高中数学必修2第三章知识点+习题+答案

第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α
= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表
示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两 点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们
的斜率相等，那么 它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论
并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它 们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们
的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1 直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
0
(x
0
,y
0
)< br>，且斜率为
k

y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式 方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

第 1 页 共 8 页

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程
(x
1
1、直线的两点式方程：已知两点
P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
2、直线 的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
， 与
其中
a?0,b?0

?x
2
,y
1
?y
2
)

y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
2
?y1x
2
? x
1
y
轴的交点为B
(0,b)
，
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax ?
2、各种直线方程之间的互化。

By?C?0
（A，B不同时为0）
3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0

解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0

?
2x?2y?2?0

得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22

3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y
0
)< br>到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离 公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式 方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

第 2 页 共 8 页

第三章 直线与方程
A组
一、选择题
1．若直线x＝1的倾斜角为

?，则??( )．
A．等于0 B．等于? C．等于
?

2
D．不存在
2．图中的直线 l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则( )．
A．k
1
＜k
2
＜k
3
C．k
3
＜k
2
＜k
1



(第2题)

B．k
3
＜k
1
＜k
2

D．k
1
＜k
3
＜k
2

3．已知直线 l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l
2
经过两点(2，1) 、(x，6)，且
l
1
∥l
2
，则x＝( )．
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线l与过点M(－
3
，
2
)，N(
2
，－
3
)的直线垂直，则直线 l的倾斜
角是( )．
A．
?

3
B．
2?

3
C．
?

4
D．
3?

4
5．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设A，B是 x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为
x－y＋1＝0，则直 线PB的方程是( )．
A．x＋y－5＝0









B．2x－y－1＝0
D．2x＋y－7＝0 C．2y－x－4＝0
7．过两直线l
1
：x－ 3y＋4＝0和l
2
：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．
A．19x－9y＝0









B．9x＋19y＝0
D．3x＋19y＝0 C．19x－3y＝ 0
8．直线l
1
：x＋a
2
y＋6＝0和直线l
2
: (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值
是( )．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
第 3 页 共 8 页

9．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿 x轴正方向平移a＋1个单位得
直线l'，此时直线l'

与l重合，则直线l'

的斜率为( )．
A．
a

a＋1
B．
－
a

a＋1
C．
a＋1

a
D．
－
a＋1

a
10．点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )．
A．(－6，8)
二、填空题
11．已知直线l
1
的倾斜角 ?
1
＝15°，直线l
1
与l
2
的交点为A，把直线l2
绕着点A按逆时
针方向旋转到和直线l
1
重合时所转的最小正角为60 °，则直线l
2
的斜率k
2
的值为 ．
12．若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(
B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
1
，m)共线，则m的值为 ．
213．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为 ．
14．求直线3x＋ay＝1的斜率 ．
15．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为 ．
16．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程
是 ．
17．若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直
线的方程是 ．
三、解答题
18．设直线l的方程为(m2
－2m－3)x＋(2m
2
＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根 据
下列条件分别求m的值：
①l在x轴上的截距是－3；





19．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6) ．直线l平行于AB，交
②斜率为1．
第 4 页 共 8 页

AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的







1
．求直线l的方程．
4
(第19题)
20．一直线被两直线l
1
：4x＋y＋6＝0，l
2
：3x－5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标
原点，求该直线方程．






.
21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直 线l的横截距与纵截距之和为6，求
直线l的方程．








第三章 直线与方程
第 5 页 共 8 页

参考答案
A组
一、选择题
1．C解析：直线x＝1垂直于x轴，其倾斜角为90°．
2．D解析：直线l
1< br>的倾斜角??
1
是钝角，故k
1
＜0；直线l
2
与l
3
的倾斜角??
2
，?
3
均为锐
角且?
2
＞?
3
，所以k
2
＞k
3
＞0，因此k
2
＞k
3
＞k
1
，故应选D．
3．A解析：因为直线l< br>1
经过两点(－1，－2)、(－1，4)，所以直线l
1
的倾斜角为
而l
1
∥l
2
，所以，直线l
2
的倾斜角也为
?< br>，
2
?
，又直线l
2
经过两点(2，1)、(x，6)，所以 ，x＝2．
2
2＋3
－3－2
＝－1
，而已知直线l与直线MN垂 直，所4．C解析：因为直线MN的斜率为
以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角是
?
．
4
C
A
＜0，在y轴上的截距
D＝－
＞0，所
B
B
5．C解析：直线Ax＋By＋C＝0的斜率k
＝
?
以，直线 不通过第三象限．
6．A解析：由已知得点A(－1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直 线PB的方程是x＋y
－5＝0．
7．D 8．D 9．B
解析: 结合图形，若直线l先沿y轴的负方向平移，再沿x轴正方向平移后，所得直线
与l重合，这说明直线 l 和l’ 的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l’ 的倾斜角为 ?，则
tan ?＝
－
a
．
a＋1
10．D解析：这是考察两点关于直线的对称点 问题．直线5x＋4y＋21＝0是点A(4，0)
与所求点A'(x，y)连线的中垂线，列出关于x ，y的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．解析：设直线l
2
的倾斜角为??
2
，则由题意知：
180°－?
2
＋15°＝60°，?
2
＝135°，
∴k
2
＝tan ?
2
＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．
1
．
2
(第11题)
第 6 页 共 8 页
解：∵A，B，C三点共线，

∴k
AB< br>＝k
AC
，
－2－3m－3
1
＝
．解得m＝． 1
3＋2
2
＋2
2
13．(2，3)．解析：设第四个顶点D的 坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC，
∴k
AD
·k
CD
＝－1，且k
AD
＝k
BC
．
∴
y－1y－2y－1
·＝－1，＝1．
x－0x－3x－0
?< br>x＝0
?
x＝2
解得
?
(舍去)
?

y＝1y＝3
??
所以，第四个顶点D的坐标为(2，3)．
14．－
3
或不存在．解析：若a＝0时，倾角90°，无斜率．
a
31
x＋
aa
3
．
a
若a≠0时 ，y＝－
∴直线的斜率为－
15．P(2，2).解析：设所求点P(x，2)，依题意：(x?2)
2
?(2?1)
2
＝
(x?1)
2
?(2?2)
2
，
解得x＝2，故所求P点的坐标为(2，2)．
16．10x＋15y－36＝0．
解析：设所求的直线的方程为2x＋3y＋c＝0，横截距为－
c = －
cc
，纵截距为－，进而得
23
36
．
5
17．x＋2y＋5＝0．
解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x轴对称，故将直线方程中的y换成
－y．
三、解答题
18．①m＝－
54
；②m＝．
33
解析：①由题意，得
2m?6
＝－3，且m
2
－2m－3≠0．
2
m?2m?3
解得 m＝－
5
．
3
第 7 页 共 8 页

②由题意，得
解得 m＝
m
2
?2m?3
＝－1，且2m
2
＋m－1≠0．
2
2
m
?
m?
1
4
．
3
19．x－2y＋5＝0．
解析：由已知，直线AB的斜率 k＝
1?11
＝．
3?12
1
．
2
因为EF∥ AB，所以直线EF的斜率为
因为△CEF的面积是△CAB面积的
直线EF的方程是 y－
20．x＋6y＝0．
15
，所以E是CA的中点．点E的坐标是(0，)．
42
51
＝x，即x－2y＋5＝0．
22
解析：设所求直线与 l
1
，l
2
的交点分别是A，B，设A(x
0
，y
0
)，则B点坐标为
(－x
0
，－y
0
)．
因为A，B分别在l
1
，l
2
上，
?
?
4x
0
＋y
0
＋6＝0
所以
?

?
?
－3x
0
＋5y
0
－6＝0
①
②
①＋②得：x
0
＋6y
0
＝0，即点A在直线x＋6y ＝0上，又直线x＋6y＝0过原点，所以直
线l的方程为x＋6y＝0．
21．2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．
解析：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a．
xy
∴直线l的方程为
＋＝1
．
a6－a
12
∵ 点(1，2)在直线l上，∴
＋＝1
，a
2
－5a＋6＝0，解得a
1
＝2，a
2
＝3．当a＝2
a6－a
时，直线的方程为
x yxy
直线经过第一、二、四象限．当a＝3时，直线的方程为
??1
，
?? 1
，
2433
直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0和x＋y－3＝0．

第 8 页 共 8 页