高中数学必修2测试含答案

1.答案：D

6
4解析：∵点
M
(2，6)在圆
x
＋
y
＝10上，
k
OM
＝，

2
22< br>∴过点
M
的切线的斜率为
k
＝－
6
，
3
6
故切线方程为
y
－6＝－(
x
－2)，

3
即2
x
＋6
y
－10＝0. 答案：D

5解析：点
M
(3，－3,1)关于
xOz
平面的对称点是(3,3 ,1)．答案：
D

6解析：依题意得点
A
(1，－2，－3)，< br>C
(－2，－2，－5)．

∴|
AC
|＝
案：B

1
7解析：由题意知，圆心
O
(0,0)到直线
y
＝
kx
＋1的距离为，

2
11
∴3.答案：C

2
＝，∴
k
＝±
2
1＋
k
8解析：两圆的方程配方得，
O
1
：(< br>x
＋2)
2
＋(
y
－2)
2
＝1，

－2－1
2
＋－2＋2
2
＋－5＋3
2
＝13.答
O
2
：(
x
－2)
2
＋(
y
－5 )
2
＝16，

圆心
O
1
(－2, 2)，
O
2
(2,5)，半径
r
1
＝1，
r
2
＝4，

∴|
O
1
O
2
|＝2＋2< br>2
＋5－2
2
＝5，
r
1
＋
r
2< br>＝5.

∴|
O
1
O
2
|＝
r1
＋
r
2
，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B

9解析：依题意知，直线
l
过圆心(1,2)，斜率
k
＝2，
∴
l
的方程为
y
－2＝2(
x
－1)，即2
x
－
y
＝0.答案：A

10解析：∵
x
2
＋
y
2
－(4
m
＋2)
x
－2
my
＋4
m
2
＋4
m
＋1＝0，

∴[
x< br>－(2
m
＋1)]
2
＋(
y
－
m
)
2
＝
m
2
.

∴圆心(2
m
＋1 ，
m
)，半径
r
＝|
m
|.

依题意知2
m
＋1＋
m
－4＝0，∴
m
＝1.

∴圆的面积
S
＝π×1
2
＝π.答案：B

11解 析：设
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q< br>(3,0)，设线段
PQ
中点
M
的坐标为(
x
，y
)，

x
1
＋3
2
则
x
＝ ，
y
＝，∴
x
1
＝2
x
－3，
y
1
＝2
y
.

2
y
1
又点
P(
x
1
，
y
1
)在圆
x
2
＋
y
2
＝1上，

∴(2
x
－3)
2
＋4
y
2
＝1.

故线段
PQ
中点的轨迹方程为 (2
x
－3)
2
＋4
y
2
＝1.答案：C

12解析：如图所示，曲线
y
＝1＋4－
x
2


变形为
x
2
＋(
y
－1)
2
＝4(
y
≥1)，

直线
y
＝
k
(x
－2)＋4过定点(2,4)，

当直线
l
与半圆相切时，有

|－2
k
＋4－1|5
＝2，解得
k
＝.

12
k
2
＋1
3
当直线
l
过点(－2,1)时，
k
＝.

4
53
因此，
k
的取值范围是<
k
≤.答案：D

124
13解析：圆心(0,0)到直线3
x
＋4
y
－25＝0的距离为5，

∴所求的最小值为4.

|1＋1－4|
14解析：
r
＝＝ 2，所以圆的方程为(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
2
＝2.

15解析：已知方程配方得，(
x
＋
a
)
2
＋(
y
－
a
)
2
＝2
a
2
(
a
≠0)，圆心

坐标为(－
a，
a
)，它在直线
x
＋
y
＝0上，∴已知圆关于直线< br>x
＋
y
＝0
对称．故②正确．

16解析：由
x
2
＋
y
2
－6
x
－2
y
－1 5＝0，

得(
x
－3)
2
＋(
y
－1)
2
＝25.

|3＋2×1|
圆心(3,1)到直线
x＋2
y
＝0的距离
d
＝＝5.在弦心
5
距、半径、半弦 长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝
2×25－5＝45.

17解：解法 1：连接
OP
，则
OP
⊥
BC
，设
P
(< br>x
，
y
)，当
x
≠0时，
yy
k
O P
·
k
AP
＝－1，即·＝－1，

xx
－4即
x
2
＋
y
2
－4
x
＝0①

当
x
＝0时，
P
点坐标为(0,0)是方程①的解，
∴
BC
中点
P
的轨迹方程为
x
2
＋
y
2
－4
x
＝0(在已知圆内)．

1
解法2：由解 法1知
OP
⊥
AP
，取
OA
中点
M
，则< br>M
(2,0)，|
PM
|＝|
OA
|
2
＝2 ，由圆的定义知，
P
点轨迹方程是以
M
(2,0)为圆心，2为半径的
圆．

故所求的轨迹方程为(
x
－2)
2
＋
y< br>2
＝4(在已知圆内)．

18解：由圆
M
与 圆
N
的方程易知两圆的圆心分别为
M
(
m
，－2)，
N
(－1，－1)．

两圆的方程相减得直线
AB
的方程为

2(
m
＋1 )
x
－2
y
－
m
2
－1＝0.

∵
A
，
B
两点平分圆
N
的圆周，

∴
AB
为圆
N
的直径，∴
AB
过点
N
( －1，－1)，

∴2(
m
＋1)×(－1)－2×(－1)－
m< br>2
－1＝0，

解得
m
＝－1.

故圆
M
的圆心
M
(－1，－2)．

19解：设两 圆的交点为
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
A
、B
两点的坐
22
?
?
x
＋
y
－3x
－3
y
＋3＝0
标是方程组
?
22
?
x
＋
y
－2
x
－2
y
＝0
?

的解，两方程相减得：
x
＋
y
－3
＝0，

∵
A
、
B
两点的坐标都满足该方程，

∴
x
＋
y
－3＝0为所求．

将圆
C
2
的方程化为标准形式，

(
x
－ 1)
2
＋(
y
－1)
2
＝2，

< br>∴圆心
C
2
(1,1)，半径
r
＝2.

| 1＋1－3|1
圆心
C
2
到直线
AB
的距离
d＝＝，

22
1
2－＝6.

2
|
A B
|＝2
r
－
d
＝2
22
即两圆的公共弦长为6.

20解：如图：
PM
为圆
C
的切线，则
CM⊥
PM
，∴△
PMC
为直角三角
形，∴|
PM
|
2
＝|
PC
|
2
－|
MC
|
2
.


设
P
(
x
，
y
) ，
C
(－1,2)，|
MC
|＝2.

∵|
PM
|＝|
PO
|，

∴
x
2
＋
y
2
＝(
x
＋1)
2
＋(
y
－2)
2
－2，

化简得点
P
的轨迹方程为：2< br>x
－4
y
＋3＝0.

求|
PM
|的最小值 ，即求|
PO
|的最小值，即求原点
O
到直线2
x
－4y

35
＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|
PM< br>|最小值为.

10
21解：设点
P
的坐标为(
x< br>0
，
y
0
)，则

d
＝(
x
222
0
＋1)＋
y
0
＋(
x
0
－1)
2
＋
y
0
＝2(
x
2
0
＋
y
2
0
)＋2.

欲求
d
的最大、最小值，只需 求
u
＝
x
22
0
＋
y
0
的最大、 最小值，即
求⊙
C
上的点到原点距离的平方的最大、最小值．

作直 线
OC
，设其交⊙
C
于
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)，

如图所示．


则
u
2
最小值
＝|
OP
1
|
2
＝(|OC
|－|
P
1
C
|)
2
＝(5－1)＝16 .

此时，
x
1
y
1
4
3
＝4
＝
5
，

∴
x
12
5
，< br>y
16
1
＝
1
＝
5
.

∴
d
的最小值为34，对应点
P
?
1216
?
1的坐标为
?
?
5
，
5
?
?
.

同理可得
d
的最大值为74，对应点
P
?
1824
?
2
的坐标为
?
?
5
，
5
?
?< br>.

22解：(1)证明：原方程可化为(
x
＋
k
)
2
＋(
y
＋2
k
＋5)
2
＝5(
k
＋1)
2

∵
k
≠－1，∴5(
k
＋1)
2
>0.

故方程表示圆心为(－
k
，－2
k
－5)，半径为5|
k< br>＋1|的圆．

?
?
x
＝－
k
，
设 圆心的坐标为(
x
，
y
)，则
?
?
y
＝－ 2
k
－5，
?


消去
k
，得2
x
－
y
－5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2
x
－
y
－5＝0上．

(2)证明：将原方程变形为

(2
x
＋4
y
＋1 0)
k
＋(
x
2
＋
y
2
＋10
y
＋20)＝0，

∵上式对于任意
k
≠－1恒成立，
?
?
2
x
＋4
y
＋10＝0，
∴
?< br>22
?
x
＋
y
＋10
y
＋20＝0.
?


?
?
x
＝1，
解得
?
?
?
y
＝－3.


∴曲线
C
过定点(1，－3)．

(3)∵圆
C
与
x
轴相切，

∴圆心(－
k
，－2
k
－5)到
x
轴的距离等于半径，

即|－2
k
－5|＝5|
k
＋1|.
两边平方，得(2
k
＋5)
2
＝5(
k
＋1)
2
，

∴
k
＝5±35.