2015全国高中数学竞赛名单 浙江-高中数学关于球的题目
第二章 统计
一、三种抽样方法
1、 统计的的基本思想是：
用样本的某个量去估计总体的某个量
总体：在统计中，所有考察对象的全体。
个体：总体中的每一个考察对象。
样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。
样本容量：样本中个体的数目。
2、抽样方法： 要求：总体中每个个体被抽取的机会相等
（1）简单随机抽样：抽签法和随机数表法
简单随机抽样的特点是：不放回、等可能．
抽签法步骤
（1）先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N）
（2）把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可用小球、卡片、纸条等制作
（3）将这些
号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌（4）抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次
（5）抽出样本
随机数表法步骤
（1）将总体中的个体编号(编号时位数要统一)
；（2）选定开始的数字；（3）按照一定的规则读取号码；（4）
取出样本
（2）系统抽样
系统抽样特点：容量大、等距、等可能．
步骤:
1.编号,随机剔除多余个体,重新编号
2.分组 (段数等于样本容量),确定间隔长度
k=Nn
3.抽取第一个个体编号为i
4.依预定的规则抽取余下的
个体编号为i+k, i+2k, …
（3）分层抽样
分层抽样特点：总体差异明显、按所占比例抽取、等可能．
步骤：1.将总体按一定标准分层;
2.计算各层的个体数与总体的个体数的比;
3.按比例确定各层应抽取的样本数目
4.在每一层进行抽样 (可用简单随机抽样或系统抽样)
二、用样本估计总体
1、用样本的频率分布估计总体的分布
①作样本频率分布直方图的步骤：
（1）求极差；
（2）决定组距与组数;
(组数＝极差组距)
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表（分组，频数，频率）；
（5）画频率分布直方图。
根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：
⑴纵轴的意义：
频率
组距
⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.
例1
、为了了解中学生的身高情况,对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量,结果如下：（单位：cm）
175 168 180 176 167 181 162
173 171 177
171 171 174 173
174 175 177 166 163 160
166
166 163 169 174 165 175 165 170
158
174 172 166 172 167 172
175 161 173 167
170 172 165
157 172 173 166 177 169 181
列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图.
解：在这个样本中,最大值为181,最小值为157
,它们的差是24,可以取组距为4,分成7组,根据题意列出样本的频
率分布表如下：
分组
156.5～160.5
160.5～164.5
164.5～168.5
168.5～172.5
172.5～176.5
176.5～180.5
180.5～184.5
合计
频数
3
4
12
12
13
4
2
50
频率
0.06
0.08
0.24
0.24
0.26
0.08
0.04
1.00
频率分布直方图(略)
②茎叶图作图步骤:
1.将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.
2.将最小茎和最大茎之间的数按大小顺序排成一列,写在左(右)侧;
3.将各个数据的叶按大小次序写在其右(左)侧.
例、某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：
甲
乙
5 6
5 6 1 7
9
8 9 6 1 8 6 3 8
4 1 5 9 3 9 8 8
7 10 3 1
0 11
4
从这个茎叶图上可看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是99；甲同学的得分
情况除一个特殊得分外,
也大致对称,中位数是89.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学
好.
2、用样本的数据特征估计总体的数据特征
（1）、在频率直方图中计算众数、平均数、中位数
众数：在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
（2）、标准差和方差：描述了数据的波动范围，离散程度
标准差
s?
方差
s?
扩展：
2
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?(xn
?x)
2
]
n
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?(x
n
?
x)
2
]
n
①若x
1
,x
2
,
???,x
n
的平均数为x,则mx
1
?a,mx
2
?a,
???,mx
n
?a的平均数为mx?a.
②若x
1
,x
2
,???,x
n
的方差为s
2
,则ax
1
?b,ax
2
?b,???,ax
n
?b的方差为a
2
s
2
.
3.两变量之间的关系
(1)相关关系——非确定性关系
(2)函数关系——确定性关系
4.回归直线方程：
y?bx?a
???
?
?
?
?
?
b?
?
?
?
?
?
?
(x?x)(y
i
i?1
n
i?1
?
n
i
?y)
?
?
?
xy
i
i?1
n
i?1n
i
?nxy
2
,
2
(x?x)
?
i
2
x
?
i
?nx
a?y?bx
说明：回归直线过定点x,y.
??
例如：
5.
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
其基本步骤是：①画出两个变量的散点图；
②求回归直线方程；
③并用回归直线方程进行预报。