2019年高一数学必修2知识点.doc

高一数学必修2知识点
1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋 转得到，圆台是由直角梯形旋转得到，
球是由半圆旋转得到.
2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行.
3、圆柱的正视图和侧视图 都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，
俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧 视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三
视图都是圆.
4、空间几何体的表面积：
（1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为
h
，底面多边形的周长为
c
，则直棱柱的
侧面积
S
直棱柱侧面积
?ch
；
（ 2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为
a
，底面
11
周长为
c
，斜高为
h
?
，则正
n
棱 锥的侧面积
S
正棱锥侧面积
?nah
?
?ch
?
；
22
（3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正
n
棱台的上底面、下 底面边长分别为
a
?
、
a
，对应的周长分别为
c
?
、
c
，斜高为
h
?
，则正
n
棱台的侧面积
11
??
?na?ah?
???
c
?
?c
?
h
?
；
S
正棱台侧面积
22
（4）圆柱的侧面 展开图是矩形；设圆柱的底面半径为
r
，母线长为
l
，则圆柱的底面面积为
?
r
，侧面积为
2
?
rl
，圆柱的表面积< br>S
圆柱表面积
?2
?
r
?
r?l
?
；
（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l< br>，则圆锥的侧面积为
?
rl
，
表面积
S
圆锥表面积< br>?
?
r
?
r?l
?
；
（6）圆台的侧面展 开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为
r
?
、
r
，母线长为
l
，则圆台
的侧面积为
?
?
r
?
?r
?
l
，表面积
S
圆台表面积
?
?
2
?
r
?
?
r
?r
?
l?rl
?
；
22
2
（7）设球的半径为
R
，则球的表面积
S
球表面积
?4
?
R
.
5、空间几何体的体积：
（1）设柱体（棱 柱、圆柱）的底面积为
S
，高为
h
，则柱体的体积
V
柱体< br>?Sh
；
1
?Sh
；
S
h
（2）设锥体 （棱锥、圆锥）的底面积为，高为，则锥体的体积
V
锥体
3
（3）设台体（棱 台、圆台）的上、下底面积分别为
S
?
、
S
，高为
h
，则台体的体积
1
?
V
台体
3
hS?SS
??S
?
；
??
（4）设圆柱的底面半径为
r
，高为< br>h
，则圆柱的体积
V
圆柱
?
?
r
h
；

1
2

1
2
（5）设圆锥 的底面半径为
r
，高为
h
，则圆锥的体积
V
圆锥
?
?
r
h
；
3
1
（6）设圆台的上、下底面半径分 别为
r
?
、
r
，高为
h
，则圆台的体积
V
圆台
?
?
h
3
4
3
（7）设球的半径为< br>R
，则球的体积
V
球
?
?
R
.
3
6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.
7、平面的基本性质：
公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
数学符号表示：< br>??l,??l,??
?
,??
?
?l?
?

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
数学符号表示：
?,?,C 三点不共线?有且只有一个平面
?
,使??
?
,??
?
,C ?
?

公理3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
数学符号表示：
??
??
?
??
?l且??l

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
数学符号表示：
ab,bc?ac

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如 果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直
角）相等.
9 、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与
此平面平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行.
数学符号表示：
a
?
,a?
?
,
??
?b?ab

10、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
,ab??,a
?
,b
?
?
?< br>
?

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
数学符号表示：a?
?
,a?
?
?
?

?

?
r
2
?rr
?
?
r
?
；
2
?

2

（3）平行于同一个平面的两个平面平行.
数学符号表示：
?

?< br>,
?

?
?
?

?

平面与平 面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均
平行于另一个平面.
数学符号表示：
?

?
,a?
?
?a
?
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
数学符号表示 ：
?

?
,
??
?a,
??
?b?ab
11、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
数学符号表示：
m?
?
,n?
?
,mn??,l?m,l?n?l?
?

（2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
数学符号表示：
ab,a?
?
?b?
?

（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.
数学符号 表示：
?

?
,a?
?
?a?
?

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
?ab

12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
数学符 号表示：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面 垂直.
数学符号表示：
?
?
?
,
??
?b,a?
?
,a?b?a?
?

13、三垂线定理：在平面内的一条直线，如 果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么
它也和这条斜线垂直.
数学符号表示：
???
?
,??为??在
?
内的射影,a???,a?
?
? a???

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直，那 么它
也和这条斜线在平面内的射影垂直.
数学符号表示：
???
?
,??为??在
?
内的射影,a???,a?
?
?a???

14、求异面直线所成的角（
0?
?
?90
）的步骤：
（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角 形为直角三角形，等腰三角形等特殊
三角形，便易求此角大小.

3

15、求直线与平面所成的角（
0?
?
?90
）的步骤：
（1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是
直线与平 面所成的角.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角的 大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊
三角形，便易求此角大小.
16、求二面角的平面角（
0?
?
?180
）的步骤：
（ 1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所
成的角，即为二 面角的平面角.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角 的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊
三角形，便易求此角大小.
17、直线的倾斜角和斜率：
（1）设直线的倾斜角为
?
?
0?< br>?
?180
?
，斜率为
k
，
则
k?tan< br>?
?
?
?
?
?
?
2
?
?< br>?
.
当
?
?
?
2
时，斜率不存在. （2）当
0?
?
?90
时，
k?0
；当
90?
?
?180
时，
k?0
.
?
yy
（3） 过
?
?
x
,
y
?
，
?
?
x
,
y
?
的直线斜率
k?
x
?
x
?
x
?
x
?
.
2
2
1
1
1
1
2
2
2
12
1
18、两直线的位置关系：
两条直线
l
:y?
k
x?
b
;
l
:y?
k
x?
b
斜率都存在，则：
111222
（1）< br>l

l
1
12
2
?
k
1
?< br>k
2
且
b
1
?
b
2
；
12
当的斜率不存在,的斜率为0时,?
?
?????1
（2） < br>llll
2
?
；
121
llkk
（3）
l< br>与l
重合?
k
?
k
且
b
?
b
.
1
2
1212

4

19、直线方程的形式：
（1）点斜式：
y?
y
0
?k< br>?
x?
x
0
?
（定点，斜率
存在）
（2） 斜截式：
y?kx?b
（斜率存在，在
y
轴
上的截距）
（ 3）两点式：
y
?
y
?
x
?
x
?
y
?
y
,
x
?
x
?
（两点）
1
12
12
21
21
y?
y
x?
x
1
xy
（4）截距式：
a
?
b
?1
（在
x
轴上的截距，在
y
轴上的截距）
?x??y?C?0
（5）一般式 ：
?
?
?
?
?0
?

22
20、直线的交点坐标：
设
l
:
?
x??
y?
C
?0,
l
:
?
x?
?
y?
C
?0
，则联立方程组
1
11
12
222
?
?
?
1
x?
?
1
y?
C
1
?0
?
?
?
?
2
x?
?
2
y?
C
2
?0

（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交，
此解是交点的坐标；

5

（2）当方程组无解时，两条直线平行；
（3）当方程组有无数组解时，两条直线重
合.
设
l
:
?
x?
?
y?
C
?0,
l
:
?
x?
?
y?
C
?0
，则：
1
11
12
22
2
（1）
l
与
l
相交
?
?
?
?
；
11
12
??
22
（2）
l
l
?
?
?
?
?
C
；
111
12
??
C
22
2
?
?
?
?C
. （3）
l
与
l
重合
?
??
C< br>111
12
22
2
21、两点
?
?
x
,
y
?
，
?
?
x
,
y
?
间的距离公式
1
1
1
2
2
2
??
12< br>?
?
x
2
?
x
1
?
?
?< br>y
2
?
y
1
?

2
2
原点
?
?
0,0
?
与任一点
?
?
x,y
?
的距离
???
0
0
0
x
?
y
2
2

?
x
0
??
y
?C
022、点
?
?
x
,
y
?
到直线
l:? x??y?C?0
的距离
d?
（1）点
?
?
x
,< br>y
?
到直线
l:?x?C?0
的距离
d?
0
0
0
?
?
?
?
22

?
x
0
?C


2
（2）点
?< br>?
x
,
y
?
到直线
l:?y?C?0
的距离
d?
0
0
0
?
y
?C
0
?
C
（3）点
?
?
0,0
?
到直线
l:?x??y ?C?0
的距离
d?

6
?
?
?
2

23、两条平行直线
?x??y?
C
?0
与
?x??y?
C
?0
间的距
12
离
d?
C
?
C
?
?
?
12
22

1
11
12
22
2
24、过直线
l
:
?
x?
?
y?
C
?0< br>与
l
:
?
x?
?
y?
C
?0
交点的直
线方程为
?
x?
?
y?
C
?
?
?
?
x?
?
y?
C
?
?0
??
?R
?

11
1
22
2
25、与直 线
l:?x??y?C?0
平行的直线方程为

?x??y?D0?
?
C?
?
D
与直线
l:?x??y?C?0
垂直的直线方程 为
?x??y?D?0

26、中心对称与轴对称：
（1）中心对称：设点
?
?
x
,
y
?
,?
?
x
,
y
?
关于点
?
?
x
,
y
?1
2
2
2
0
0
1
2
2
??
x
1
x
2
?
?
x
0
2?
对称，则
?

?
yy
?
12
?y
?
?
0
2
（2）轴对称：设
?
1
?
x
,
y
?
,?
?
x
,
y
?
关于直线
l:?x??y?C?0
对称，则：
1
2
?< br>xx
a、
??0
时，有
2
??
C
且
y
?
1
?
y
2
；
?
yy
b、< br>??0
时，有
12
2
??
C
且
x
1
?
x
2

?
?
y
?
y
?
2
?
1
?
?
?
?
c、
???0< br>时，有
?
x
1
x
2
?
?
?
??
x
1
x
2
???
?2
27、圆的标准方程：< br>2
y
?
y
1

2
2
?C?0
2
2
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
r
（圆心
?
?
a,b
?
，半径长为
r< br>）

7

圆心
?
?
0, 0
?
，半径长为
r
的圆的方程
x
?
y
?< br>r

2
2
2
28、点与圆的位置关系：
设圆的标准 方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?
r
22
2
2
，点
?
2
?
x
,y
?
，则：
0
0
2
2
?
x
0
?a
?
?
y
0
?b
?
（2）当点
?
在圆外时，
?
x
0
?a
?
?
?
y
?b
?
?
r
；
0
（3）当点
?在圆内时，
?
x
0
?a
?
?
?
y?b
?
?
r
.
0
27、圆的一般方程：
x< br>?
y
?Dx?Ey?F?0
?
D
?
E
?4F ?0
?

（1）当点
?
在圆上时，
??
r
；
2
2
2
2
2
2
2
22
1
?
DE
?
22
（1）当
D
?
E
?4F?0
时，表示以< br>?
?,?
?
为圆心，
2
?
22
?
D
2
?
E
?4F
为半径的圆；
2
?
DE< br>?
22
（2）当
D
?
E
?4F?0
时，表示 一个点
?
?,?
?
；
?
22
?
（3）当
D
?
E
?4F?0
时，不表示任何图形.
28、直线与圆的位置关系：
设直线
l:?x??y?C?0
与圆
C:
22
?
x?a
??
y?b
?
2
?2
?
r
，圆心到直线的距离
d?
2
?a??b?C?
?
?
22
，
?
?x??y?C?0
?
2
方程组
?
x?a
?
y?b
?
?
??? ?
2
?
r
2
，
?
为方程组消去一元后得到的方程的 判别式，则：
（1）相交
?d?r???0?
方程组有两组实数解；
（2）相切
?d?r???0?
方程组有一组实数解；
（3）相离
?d?r???0?
方程组无实数解.
29、圆与圆的位置关系：
设圆
C
1
的半径为
r
1
，圆
C
2
的半径为
r
2
，则：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

C
与
C
12
相离
?
相切
?
相交
?
内切
?
内含
?
CC
?
r
?
r
1212
；
；
12
C
与
C
12
CC< br>?
r
?
r
12
12
C
与
C
12
r
?
r
12
?
?
?
CC
?< br>r
?
r
12
；
C
与
C
12
CC
12
r
?
r
12
；
.
8 C
与
C
12
CC
12
r
?
r
12

30、过两圆
x
2
?
y
?< br>D
1
x?
E
1
y?
F
1
?0
与
2
x
2
?
y
?
D
2
x?E
2
y?
F
2
?0
交点的圆的方程
2
x
2
?
y
?
D
1
x?
E
1
y?
F
1
?
?
2
?
x
2
?y
?
D
2
x?
E
2
y?
F
2
?0
?
?
??1
?

2
?
当
?
??1
时，即两圆公共弦所在的直线方程. 31、点
?
?
a,b,c
?
关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的 对称点的坐标：
（1）关于
xoy
平面的对称点坐标为
?
a,b, ?c
?
；
（2）关于
xoz
平面的对称点坐标为
?
a,?b,c
?
；
（3）关于
yoz
平面的对称点坐标为
?
?a,b,c
?
；
（4）关于
x
轴的对称点坐标为< br>?
a,?b,?c
?
；
（5）关于
y
轴的对称点坐 标为
?
?a,b,?c
?
；
（6）关于
z
轴的对 称点坐标为
?
?a,?b,c
?
；
（7）关于原点的对称点坐标为
?
?a,?b,?c
?
；
32点
?
1
?
x
,
y
,
z
?,
?
?
x
,
y
,
z
?
间的距 离
??
?
?
x
2
?
x
1
?
?
?
y
2
?
y
1
?
?
?
z
2
?
z
1
?

2
2
2
1
1
12
2
2
2
12
点
?
1< br>?
0,0,0
?
,
?
2
?
x,y,z
?
间的距离
?
1
?
2
?
x
2
?
y
?
z

2
2

9