高中数学必修2综合测试题及答案

必修2综合检测
时间120分钟 满分150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A ）因为
P?
?
,Q?
?
，所以PQ
?
?
（B）因为P
?
?
，Q
?
?
，所以
?
?< br>?
=PQ
（C）因为AB
?
?
，C
?
AB ，D
?
AB，所以CD
?
?

（D）因为
AB?< br>?
,
AB?
?
,所以
A?(
?
?
?
)
且
B?(
?
?
?
)

2．已知 直线
l
的方程为
y?x?1
，则该直线
l
的倾斜角为（ ）．
(A)
30
(B)
45
(C)
60
(D)
135

3.已知 点
A(x,1,2)和点B(2,3,4)
,且
AB?26
,则实数
x
的值是（ ）．
(A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2
4.长方体的三个面的面积分别是
2、3、6
，则长方体的体积是（ ）．
A．
32
B．
23
C．
6
D．6
5.棱长为
a
的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ）
A、
?
a
2
B、2
?
a
2
C、3
?
a
2
D、
4
?
a
2

6.若直线a与平面
?
不 垂直，那么在平面
?
内与直线a垂直的直线（ ）
（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面
?
内的所有直线 （D）不存在
7. 已知直线
l
、
m
、
n
与平面
?
、
?
，给出下列四个命题：
①若m∥
l
，n∥
l
，则m∥n ②若m⊥
③若m∥

其中假命题是（ ）
．．．
(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④
，n∥ ，则m∥n ④若m⊥
，m∥， 则 ⊥
或m ， ⊥ ，则m∥
8.在同一直角坐标系中，表示直线
y?ax
与
y?x?a
正确的是（ ）．

9．如图，一个空间几何体的主 视图和左视图都是边长为1的
正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ * ）．
．．．
(A)
53
?
(B)
?
(C)
?
(D)
?

42
4
主视图

左视图

22
(x?2) ?(y?3)?9
交于E、F两点，
x?2y?3?0
10.直线与圆
则?
EOF（O是原点）的面积为（ ）．
俯视图


A．
25
B．
3

4
C．
3

2
D．
65

5
11 .已知点
A(2,?3)
、
B(?3,?2)
直线
l
过点< br>P(1,1)
，且与线段AB相交，则直线
l
的斜率的取值
k
范
围是 （ ）
A、
k?
33133
或
k??4

B、
k?
或
k??
C、
?4?k?
D、
?k?4

444

44
12.若直线
y? kx?4?2k
与曲线
y?4?x
2
有两个交点，则k的取值范围是（ ）．

A．
?
1,??
?
B．
[?1,?)
C．
(,1]
D．
(??,?1]

二．填空题（每小题4分，共16分）
13.对任何 实数k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0都过
一个定点A，那么点A的坐标是 ．
14.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC
两两垂直，且PA= PB=PC=a，那么这个球面的面积
是 ．
22
:x－3）?（ y＋4）?9
，则15．已知
圆O
1
:x
2
?y
2
?1与圆O
2
（
3
4
3
4
a



①


y
②
圆O
1
与圆O
2
的位置关系为 ．
C
B
D
16．如图①，一个圆锥形容器的高为
a
，内装一定量的水 .如果将
容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为
a
（如图②），则图①中
2< br>O
1

A
x

的水面高度为 ．
三．解答题
17．（12分）如图，在
OABC
中，点C（1，3） ．（1）求OC
所在直线的斜率；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直
线的方程。
18．（12分）如图，已知正四棱锥V－
ABCD
中，
AC与BD交于点M ，VM是棱锥的高
，若
AC?6cm
，
VC?5cm
，求
V

D

A


M


C

B

正四棱锥
V
-
ABCD
的体积．

19．（12 分）如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F为棱AD、
AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB
1
D
1
；（2）求证：平面CAA
1
C
1
⊥平面CB
1
D
1
。


A


D
1

A
1

B
1

C
1

E

D

F

B

C

20. （12分）已知直线
l
1
：mx-y=0 ，
l
2
：x+m y-m-2=0。（Ⅰ）求证：对m∈R，
l
1
与
l
2
的 交点
P在一个定圆上；（Ⅱ）若
l
1
与定圆的另一个交点为
P
1
，
l
2
与定圆的另一交点为
P
2
，求当m在< br>实数范围内取值时，⊿
PP
1
P
2
面积的最大值及对应的m。
21. （12分）如图，在棱长为
a
的正方体
A
1
B1
C
1
D
1
?ABCD
中， （1）作出面
A
1
BC
1
与面
ABCD
的交线
l
，判断< br>l
与线
A
1
C
1
位置关系，并给出证明；（2）证明
B
1
D
⊥
面
A
1
BC
1
；（3）求线
AC
到面
A
1
BC
1
的距离；（4） 若以
D
为坐标原
点，分别以
DA,DC,DD
1
所在的直线 为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间
直角坐标系，试写 出
B,B
1
两点的坐标。
22．（14分）已知圆O：
x
2
?y
2
?1
和定点A(2,1)，由圆O外

一点
P(a,b)
向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足
PQ?PA
。(1)
求实数a、b间满足的等量关系；(2) 求线段PQ长的最小值；
(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最
Q
P

0
2
2
y
A
x

小值时圆P的方程。
参考答案： DBACA BDCCD AB 13.
(?1,2)
14.
3
?
a
15. 相离
2
3
?
OC所在直线的斜率为
k
OC
?
3?0
?3
. 16.
(1?
7
)a
17. 解: (1) 点O（0，0），点C（1，3 ），
2
（2）在
OABC
中，
ABOC
, CD⊥AB，
?
CD⊥OC.
?
CD所在直线的斜率为
kCD
1
?
CD所在直线方程为
y?3??(x?1)，
即x?3 y?10?0
.
3
1?0
1
??
.
3
18. 解法1：正四棱锥
V
-
ABCD
中，ABCD是正方形，
111
AC?BD??6?3
(cm).
222
11
2
??AC?BD??6?6?18
(cm).
22
D

?MC?
V

且
S
ABCD
C

M



VM是棱锥的高
,
A


B

?
Rt△VMC中，
VM?VC
2
?MC
2
?5
2
?3
2
?4
(cm).
?
正四棱锥V－
ABCD
的体积为
S
ABCD
?VM??18?4?24
(cm).
13
1
3
3
解法2：正四棱锥
V
-
ABCD中，ABCD是正方形，
?

MC?
1
AC?
1< br>BD?
1
?6?3
(cm). 且
AB?BC?
222
2
2
AC?32
(cm) . 2
?
S
ABCD
?AB
2
?(32)
2
?18
(cm).
VM是棱锥的高
,
?
Rt△VMC 中，
VM?VC
2
?MC
2
?5
2
?3
2
?4
(cm).
?
正四棱锥
V
-
ABCD
的体积为
S
ABCD
?VM??18?4?24
( cm).
1
3
1
3
3
19. （1）证明:连结BD .在长方体
AC
1
中，对角线
BDB
1
D
1
.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
?EFBD
.
?EFB
1
D
1
.
又B
1
D
1
平面
CB
1
D
1< br>，
EF?
平面
CB
1
D
1
，
? EF∥平面CB
1
D
1
.
平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
?
AA
1
⊥B
1
D
1
.
y
P
P
2
(2,1
P
1

O
（2） 在长方 体
AC
1
中，AA
1
⊥平面A
1
B
1C
1
D
1
，而B
1
D
1
又在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C
1
⊥B
1
D
1
，
?
B
1
D
1
⊥平面CAA
1
C
1
.
又 B
1
D
1
平面CB
1
D
1
，
?
平面CAA
1
C
1
⊥平面CB
1
D< br>1
．
20. 解：（Ⅰ）
l
1
与
l
2
分别过定点（0,0）、（2,1），且
两两垂直，∴
l
1
与
l
2
的交点必在以（0，0）、（2，1）为
x

一条直径的圆：
x(x?2)?y(y?1)?0
即
x
2
?y
2
?2x?y?0

王新敞
1 5
（Ⅱ）由（1）得
P
1
（0,0）、
P
2
（2, 1），∴⊿
PP
1
P
2
面积的最大值必为
?2r?r?．
24
1
P
此时OP与
P
垂直，由此可得m=3或．
?
12
3
21.解：（1）在面
ABCD
内过点
B
作
AC
的平行线
BE
，易知
BE
即为直线
l
，
∵
AC
∥
A
1
C
1
，
AC
∥
l
，∴
l
∥
A
1
C< br>1
.
（2）易证
A
1
C
1
⊥面
D BB
1
D
1
，∴
A
1
C
1
⊥B
1
D
，同理可证
A
1
B
⊥
B
1
D
，
又
A
1
C
1
?A
1
B
=
A
1
，∴
B
1
D< br>⊥面
A
1
BC
1
.
（3）线
AC
到面
A
1
BC
1
的距离即为点
A
到面
A< br>1
BC
1
的距离，也就是点
B
1
到面
A1
BC
1
的距离，记
3a
11
为
h
， 在三棱锥
B
1
?BA
1
C
1
中有
V
B
1
?BA
1
C
1
?V
B?A
1
B
1
C
1
，即
S
?A
1
BC
1
?h?S
?A
1
B
1
C
1
?BB
1
，∴
h?
.
3
33
（4）
C(a,a,0), C
1
(a,a,a)

22. 解：（1）连
OP,
PQ?OP?OQ
.
222
Q
为切点，
PQ?OQ
，由勾股定理有

2
y
A
又由已知
PQ?PA
，故
PQ
2
?PA
2
.
O
2
即：
(a?b)?1?(a?2)?(b?1)
.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：
2a?b?3?0
.
（2）由
2a?b?3?0
，得
b??2a?3
.
64
PQ?a
2
?b
2
?1?a
2
?(?2a?3)< br>2
?1
?5a
2
?12a?8
=
5(a?)
2
?
.
55
22222
x
P
Q
故 当
a?
6
时，
PQ
min
?
2
5.
即线段PQ长的最小值为
5
5
2
5.

5
解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.
∴| PQ |
min
= | PA |
min
，即求点A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |
min
=
25
.
5
（3）设圆P 的半径为
R
，圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，
| 2×2 + 1－3 |
=
2 2
2 + 1

< br>?R?1?OP?R?1.
即
R?OP?1
且
R?OP?1
.
而
OP?a
2
?b
2
?a
2
?(?2a? 3)
2
?5(a?)
2
?
，故当
a?
6
时 ，
OP
min
?
3
5.

5
5
6
5
9
5
此时,
b??2a?3?
3
，
R
min
?
3
5?1
.
5
5
得半径取最小值时圆P的方程为
(x?
6
)
2
? (y?
3
)
2
?(
3
5?1)
2
．
555
解法2： 圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而 这些
半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原
3
点与l垂直的直线 l’ 与l的交点P
0
. r =
2

2
2 + 1
－1 =
35
－1.
5

2
y
A
P
0

O
2
x
P
又 l’：x－2y = 0,
6
?
x?,
63
?
x?2y? 0,
?
?
5
解方程组
?
，得
?
.即P0
( , ).
55
?
2x?y?3?0
?
y?< br>3
?
5
?
Q
l

∴ 所求圆方程为
(x?
6
)
2
?(y?
3
)
2
?(3
5?1)
2
.
555