩
B
＝
{2}，则实数
a
＝__________.
2
5 (2010福州三中期
中，17)已知集合
A
＝{2，
a
－1}，
B
＝{
a
－7，－1}，且
A
∩
B
＝{2}，
求实数
a<
br>的值．
答案：1．A
因为
A
＝{0,1,2,3}，
B
＝{1,2,4}，
所以
A
∪
B
＝{0,1,2,3,4}．
22
2．C
P
＝{
x
|
x
＝1}＝{－
1,1}，
M
＝{
x
|
x
－2
x
－3＝0
}＝{－1,3}．所以
P
∩
M
＝{－1}，
故选C.
3．C 如图所示，要使
A
∪
B
＝R，则
a
位于2
的右边或与2重合，即
a
≥2.
4．2 ∵
A
∩
B
＝{
x
|
a
≤
x
≤2}＝{2}，∴
a
＝2.
5．解：∵
A
∩
B
＝{2}，∴2∈
A
且2∈
B
.
2
∴
a
－7＝2.∴
a
＝3或
a
＝－3.
当
a
＝3时，集合
A
中的元素
a
－1＝2，不符合
集合中元素的互异性，∴
a
＝3舍去．
当
a
＝－3时，
A
＝{2，－4}，
B
＝{2，－1}，符合已知
A
∩
B＝{2}．
综上所述，
a
＝－3.
4