高中数学《必修2》立体几何知识点及解题思路

高中数学《必修2》知识点 版权所有 王子安
第一章 空间几何体
一、常见几何体的定义
能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。
二、常见几何体的面积、体积公式
1.圆柱：侧面积
S
侧
?cl?2
?
rl
（其中
c
是底面周长，
r
是底面半径，
l
是圆柱的母线，也是高）
表面积
S
表
?S
侧
?S
底
?2
?
rl?2?
?
r
2
?2
?
r(r? l)


V
柱体
?sh?
?
r
2
h

1
cl?
?
rl
（其中
c
是底面周长，
r
是底面半径，
l
是圆锥的母线）
2
表面积
S
表
?S
侧
?S
底
?
?
rl?
?
r
2
?
?
r(r ?l)

11

V
椎体
?sh?
?
r
2
h

33
(2
?
r?2
?
R)l
3.圆台：侧面积
S
侧
?

?
?
(r?R)l
（其中
r
、
R
是上下底面半径，
l
是圆台的母线）
2
表 面积
S
表
?S
侧
?S
底
?
?
(r ?R)l?
?
r
2
?
?
R
2
?
?
(rl?Rl?r
2
?R
2
)

1

V
台体
?(S
'
?S
'
S?S)h
（其中
S
'
、
S
是上下底面面积，
h
是圆台的高）
3
4
4.球：表面积
S
表
?4
?
R
2
，体积
V
球
?
?
R
3

3
三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。
画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系；
②与x轴平行的线段仍然与x轴平行，长度不变；
与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但是长度减半。
四、三视图
1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。
①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。
③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。
2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；
侧视图：光线从左向右的正投影；
俯视图：光线从上向下的正投影。
三视图的性质：
侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
2.圆锥：侧面积
S
侧
?
一、立体几何中的公理与基本关系
1.平面公理：
公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】
立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 1 页 共 4 页

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2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形。
4.点、线、面之间的位置关系的表示方法：
①点
A
在直线
l
上，记作 ，点
A
不在直线
l
上，记作 ；
②点
A
在平面
?
内，记作 ，点
A
不在平面
?
内，记作 ；
③直线
l
在平面
?
内，记作 ，直线
l
不在平面
?
内，记作 ；
④直线
l
与平面
?
相交，记作 ，直线
l
与平面
?
平行，记作 ；
⑤平面
?
与平面
?
平行，记作 ，平面
?
与平面
?
相交，记作 。
二、线面间的位置关系
1.线线间的位置关系：相交、平行、异面。
①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
②异面直线所成的角： 过空间任意点
O
分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线
所成的锐角或直角 。异面直线所成的角的取值范围是
?
?(0,90]
。
2.线面间的位置关系：平行，相交，线在面内。【线在面外是指：平行或相交。】
3.面面间的位置关系：平行、相交。【注：垂直是相交的一种特殊情况。】
三、平行关系
1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。
2.线面平行
①定义：直线
a
与平面
?
没有公共点，叫做直线
a
与平面
?
平行，记作：
a
?
。
②判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符 号语言：若
a?
?
,b?
?
,ab
，则
a
?
。
③性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。
符号语言：若
a
?
,a?
?
,
?
3.面面平行 < br>①定义：平面
?
与平面
?
没有公共点，则称平面
?
与 平面
?
平行，记作
?

?
。
②判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若
a?
?
,b?
?
,ab?p,a
?
, b
?
，则
?

?
。
③性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：若
?

?
,
?
四、垂直关系
1.线线垂直：若两条直线的夹角为90°，则称为两直线垂直。
2.线面垂直
① 定义：若直线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直，则直线
l
与平面
?
互相垂直；记作：
l?
?
。
②判断定理：一条 直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：若
l?m ,l?n,m?
?
,n?
?
,mn?P
，则
l?
?
。
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言：若
m?
?
,n?
?
，则
mn
。
立体几何的全部内容都在这里了！你学好了吗？ 第 2 页 共 4 页

?
?b
，则
ab
。
?
?a,
??
?b
，则
ab
。

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3.面面垂直
①定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则这两 个平面互相垂直。记作：
?
?
?
。
②判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若
m?
?
,m?
?
，则
?
?
?
。
③性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：若
?
?
?
,m?
?
,m?l,
?
四、空间中的角
1.线线角：线线角的范围
?
?[0,90]
。
2.线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围
?
?[0,90]。
3.面面角：
【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这 条直线叫做二面角的
棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围
?
?[0,18 0]
。
【二面角的平面角】在二面角
?
?l?
?
的棱l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，在半平面
?
和
?
内分别作垂直于棱
l
的垂线
OA和OB
，则射线
OA和OB
所成的角
?AOB
叫做二面角的平面角。
注：二面角的大小等于 它的平面角的大小。
五、空间的距离（略）
【常见题型与思路】
【一、平行的证明方法】
1.线线平行的证明方法：
①平行线的传递性：若
ab,ac
，则
bc
。
②平行四边形：平行四边形的对边平行。
③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。
④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号 语言：若
l
?
,l?
?
,
?
?
?l
，则
m?
?
。
?
?m
，则
lm
。
⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
符号语言：若
?
?
,
??
?m,
??
?n
，则
mn< br>。
⑥垂直于同一平面的两条直线平行。
符号语言：若
m?
?
,n?
?
，则
mn
。
2.线面平行的证明方法：
①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号语言：若
l?
?
,m?
?
,lm
，则
l
?
。
②若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。
符号语言：若
?

?
,l?
?
，则
l
?
。
③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行这个平面。
符号语言：若m?
?
,n?
?
,mn,m
?
，则
n
?
。
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3.面面平行的证明方法：
①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若m?
?
,n?
?
,mn?A,m
?
,n
?，则
?

?
。
②若两个平面同时与一条直线垂直，则这两个平面平行。
符号语言：若
l?
?
,l?
?
，则
?

?
。
③若两个平面同时与一个平面平行，则这两个平面平行。
符号语言：若
?
< br>?
,
?

?
，则
?

?
。
【二、垂直的证明方法】
1.线线垂直的证明方法：
①定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线垂直。
②勾股定理逆定理：在
?A BC
中，若
AB
2
?AC
2
?BC
2
，则
?A?90
，即
AB?AC
。
③若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面里的所有直线。
符号语言：若
l?
?
,m?
?
，则
l?m
。
④若直线垂直两平行直线中的一条，则也垂直另一条。
符号语言：若
mn,l?m
，则
l?n
。
2.线面垂直的证明方法：
①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：若< br>m?
?
,n?
?
,mn?A,l?m,l?n
，则
l ?
?
。
②若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。
符号语言：若
mn,m?
?
，则
n?
?
。
③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直另一个平面。
符号语言：若< br>?

?
,l?
?
，则
l?
?
。
④若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：若
?
?
?
,
??
?l,m?
?
,m?l
， 则
m?
?
。
3.面面垂直的证明方法：
①定义：若二面角
?
?l?
?
的平面角为90°，则
?
?
?
。
②若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言：若
l?
?
,l?
?
，则
?
?
?
。
【三、角的求法】
1.线线角：首先把把两条直线平移到相交，其次把夹角放在三角形中。
2.线面角：首先找出线面角（斜线与射影的夹角），然后按照线线角求解。
3.面面角：首先找出二面角的平面角，然后按照线线角求解。
【四、距离的求法（略）】
【注意：以上每句话都有文字、符号、图像三种形式，理解并熟练转化才能学好，加油！】
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