高一数学必修一必修二难题

1、已知二次函数对任意实数
x
不等式恒成立，且，令
.
（I）求的表达式；
（II）若使成立，求实数
m
的取值范围；
（III）设，，证明：对，恒有


2、某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是
A． B．

C．2

D．4
3、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )
A． B． C．1 D．
4、函数，在同一直角坐标系第一象限中的图像可能
是
（




5、设为非零实数，则关于函数，的以下性质中，错误的是（ ）
A．函数一定是个偶函数



）

B．一定没有最大值
C．区间一定是的单调递增区间
D．函数不可能有三个零点

6、已知＞0,且, =,当x∈时,均有, 则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．

7、如图，四棱锥
．
（I）求证：
CD
⊥平面
PAC
；
中，底面
AB CD
为平行四边形，
PA
⊥底面
ABCD
，
M是
棱
PD
的中点，且
PA
=
AB
=
AC
=2，
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）如果
N
是棱
AB
上 一点，且直线
CN
与平面
MAB
所成角的正弦值为，求的值．

8、已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递增函数。
（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设，若能取遍内的所有实数，求实数的取值范围．


9、已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值； （2）判断并证明在上的单调性；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围．


参考答案

一、计算题

1、解（I）设
由题意令得 ∴
∴得
∵恒成立
∴和恒成立
得
∴
（II）

当时，的值域为
R

当时，恒成立
当时，令



－
↘

0
极小

+
↗

这时
若使成立则只须，
综上所述，实数
m
的取值范围
（III）∵，所以单减
于是

记，则

所以函数是单增函数
所以
故命题成立.

二、选择题

2、D

3、A

4、B

5、C

6、C

三、简答题

7、证明：(I)连结
AC
．
因为为在中，
，，
所以，
所以
因为
AB

CD
，
．
所以．
又因为地面
ABCD
，
所以．
因为，

所以平面
PAC
．
(II)如图建立空间直角坐标系，
则
因为
M
是棱
PD
的中点，
．
所以．
所以，．
设为平面
MAB
的法向量，
所以，
即，
令，则，
所以平面MAB的法向量
因为平面
ABCD
，
．
所以是平面
ABC
的一个法向量．
所以．

因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
(III)因为
N
是棱
AB
上一点，所以设，．
设直线CN与平面
MAB
所成角为，
因为平面
MAB
的法向量，
所以．
解得，即，，所以．
8、（Ⅰ）∵为幂函数 ∴

又在区间上是单调递增函数 ∴
2分
则 ∵ ∴或或
3分
当时，为奇函数，不合题意，舍去
当时，为偶函数，符合题意
当时，为奇函数，不合题意，舍去
1分

故

5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，则单调递增，其值域为，满足题意 7分
②当
∴
时，由得，则在

单调递减，在单调递增，
，则其值域为
∵能取遍内的所有实数 ∴只需
9分
令 则在单调递增
又 ∴
11分
综合①②知，实数的取值范围为
12分
四、综合题

9、解：（1），经检验成立。—————————4分
（2）证明：设任意
，，
在上是减函数 —————————————————————— 8分

（3）
对任意恒成立
设 在上增 时， ——12