高中数学微课在课堂中的作用-高中数学专题 道客巴巴
第四章测试
(时间:120分钟 总分:150分)
一、选择题(本大题共
12小题,每小题5分,共60分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知两圆的方程是
x
2
+
y
2
=1和
x
2
+
y
2
-6
x
-8
y
+9=
0,那么
这两个圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
2.过点(2,1)的直线中,被圆
x
2
+
y
2
-2
x
+4
y
=0截得的最长弦所
在的直线方程为( )
A.3
x
-
y
-5=0
C.
x
+3
y
-5=0
B.3
x
+
y
-7=0
D.
x
-3
y
+1=0
3.若直线(1+
a
)
x
+
y
+1=0与圆
x
2
+
y
2
-2
x
=0相切,则
a
的值
为(
)
A.1,-1
C.1
B.2,-2
D.-1
4.经过圆
x
2
+
y
2
=10上一点
M
(2,6)的切线方程是( )
A.
x
+6
y
-10=0
x
-2
y
+10=0
C.
x
-6
y
+10=0
D.2
x
+6
y
-10=0
5.点
M
(3,-3,1)关于
xOz
平面的对称点是(
)
A.(-3,3,-1)
C.(3,-3,-1)
B.(-3,-3,-1)
D.(3,3,1)
6.若点
A
是点
B
(1,2,3)关于
x
轴对称的点,点
C
是点
D
(2,-2,5)
关于
y
轴对称的点,则|
AC<
br>|=( )
A.5
C.10
7.若直线
y
=
kx+1与圆
x
2
+
y
2
=1相交于
P
、
Q
两点,且∠
POQ
=120°(其中
O
为坐标原点),则
k
的值为( )
或-3 和-2
8.与圆
O
1
:
x
2
+
y
2
+4
x
-4
y
+7=0
和圆
O
2
:
x
2
+
y
2
-4x
-10
y
+13
=0都相切的直线条数是( )
A.4 B.3 C.2
D.1
9.直线
l
将圆
x
2
+
y
2
-2
x
-4
y
=0平分,且与直线
x
+2
y
=0垂直,
则直线
l
的方程是( )
A.2
x
-
y
=0
B.2
x
-
y
-2=0
C.
x
+2
y
-3=0
D.
x
-2
y
+3=0
10.圆
x
2<
br>+
y
2
-(4
m
+2)
x
-2
my
+4
m
2
+4
m
+1=0的圆心在直线
x
+
y
-4=0上,那么圆的面积为( )
π B.π
C.2π D.由
m
的值而
定
11.当点
P
在圆
x
2
+
y
2
=1上变动时,它与定
点
Q
(3,0)的连结线
段
PQ
的中点的轨迹方程是(
)
A.(
x
+3)
2
+
y
2
=4
B.(
x
-3)
2
+
y
2
=1
C.(2
x
-3)
2
+4
y
2
=1
D.(2
x
+3)
2
+4
y
2
=1
12.曲线
y
=1+4-
x
2
与直线
y
=k
(
x
-2)+4有两个交点,则实
数
k
的取值范围是
( )
5
A.(0,)
12
13
C.(,]
34
5
B.(,+∞)
12
53
D.(,]
124
二、填空题(本大题共4小题
,每小题5分,满分20分,把答案
填在题中横线上)
13.圆
x
2
+
y
2
=1上的点到直线3
x
+4
y
-
25=0的距离最小值为
____________.
14.圆心为
(1,1)且与直线
x
+
y
=4相切的圆的方程是________.
15.方程
x
2
+
y
2
+2
ax-2
ay
=0表示的圆,①关于直线
y
=
x
对称;②关于直线
x
+
y
=0对称;③其圆心在
x
轴上,且过
原点;④其圆心
在
y
轴上,且过原点,其中叙述正确的是__________.
16.直线
x
+2
y
=0被曲线
x
2
+
y
2
-6
x
-2
y
-15=0所截得的弦长<
br>等于__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出
必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)自
A
(
4,0)引圆
x
2
+
y
2
=4的割线
ABC
,求弦
BC
中点
P
的轨迹方程.
18.(12分)已知
圆
M
:
x
2
+
y
2
-2
mx+4
y
+
m
2
-1=0与圆
N
:
x<
br>2
+
y
2
+2
x
+2
y
-2=0相
交于
A
,
B
两点,且这两点平分圆
N
的圆周,求圆
M
的圆心坐标.
19.(12分)已知圆
C
1
:
x
2
+
y
2
-3
x
-3
y
+3=
0,圆
C
2
:
x
2
+
y
2
-2<
br>x
-2
y
=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.
2
0.(12分)已知圆
C
:
x
2
+
y
2
+
2
x
-4
y
+3=0,从圆
C
外一点
P
向
圆引一条切线,切点为
M
,
O
为坐标原点,且有|
PM
|=
|
PO
|,求|
PM
|
的最小值.
21.(12
分)已知⊙
C
:(
x
-3)
2
+(
y
-4
)
2
=1,点
A
(-1,0),
B
(1,0),
点
P
是圆上动点,求
d
=|
PA
|
2
+|
PB
|
2
的最大、最小值及对应的
P
点
坐标.
22.(12分)已知曲线
C
:
x
2
+
y
2
+2
kx
+(4
k
+10)
y
+10
k
+20=0,
其中
k
≠-1.
(1)求证:曲线
C
表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;
(2)证明曲线
C
过定点;
(3)若曲线
C
与
x
轴相切,求
k
的值.
1解析:将圆
x
2
+
y
2
- 6
x
-8
y
+9=0,
化为标准方程得(
x-3)
2
+(
y
-4)
2
=16.
∴两圆的圆心距0-3
2
+0-4
2
=5,
又< br>r
1
+
r
2
=5,∴两圆外切.答案:C
2解析:依题意知,所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式
方程得=,即3
x
-
y
-5=0.答案:A
1+22-1
3解析:圆
x< br>2
+
y
2
-2
x
=0的圆心
C
(1 ,0),半径为1,依题意得
|1+
a
+0+1|
=1,即|
a+2|=
2
1+
a
+1
y
+2
x
-1
a
+1
2
+1,平方整理得
a
=-
1.答案:D
6
4解析:∵点
M
(2,6)在圆
x
+
y
=10上,
k
OM
=,
2
22<
br>∴过点
M
的切线的斜率为
k
=-
6
,
3
6
故切线方程为
y
-6=-(
x
-2),
3
即2
x
+6
y
-10=0. 答案:D
5解析:点
M
(3,-3,1)关于
xOz
平面的对称点是(3,3
,1).答案:
D
6解析:依题意得点
A
(1,-2,-3),<
br>C
(-2,-2,-5).
∴|
AC
|=
案:B
1
7解析:由题意知,圆心
O
(0,0)到直线
y
=
kx
+1的距离为,
2
11
∴3.答案:C
2
=,∴
k
=±
2
1+
k
8解析:两圆的方程配方得,
O
1
:(<
br>x
+2)
2
+(
y
-2)
2
=1,
-2-1
2
+-2+2
2
+-5+3
2
=13.答
O
2
:(
x
-2)
2
+(
y
-5
)
2
=16,
圆心
O
1
(-2,
2),
O
2
(2,5),半径
r
1
=1,
r
2
=4,
∴|
O
1
O
2
|=2+2<
br>2
+5-2
2
=5,
r
1
+
r
2<
br>=5.
∴|
O
1
O
2
|=
r1
+
r
2
,∴两圆外切,故有3条公切线.答案:B
9解析:依题意知,直线
l
过圆心(1,2),斜率
k
=2,
∴
l
的方程为
y
-2=2(
x
-1),即2
x
-
y
=0.答案:A
10解析:∵
x
2
+
y
2
-(4
m
+2)
x
-2
my
+4
m
2
+4
m
+1=0,
∴[
x<
br>-(2
m
+1)]
2
+(
y
-
m
)
2
=
m
2
.
∴圆心(2
m
+1
,
m
),半径
r
=|
m
|.
依题意知2
m
+1+
m
-4=0,∴
m
=1.
∴圆的面积
S
=π×1
2
=π.答案:B
11解
析:设
P
(
x
1
,
y
1
),
Q<
br>(3,0),设线段
PQ
中点
M
的坐标为(
x
,y
),
x
1
+3
2
则
x
=
,
y
=,∴
x
1
=2
x
-3,
y
1
=2
y
.
2
y
1
又点
P(
x
1
,
y
1
)在圆
x
2
+
y
2
=1上,
∴(2
x
-3)
2
+4
y
2
=1.
故线段
PQ
中点的轨迹方程为
(2
x
-3)
2
+4
y
2
=1.答案:C
12解析:如图所示,曲线
y
=1+4-
x
2
变形为
x
2
+(
y
-1)
2
=4(
y
≥1),
直线
y
=
k
(x
-2)+4过定点(2,4),
当直线
l
与半圆相切时,有
|-2
k
+4-1|5
=2,解得
k
=.
12
k
2
+1
3
当直线
l
过点(-2,1)时,
k
=.
4
53
因此,
k
的取值范围是<
k
≤.答案:D
124
13解析:圆心(0,0)到直线3
x
+4
y
-25=0的距离为5,
∴所求的最小值为4.
|1+1-4|
14解析:
r
==
2,所以圆的方程为(
x
-1)
2
+(
y
-1)
2
2
=2.
15解析:已知方程配方得,(
x
+
a
)
2
+(
y
-
a
)
2
=2
a
2
(
a
≠0),圆心
坐标为(-
a,
a
),它在直线
x
+
y
=0上,∴已知圆关于直线<
br>x
+
y
=0
对称.故②正确.
16解析:由
x
2
+
y
2
-6
x
-2
y
-1
5=0,
得(
x
-3)
2
+(
y
-1)
2
=25.
|3+2×1|
圆心(3,1)到直线
x+2
y
=0的距离
d
==5.在弦心
5
距、半径、半弦
长组成的直角三角形中,由勾股定理得,弦长=
2×25-5=45.
17解:解法
1:连接
OP
,则
OP
⊥
BC
,设
P
(<
br>x
,
y
),当
x
≠0时,
yy
k
O
P
·
k
AP
=-1,即·=-1,
xx
-4即
x
2
+
y
2
-4
x
=0①
当
x
=0时,
P
点坐标为(0,0)是方程①的解,
∴
BC
中点
P
的轨迹方程为
x
2
+
y
2
-4
x
=0(在已知圆内).
1
解法2:由解
法1知
OP
⊥
AP
,取
OA
中点
M
,则<
br>M
(2,0),|
PM
|=|
OA
|
2
=2
,由圆的定义知,
P
点轨迹方程是以
M
(2,0)为圆心,2为半径的
圆.
故所求的轨迹方程为(
x
-2)
2
+
y<
br>2
=4(在已知圆内).
18解:由圆
M
与
圆
N
的方程易知两圆的圆心分别为
M
(
m
,-2),
N
(-1,-1).
两圆的方程相减得直线
AB
的方程为
2(
m
+1
)
x
-2
y
-
m
2
-1=0.
∵
A
,
B
两点平分圆
N
的圆周,
∴
AB
为圆
N
的直径,∴
AB
过点
N
(
-1,-1),
∴2(
m
+1)×(-1)-2×(-1)-
m<
br>2
-1=0,
解得
m
=-1.
故圆
M
的圆心
M
(-1,-2).
19解:设两
圆的交点为
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),则
A
、B
两点的坐
22
?
?
x
+
y
-3x
-3
y
+3=0
标是方程组
?
22
?
x
+
y
-2
x
-2
y
=0
?
的解,两方程相减得:
x
+
y
-3
=0,
∵
A
、
B
两点的坐标都满足该方程,
∴
x
+
y
-3=0为所求.
将圆
C
2
的方程化为标准形式,
(
x
-
1)
2
+(
y
-1)
2
=2,
<
br>∴圆心
C
2
(1,1),半径
r
=2.
|
1+1-3|1
圆心
C
2
到直线
AB
的距离
d==,
22
1
2-=6.
2
|
A
B
|=2
r
-
d
=2
22
即两圆的公共弦长为6.
20解:如图:
PM
为圆
C
的切线,则
CM⊥
PM
,∴△
PMC
为直角三角
形,∴|
PM
|
2
=|
PC
|
2
-|
MC
|
2
.
设
P
(
x
,
y
)
,
C
(-1,2),|
MC
|=2.
∵|
PM
|=|
PO
|,
∴
x
2
+
y
2
=(
x
+1)
2
+(
y
-2)
2
-2,
化简得点
P
的轨迹方程为:2<
br>x
-4
y
+3=0.
求|
PM
|的最小值
,即求|
PO
|的最小值,即求原点
O
到直线2
x
-4y
35
+3=0的距离,代入点到直线的距离公式可求得|
PM<
br>|最小值为.
10
21解:设点
P
的坐标为(
x<
br>0
,
y
0
),则
d
=(
x
222
0
+1)+
y
0
+(
x
0
-1)
2
+
y
0
=2(
x
2
0
+
y
2
0
)+2.
欲求
d
的最大、最小值,只需
求
u
=
x
22
0
+
y
0
的最大、
最小值,即
求⊙
C
上的点到原点距离的平方的最大、最小值.
作直
线
OC
,设其交⊙
C
于
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
),
如图所示.
则
u
2
最小值
=|
OP
1
|
2
=(|OC
|-|
P
1
C
|)
2
=(5-1)=16
.
此时,
x
1
y
1
4
3
=4
=
5
,
∴
x
12
5
,<
br>y
16
1
=
1
=
5
.
∴
d
的最小值为34,对应点
P
?
1216
?
1的坐标为
?
?
5
,
5
?
?
.
同理可得
d
的最大值为74,对应点
P
?
1824
?
2
的坐标为
?
?
5
,
5
?
?<
br>.
22解:(1)证明:原方程可化为(
x
+
k
)
2
+(
y
+2
k
+5)
2
=5(
k
+1)
2
∵
k
≠-1,∴5(
k
+1)
2
>0.
故方程表示圆心为(-
k
,-2
k
-5),半径为5|
k<
br>+1|的圆.
?
?
x
=-
k
,
设
圆心的坐标为(
x
,
y
),则
?
?
y
=-
2
k
-5,
?
消去
k
,得2
x
-
y
-5=0.
∴这些圆的圆心都在直线2
x
-
y
-5=0上.
(2)证明:将原方程变形为
(2
x
+4
y
+1
0)
k
+(
x
2
+
y
2
+10
y
+20)=0,
∵上式对于任意
k
≠-1恒成立,
?
?
2
x
+4
y
+10=0,
∴
?<
br>22
?
x
+
y
+10
y
+20=0.
?
?
?
x
=1,
解得
?
?
?
y
=-3.
∴曲线
C
过定点(1,-3).
(3)∵圆
C
与
x
轴相切,
∴圆心(-
k
,-2
k
-5)到
x
轴的距离等于半径,
即|-2
k
-5|=5|
k
+1|.
两边平方,得(2
k
+5)
2
=5(
k
+1)
2
,
∴
k
=5±35.