(完整word版)新课标高中数学必修二导学案

目录
第一章 空间几何体
1.1
空间几何体的结构

1.1.1
多面体的结构特征

…………………………………………
1
1.1.2
旋转体与简单组合体的结构特征 ………………………………………
6
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图 ……………………………………………
10

1.2.3 空间几何体的直观图
.
…………………………………………
…15
§1.3
空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积 …………………………………
19

第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 ………………
…23
习题课 空间几何体 …………
…………………………
……27

第二章 点 直线 平面之间的位置关系

2.1.1 平 面 ……………………………………………………29
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 …………………………………33
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系 …………………………………………37
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定 ………………………………………………40
2.2.3 直线与平面平行的性质 ………………………………………………44
2.2.4 平面与平面平行的性质 ………………………………………………47
2.3.1 直线与平面垂直的判定 ………………………………………………50
2.3.2 平面与平面垂直的判定 ………………………………………………53
2. 3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质 ………………………………………………57
第二章 复习课 ………………………………………………60

第三章 直线与方程
3.1.1 倾斜角与斜率 …………………………………………………64
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 …………………………………………67
3.2.1 直线的点斜式方程 ……………………………………………………70
3.2.2 直线的 两点式方程 …………………………………………………73
3.2.3 直线的一般式方程 ……………………………………………………76
3.3.1 两条直线的交点坐标
1

3.3.2 两点间的距离 ……………………………………………………79
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离 ………………………………………………
82

第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程 ………………………………………………………85
4.1.2 圆的一般方程 …… …………………………………………………88
4.2.1 直线与圆的位置关系 ………………………………………………91
4.2.2 圆与圆的位置关系 …………………………………………………94
4.2.3 直线与圆的方程的应用 ……………………………………………97
4.3.1 空间直角坐标系 ……………………………………………………100
4.3.2 空间两点间的距离公式 …………………………………………103
章末复习 ……………………………………………………………………106


























2

第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
【学习目标】
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；
2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
【知识梳理】
1．空间几何体
(1)概念：如果只考虑物体的＿ ＿和＿＿，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形
就叫做空间几何体．
(2)特殊的几何体
①多面体：一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做
多面体的 ；相邻两个面的 叫做多面体的棱；棱与棱的 叫做多面体的顶点．
②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 叫做旋转体，这条
定直线叫做旋转体的
2．多面体的结构特征
(1)棱柱的结构特征：一般地，有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公
共边都 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
(2)棱锥的结构特征：一般地，有一个面是 ，其余各面都是 ，由这些面
所围成的多面体叫做棱锥．
(3)棱台的结构特征：用一个 于棱锥底面的平面去截棱锥， 之间的部分，这样的多面
体叫做棱台．
思考探究
[情境导学] 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如 果我们只考虑这些
物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空 间几何体．本
节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体．
探究点一 空间几何体的类型
思考1 观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

1

答:
思考2 如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？
答:
2

思考3 观察图(2)(5)(7)(9)(13)( 14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，
你能归纳出它们有何共 同特点吗？
答:


[小结] 我们把由若干个平面多边形围成的几何体 叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体
的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的 公共点叫做多面体的顶点．
思考4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？
答:


[小结] 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形 成的封闭几何体叫做旋转体．这条定
直线叫做旋转体的轴．
探究点二 棱柱的结构特征
思考1 我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？


3

图1 图2
答:



思考2 为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各 面叫做棱柱的侧
面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．你能指 出上面棱
柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？
答:


思考3 棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？
答:


思考4 一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少
个顶点？
答:


思考5 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
答:


[小结] 在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ；
思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′.
例1 试判断下列说法是否正确：
(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．
答:



[反思与感悟] 概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧 面形
状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体．
(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．
答:



探究点三 棱锥的结构特征
思考1 我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？
4

答:


思考2 参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？
答:


思考3 类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥 各顶点的字母表
示思考1中的三个棱锥？
答:


思考4 一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个
顶点？
答:

思考5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？
答:


思考6 棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？
答:


例 2 如图，几何体中，四边形AA
1
B
1
B为边长为3的正方形，CC1
＝2，
CC
1
∥AA
1
，CC
1
∥ BB
1
，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出
是几棱柱．若不是棱柱，请你 试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一
个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体 图中画出截面．
答:


5

[反思与感悟] 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与 棱之间的
关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．
跟踪训练2 若三 棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥
的高．(过顶点向底面 作垂线，顶点与垂足的距离)
答:


探究点四 棱台的结构特征
思考1 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样
的多面体叫做棱台．那么棱台有哪些结构特征？
答:


思考2 仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶
点呢？
答:


思考3 根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱 台、四棱台、五棱台……？如何
用字母表示棱台？
答:

思考4 既然棱 柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如
何？当底面发生变化时 ，它们能否相互转化？
答:


例 3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都
是梯形 的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有( )
A．0个
C．2个
体是否为棱台的依据．
跟踪训练 3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱
长为17，求四棱 台的高．
答:




6
B．1个
D．3个
[反思与感悟] 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何

【随堂练习】
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2．下列说法中，正确的是( )
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体是棱
锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
3．下列说法错误的是( )
A．多面体至少有四个面
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各 面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面
的形状完全相同．④相邻两个面的交线 叫做侧棱．


【课堂小结】
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2 ．对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，
多观 察实物，提高空间想象能力．

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
【学习目标】 1.认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；
2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．
【知识梳理】
1．圆柱及其有关的概念
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 ． 叫做圆
柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱
的 ；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 ．
2．圆锥的概念
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做＿
3．圆台的概念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 ．与圆柱和圆锥一样，圆台
7

也有轴、底面、侧面、母线．
4．球及其有关的概念
以半圆的直径所在直线为 ，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心
叫做球的 ，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的 ．球常用表示球心的字母O
表示．
5．简单组合体
(1)概念：由 组合而成的几何体叫做简单组合体．常 见的简单组合体大多是由具有柱、锥、
台、球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或 一部分而成．
思考探究
[情境导学] 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的 构造从外形上看是由八个圆柱组合
成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单 几何体组合而成的组合体．本
节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
探究点一 圆柱的结构特征
思考1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如
何定义的？

答:

思考2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？
8

答:


探究点二 圆锥的结构特征
思考1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？

答:

思考2 类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线？
答:

思考3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？
答:

探究点三 圆台的结构特征
思考1 用一个平行于圆锥底面的平面 去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台．圆台可以由什
么平面图形旋转而形成？
答:
9

思考2 与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用
字母表示？
答:

思考3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点 ？三者的关系如何？
当底面发生变化时，它们能否互相转化？
答:

例1 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截
去的圆锥 的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
答:


[反思与感悟] 用平 行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或
相似)，同时结合旋转体 中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，
列出相关几何变量的方程组 而解得．
跟踪训练1 将例1中“截去的圆锥的母线长是3 cm”改为“圆锥SO的母线长为16 cm”其余条件
不变，则结果如何？
答:

探究点四 球的结构特征
思考 类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示
球？
答:

例2 判断下列各命题是否正确：
(1)三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；
(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(5)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
答:


跟踪训练 2 下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0 B．1 C．2 D．3
探究点五 简单组合体的结构特征
思考1 现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球 体等简单几何体组合而成的，这些几何
体叫做简单组合体．那么这些组合体是怎样构成的？
10

答:


思考2 观察教材图1.1－1 1中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组
合而成吗？
答:


例3 描述下列几何体的结构特征．

答:


跟踪训练3 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那 么，请你介绍一
下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？

答:



11

【随堂练习】
1．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )


2．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台
C．圆柱
4．以下说法中：
①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.
②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱．
③过圆台侧面上每一点的母线都相等．
正确的序号为________．
5.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
B．球
D．棱柱

12

【课堂小结】
(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆
台 的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．
(2)球面与球 是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以
看作与定点(球心 )的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球
面所包围的空间．




§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图
【学习目标】 1.了解投影、中心投影和平行投影的概念；
2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．
【知识梳理】
投影
(1)投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做投影．其中，
我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 ．
(2)投影的分类
①中心投影：光由 向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于 ．
②平行投影：在一束 光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的 是平行的．在
平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做 ．
2．三视图
(1)三视图的分类
①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的
(2)三视图的画法要求
①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的 、 、 看到的物体轮廓线的
正投影围成的平面图形．
②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的 ，长度与 的长度一样，侧视
图放在正视图的右边，高度与 的高度一样，宽度与 的宽度一样．
③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出．
思考探究
13

[情境导学] 从不同角度看庐山，有 古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，
只缘身在此山中．”对于我们所学几何体 ，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图
和直观图来把几何体画在纸上．
探究点一 中心投影与平行投影
导引 在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几 何体的形状和大小，在作图技术上这
也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第1 1页，然后思考下列问题．
思考1 什么是投影、投影线、投影面吗？
答:



思考2 不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？
答:



[小结] 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光线照射下形成的投影叫
做平行投影．
思考3 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？
答:

思考4 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大
小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？
答:

思考5 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、
大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？
答:

思考6 一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与
投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
答:

例 1 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，E、F分别是AA
1
、C
1
D
1< br>的中点，G是正方形BCC
1
B
1
的中心，则四边形AGFE在该正方 体的各个面上的投影可能是图中的________．(填序号)
14

[反思与感悟] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点 ，如顶点等，画出这
些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解 不充分，做该
类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于 空间想
象来完成．
跟踪训练1 如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面B CC′B′的中心，则四边形BFD′E
在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的______ __．
15

探究点二 柱、锥、台、球的三视图
导引 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较
好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面．
思考1 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？

答:
思考2 三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?
答:


[小结] 一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度 、宽度和高度的关系为：正侧等高，
正俯等长，侧俯等宽．
思考3 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
答:




16

思考4 球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？

答:



探究点三 简单组合体的三视图
思考1 在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线
和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？


思考2 如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出？(标出字母)

答:



例 2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．(单位：cm)
答:








[反思与感悟] (1)在画三视图 时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视
图)侧(视图)宽相 等．(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方．
跟踪训练2 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
17

探究点四 将三视图还原成几何体
思考 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．

答:





例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

答:




[反思与感悟] 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图 确定具体
的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
18

跟踪训练3 下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状．

答:



【随堂练习】
1．如图所示，在正方体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别 是BB
1
，BC的中点，则图中阴影部分在平
面ADD
1
A
1
上的正投影是( )

2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )
19

A．三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
3．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图( 2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(


4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
20
)

5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．




21

【课堂小结】
1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相
等 ，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助
坐标轴，在第二象限画出正视图； 根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根
据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一 象限画出侧视图．
3．看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线．
1.2.3 空间几何体的直观图
目标 1.掌握斜二测画法的作图规则；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
【知识梳理】
1．画平面图形直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x′轴
与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来
的 ．
2．立体图形的直观图的画法
画 立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′.且平行于O′z的
线 段长度 ．其他同平面图形的画法．
思考探究
[情境导学] 空间几何体除了用 三视图表示外，更多的是用直观图来表示．空间图形能否在平面中画
出来，使得既富有立感，又能表达出 图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体
的直观图．本节我们就来研究这个问题．
探究点一 水平放置的平面图形的画法
导引 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图 ，要画空间几何体的直观图，先要学会水平
放置的平面图形的画法．
思考1 把一个矩形水平 放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图．比较两图，
其中哪些线段之间的位置关系、 数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
22

答:


思考2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其 中哪些线段之间的位置关系、数
量关系发生了变化？哪些没有发生变化？


答:

思考3 阅读教材16页中的例1，然后自主作出水平放置的正六边形的直观图．
答:



[小结] 上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规
则：
(1)建坐标系，定水平面；
(2)与坐标轴平行的线段保持平行；
23

(3)水平线段等长，竖直线段减半．
思考4 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么
图形？画出水平放置的圆的直观图．
答:





例1 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．

答:





[反思与感悟] 此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图．要注意选取恰当的坐标原点，能使
整个作图变得简便．
跟踪训练1 将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？
24

答:





探究点二 空间几何体的直观图的画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观
图．
答:






[反思与感悟] 直观图中应遵循的基本原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画
成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
1
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度 保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.
2
跟踪训练2 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图．
25

答:












例 3 如图，一个平 面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上
底边长均为1，求这个 平面图形的面积．

答:


26

[反思与感悟] 解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线
段 长度变为原来的2倍．
跟踪训练3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积
为( )
A.
C.

【随堂练习】
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A．16
C．16或64
B．64
D．无法确定
3
2
a
2
6
2
a
2
B.
3
2
a
4
D.6a
2

2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )

3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，
另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm
C．2.5 cm
B．3 cm
D．5 cm
4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
27

答:
















【课堂小结】
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁 ，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直
观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图， 从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把
直观图还原为原图形．
2．在用斜二测画法画 直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，
但所画夹角大小不一定是 其真实夹角大小．




§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积
目标 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；2.了解柱、锥、台体的表
28

面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题 ；3.培养空间想象能
力和思维能力．
【知识梳理】
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个 围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的 ．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ．
3．旋转体的表面积
名称 图形 公式
底面积：S
底
＝

圆柱

底面积：S
底
＝

圆锥

上底面面积：S
上底
＝

圆台

思考探究
[情境导学] 已知ABB
1
A
1
是圆柱的轴截面，AA
1
＝a，AB＝b，P是BB
1
的中点； 一小虫沿圆柱的侧
面从A
1
爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要 将圆柱的侧面展开，本节我们将
借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积．
探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
思考1 在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图 ，你知道正方体和长方
体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？
答:


思考2 几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面 展开图是怎样的？
如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？
答:


例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积．




29
侧面积：S
侧
＝
表面积：S＝
侧面积：S
侧
＝
表面积：S＝
下底面面积：S
下底
＝

侧面积：S
侧
＝
表面积：S＝

[反思与感悟] 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件 归结到一个直角三角形中
求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
跟踪训练1 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面
积．
答:




例 2 已知正四棱台(上、下底是正方 形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为
6，高和下底面边长都是12，求它的侧 面积．
答:








[反思与感悟] 解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解< br>决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．
跟踪训练2 在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？

答:







30

探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法
思考1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？
答:


思考2 如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？
答:

思考3 如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积？
答:



思考4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
答:



例 3 一圆台形花盆，盆口直径20 cm，盆底直径15 cm，底部渗水圆孔直径1.5 cm，盆壁长15 cm.
为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆 需要多少油漆？(π取3.14，
结果精确到1毫升)

答:









31

[反思与感悟] 解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开 图的应用，上、下底面圆
的周长是展开图的弧长．
跟踪训练3 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，
那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)
答:













【随堂练习】
1．一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )

A．(80＋162)cm
2
B．84 cm
2

C．(96＋162)cm
2
D．96 cm
2

2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为(
32
)

3
A.
π
2
3
C.
π＋3
2
B．π＋3
5
D.π＋3
2
3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．
4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．





【课堂小结】
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的 面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱
锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面 积等于它的侧面积加两个底的面积．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已 知条件尽量归结到轴截面中求解．而
对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S
圆柱表
＝2πr(r＋l)；S
圆锥表
＝πr(r＋l)；S
圆台表
＝π(r
2
＋rl＋Rl＋R
2
)．
33

第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；
3.会求简单组合体的体积及表面积．
【知识梳理】

1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
柱体
锥体
体积
V
柱体
＝ (S为底面面积，h为高)，
V
圆柱
＝ (r为底面半径)
V
锥体
＝ S为底面面积，h为高)，
V
圆锥
＝ (r为底面半径)
1
V
台体
＝(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，
3
1< br>V
圆台
＝
πh(r′
2
＋rr′＋r
2
)( r′，r分别为上、下底面半径)
3
台体
2.球的体积
球的半径为R，那么它的体积V＝ .
3．球的表面积
思考探究

[情境导学] 上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对 于空间图
形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题．
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
思考1 我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？
答:

思考2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
答:

思考3 等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如
何？
答:

思考4 根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？
答:

思考5 台体的上底面积S′，下底面积S，高h，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用
34
S=
球的半径为R，那么它的表面积S＝

上下底面半径及高表示？
答:

例1 如图所示的三棱锥P—ABC的三 条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝3，PC＝6，求其体积．(一
直线和一平面内两相交直线垂直， 则直线与平面垂直)

答:




[反思与感悟] 三棱锥的任一侧面都可以做为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积< br>法求点到平面的距离．在本例中有V
P
－
ABC
＝V
A
－
PBC
＝V
B
－
PAC
＝V
C
－PAB
.
跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋23
23
C．2π＋
3
探究点二 球的体积和表面积
思考 球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积 和体积呢？就
4
目前我们学过的知识还不能解决，我们不妨先记住公式．设球的半径为R，那么 它的体积：V＝
πR
3
，
3
它的表面积S＝4πR
2
，现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？

答:
例2 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：
B．4π＋23
23
D．4π＋
3
35

2
(1)球的体积等于圆柱体积的；
3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．
答:




[反思与感悟] (1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长．
(2)球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
(4)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
跟踪训练2 球与圆台的 上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球
的体积与圆台的体积之比为( )
A．6∶13
C．3∶4
B．5∶14
D．7∶15
探究点三 简单组合体的表面积和体积
例3 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD
内过点C作l⊥CB，以l为轴 旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
36

答:







[反思与感悟] 求组合 体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面
应该怎样求，然后再根据公 式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求
出各简单几何体的体积，然后再相 加或相减．
跟踪训练3 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形 ，EF∥AB，EF
3
＝，EF与面ABCD的距离为2，求该多面体的体积．
2

答:













【随堂练习】
1．已知高为3的棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面是边长 为1的正三角形(如图)，则三棱锥B
1
—ABC的体
积为( )
37

1
A.
4
C.
3

6
1
B.
2
D.
3

4
2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( )
A．63 B.3 C．23 D．2
3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
4．如图，在三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC中，D，E，F 分别是AB，AC，AA
1
的中点，设三棱锥F－ADE的
体积为V
1
，三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC的体积为V
2< br>，则V
1
∶V
2
＝________.









38

【课堂小结】
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 < br>11
S′＝SS′＝0
V
柱体
＝Sh――→V
台体
＝ h(S＋SS′＋S′)――→V
锥体
＝Sh.
33
2．在三棱锥A－BC D中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求V
A
－
BCD
，h＝
3V
S
△
BCD
.
这种方法就是用等体积法求点到平面的距离， 其中V一般用换顶点法求解，即V
A
－
BCD
＝V
B
－ACD
＝V
C
－
ABD
＝V
D
－
AB C
，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．
3．求几何体的体积，要注意分割与补形 ．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何
体求解．
4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
5．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进
行相 关计算．

习题课 空间几何体
结构图

类型题
题型一 三视图与直观图
三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视 图可以看出，俯视图反映物体
的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高．
例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

8π10π
A. B．3π C. D．6π
33



跟踪训练1 一几何体的三视图如图所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；
(2)计算该几何体的体积与表面积．

39

答:












题型二 柱体、锥体、台体的表面积和体积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能 够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关
系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体 ，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等
重要的平面图形的应用．
例2 圆柱有一个内接长方 体AC
1
，长方体对角线长是102cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此
矩形的面 积是100π cm
2
，求圆柱的体积．
答:




跟踪训练2 正四棱柱的对角线长为3 cm，它的表面积为16 cm
2
，求它的体积．
答:




题型三 几何体中的有关最值问题
有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展 开图中两点的直线距离最小来求解；有
关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二 次函数的形式，然后利用二次函
数的知识求最值．
例3 如图，在底面半径为1，高为2的圆 柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A
点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
答:





跟踪训练3 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，
并使铁丝的两个端点落在圆柱 的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
40

答:





【课堂小结】
研究空间几何体，需在平面上画出 几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，
由三视图可得到其直观图，同时可以通过 作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是 通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球
的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来 解决

第二章 点 直线 平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
目标

1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；
2.掌握有关平面的三个公理；
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系．
【知识梳理】
1．平面的概念
(1)几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．
(2)几何里的平面是 的．
2．平面的画法
(1)通常把水平的平面画成一个 ，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的 倍．
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来．
3．点、直线、平面的位置关系的符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上


A在l外


41

A在α内


A在α外


l在α内


l在α外


l，m相交于A


l，α相交于A


α，β相交于l


4.平面的基本性质
公理 文字语言 图形语言 符号语言
42

如果一条直线上的 在
公理1 一个平面内，那么这条直线
在

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α
?
公理2
过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面

如果两个不重合的平面有一
A，B，C三点不共线?存在
惟一的平面α使A，B，C∈α
公理3 个公共点，那么它们有且只
有一条过该点的

P∈α且P∈β? ，
且
思考探究
[情境导学] 在《西游记》中，如来佛祖对孙悟 空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我
的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛祖的手掌 心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成
为一条线，大家说如来佛祖的手掌像什么？
探究点一 平面的概念
思考1 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
答

思考2 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象 ，你
们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？
答

思考3 如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平面内？
答

例1 下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
43

跟踪训练1 下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是
20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
探究点二 平面的基本性质
导引 如果直 线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公
共点，直线l是否 在平面α内？
思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到， 直
尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？
答
思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？
答
例2 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

(1) (2)

跟踪训练2 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α

B．M∈a，a?α
44

C．M?a，a?α

D．M?a，a∈α
思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车
后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理？
答

思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？
答

例3 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．




跟踪训练3 已知：如图所示，l
1
∩l
2
＝A，l
2
∩l
3
＝B，l
1
∩l
3< br>＝C.
求证：直线l
1
、l
2
、l
3
在同一平面内．






思考5 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为
什么？


思考6 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？
答

例4 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q．
求证：P、Q、R三点共线．









跟踪训练4 如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为AB的中点，F为AA
1< br>的中点．求证：CE、D
1
F、DA三线交于一点．


45

课堂练习
1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A．C∈α
C．AB?α
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分． < br>4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α< br>的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
B．C?α
D．AB∩α＝C
2．平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，既与AB共面也与CC
1
共面的棱的条数为( )


5．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线A
1
C与平面BDC
1
交于点O，AC、BD交于点M，
E为AB的中点，F为AA
1
的中点．
求证：(1)C
1
、O、M三点共线；
(2)E、C、D
1
、F四点共面；
(3)CE、D
1
F、DA三线共点．








46

【课堂小结】
1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据．
2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由
某两 点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平 面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或
先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明 这些平面重合．注意对诸如“两平行直
线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
4．证 明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平
面与平面的 交线
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
目标 1.了解空间中两条直线的位置关系；
2.理解异面直线的概念、画法；
3.理解并掌握公理4及等角定理；
4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念， 能求出一些较特殊的异面直线所成的
角．
【知识梳理】

1．空间中两条直线的位置关系
位置关系
共面
直线
2.公理4
(1)文字表述： 的两条直线互相平行．
(2)符号表述：
(3)含义：揭示了空间平行线的 ．
3．等角定理
(1)研究对象：在空间中的两个角．
(2)条件：两边分别
(3)结论：这两个角
4．异面直线所成的角
前提
定义
范围
特殊
情况
思考探究
47
共面情况
同一平面内
同一平面内
不同在
公共点个数
公共点
公共点
公共点
相交直线
平行直线
异面直线
两条异面直线a，b
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
记异面直线a与b所成的角为θ，则
当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作
作法
结论 我们把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

[情境导学] 在平面中没有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一 定成立．例如：在十字路
口立交桥中，两条路线AB，CD既不相交，又不平行．今天我们就来研究空间 中直线与直线之间的
位置关系．
探究点一 空间两直线的位置关系
思考1 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
答

思考2 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

答
思考3 如何判断两条直线是异面直线？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答

思考4 为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？
答

思考5 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段
所在直线是异面直线的有几对？

48

答

探究点二 公理4
思考1 在同一平面内，如果两条直线都与第三 条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，
是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室， 找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平
行的．
答

思考2 公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4?
答

例1 如图所示，空间四 边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、
DA的中点．求证：四边形EFGH是平行 四边形．




跟踪训练1 在例1中，如果再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是
探究点三 等角定理
导引 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相
等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？
思考1 观察图，在 长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，
∠ADC与∠D′A′B′的两边 分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答

思考2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？
答
探究点四 异面直线所成的角
思考1 在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度 的角称为它们的夹
角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD－EFGH中，异面直线AB
与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？
答
思考2 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改
变？
答

思考3 异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
答

思考4 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为
什么？
答

思考5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
49

答

例2 如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？




跟踪训练2 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，
∠G EF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．




例3 如图所示，正方体AC
1
中，E、F分别是A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点，求异面直线DB
1
与EF所成 角的
大小．






跟踪训练3 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，
OA＝2， M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．






【随堂练习】
1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
C．相交
A．异面或平行
C．异面
B．平行
D．以上都有可能
B．异面或相交
D．相交、平行或异面
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
3．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c； < br>④若直线l
1
，l
2
是异面直线，则与l
1
，l2
都相交的两条直线是异面直线．
50

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.

(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？















【课堂小结】
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多 情况下，定义就是一
种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异 面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将
空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一 条重要的思维途径．需要强调的是，两条异
面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这 一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： ①直接平移法(可利用图中已有
的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个 相同的几何体，以便找到平行
线)．

2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2．1.4 平面与平面之间的位置关系
51

目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；
2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；
3.掌握空间中平面与平面的位置关系．
【知识梳理】
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的
位置关系
定义 图形语言 符号语言
直线在平面内


直线与平面相
交


直线与平面平
行


2.平面与平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行

无

两平面相交 斜交

有一条公共
直线

52

垂直

有一条公共
直线

思考探究
[情境导学] 一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系？即一条直线与一个平面有几种位置关系？今天我们就来研究这个问题．
探究点一 空间中直线与平面之间的位置关系
思考1 如下图，线段A′B所在直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位
置关系？

答

思考2 如何用图形表示直线与平面的位置关系？这种位置关系如何用符号语言表示？
答

例1 下列命题中正确的个数是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
A．0 B．1 C．2 D．3
跟踪训练1 已知直线a在平面α外，则( )
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
探究点二 平面与平面之间的位置关系
思考1 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
答


思考2 如图所示，围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位
置关系有几种？

答


思考3 平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？
答

53

例2 α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )
A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β
B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
跟踪训练2 两平面α、β平行，a?α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．
其中正确命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例3 下列说法中正确的个数是( )
(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线．
(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．
(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.
A．0个
C．2个
A．0个
C．0个或1个

【随堂练习】
1．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
C．异面
A．l与β相交
C．l在β内
A．平行
C．相交
B．相交
D．不确定
B．l与β平行
D．无法判定
B．异面
D．平行或异面
B．1个
D．3个
B．1个
D．1个或2个
跟踪训练3 过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( )
2．若平面α∥平面β，l?α，则l与β的位置关系是( )
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
4．下列说法中正确的序号为________．
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a?α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．



54

【课堂小结】
1．解决本节问题首先要搞清直线与平面各种 位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，
并借助于空间想象能力进行细致的分析． 2．正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置
于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝
箱”之 称．

2．2.1 直线与平面平行的判定
2．2.2 平面与平面平行的判定
目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理；
2.会用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行；
3.理解并掌握两平面平行的判定定理；
4.会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行．
【知识梳理】
1．直线与平面平行的判定定理
(1)定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
(2)符号语言：
2．平面与平面平行的判定定理
(1)定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
(2)符号语言：
(3)定理的推论(拓展)
由两个平面平行的判定定理可以得出推论：如果一个平面内的两条 相交直线分别平行于另一个平面
内的两条直线，那么这两个平面平行．
思考探究
55

探究点一 直线与平面平行的判定定理
思考1 直线与平面有几种位置关系？分别是什么？
答


思考2 将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？
答

思考3 我们知道门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，此时门扇转动的一边与门框所在
的平面有怎样的关系？为什么？
答


思考4 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相
交吗？



思考5 如何用符号语言表达直线与平面平行的判定定理？
答


探究点二 直线与平面平行的判定定理的应用
思考 直线与平面平行的判定方法有哪些？
答

例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点．
求证：EF∥平面BCD.







跟踪训练1 如图所示， 在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，E、F分别是棱BC、C
1
D
1
的中点，求证：EF∥平面BDD
1
B
1
.





探究点三 平面与平面平行的判定
思考1 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
答
56

思考2 生活中有哪些平面与平面平行的例子？请举出．
答

思考3 三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？
答

思考4 三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
答
思考5 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答

思考6 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平
行吗？为什么？
答
探究点四 平面与平面平行的判定定理的应用
思考 平面与平面平行的判定方法有哪些？
答
例2 如图，已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，求证：平面AB
1D
1
∥平面C
1
BD.







跟踪训练2 如图，在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，E，F，G，H分别是AB，AC，A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA
1
∥平面BCHG.











例3 如图，在正方体 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是B
1
D
1
的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中
点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD
1
B
1
；
(2)平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.

57

跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为底面ABCD的中心，P是 DD
1
的中点，
设Q是CC
1
上的点，问：当点Q在什么位置时，平 面D
1
BQ∥平面PAO?














课堂练习
1．若A是直线m外一点，过A且与m平行的平面( )
A．存在无数个
C．存在但只有一个
A．有且只有一个
C．至多一个
3．下列说法中正确的是( )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③
C．②③④
求证：AF∥平面PCE.

58
B．不存在
D．只存在两个
B．有无数多个
D．不存在
2．直线a，b为异面直线，过直线a 与直线b平行的平面( )
B．②④
D．③④
4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．

【课堂小结】
1．判定直线与平面平行的方法：
(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
(2)判定定理：(线线平行?线面平行)，

a?α
?
?
b?α
?
?a∥α.
a∥b
?
?
2．用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判
定等来完成．
3．证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
2.2.3 直线与平面平行的性质
目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；
2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
【知识梳理】
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则 ．
(1)符号语言描述：a∥α，a?β，β∩α＝b?a∥b.
(2)性质定理的作用：可以作为 平行的判定方法，也提供了一种作 的重要方法．
思考探究
[情境导学] 直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的 条件问题，反之，在直线与平面平
行的条件下，可以得到什么结论呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一 直线与平面平行的性质定理
思考1 如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的？
答

思考2 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置
关系如何？
59

答

思考3 如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面有哪几种位置关系？
答

思考4 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面α与平面相交于直线b，那么直线a，b的位
置关系如何？
答

思考5 线面平行性质定理用符号语言如何表述？
答
例1 如图，a∥α，a?β，α∩β＝b.求证：a∥b.





跟踪训练1 如图，平面α、β、γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b .那么，a与c，b与c有
什么关系？为什么？



探究点二 线面平行的性质定理的应用
思考1 如果直线a与平面α平行，那么经过平面内一点P且与直线a平行的直
线怎样定位？
答

思考2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平
行？
答
例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？








跟踪训练2 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中 点，EF与AC交于点O，点P在
平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试 求PM∶MA的值．


60

例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知 如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外．
求证 b∥α.







跟踪训练3 如图，在长方体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，H分别 为棱A
1
B
1
，D
1
C
1
上的点，且EH ∥A
1
D
1
，
过EH的平面与棱BB
1
，CC1
相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD
1
A
1
.

，





【随堂练习】
1．已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交
C．异面
A．0条
C．0条或1条
B．平行
D．相交或异面
B．1条
D．无数条
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( ) 3．已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是：①平行；②垂直不相交；③
垂直相交；④不垂直不相交．其中可能成立的有________．

4．如图所示，直线 a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平
面α于点E，F ，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.
61

【课堂小结】
1．求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的三种常用方法
(1)定义法 ：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB
为二面角 α－l－β的平面角．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生 交线，这两条交线所成
的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角< br>的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
62

3．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂 直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂
直．
2.2.4 平面与平面平行的性质
目标 1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；
2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．
【知识梳理】
1．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
(1)符号表示为：
(2)性质定理的作用：利用性质定理可证 ，也可用来作空间中的平行线．
2．面面平行的其他性质
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于 ，即 ?a∥β.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段 ；
(3)平行于同一平面的两个平面
思考
探究

[情境导学] 两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得< br>到什么结论呢？本节我们共同探讨这个问题．
探究点一 平面与平面平行的性质
思考1 如何判断平面和平面平行？
答

思考2 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
答

思考3 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？
答

63

思考4 在长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面AC内哪些直线与B′D′平行呢？
答

思考5 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？
答


已知 如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.
求证 a∥b.






思考6 如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？
答

探究点二 平面与平面平行的性质定理的应用
例1 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
已知 如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.
求证 AB＝CD.





跟踪训练1 证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．
已知 如图，α∥β，l∩α＝A，
求证 l与β相交．









例2 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α ，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD
上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证： EF∥β，EF∥α.





64

跟踪训练2 如图，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1D
1
中，侧面对角线AB
1
、BC
1
上分别有两点E、 F，且B
1
E
＝C
1
F.求证：EF∥平面ABCD.








【随堂练习】
1．平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，下面四种情形：
①a∥b.②a⊥b.③a与b异面．④a与b相交．其中可能出现的情形有( )
A．1种
C．3种
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
3．过正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的三顶点A
1
、C
1
、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l
与A
1
C
1
的 位置关系是________．
4．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．













65
B．2种
D．4种
2．已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )

【课堂小结】
1．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图



2．3.1 直线与平面垂直的判定
目标

1.理解直线与平面垂直的定义；
2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；
3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
【知识梳理】
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线
l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的
(2)判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．
2．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)当直线与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；
当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是 ；直线与平面所成的角θ的范围：
思考探究
[情境导学] 生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面 等等．在判断线面
平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一 问题．
探究点一 直线与平面垂直的定义
思考1 如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它 在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳
的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗 ？
66

答

思考2 旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′(如思考1的
图)的位置关系又是什么？依据是什么？ 由此得到什么结论？
答
思考3 观察圆锥的轴与底面内哪些直线垂直？为什么？

答

思考4 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线
与平面的位置关系如何？
答．
探究点二 直线与平面垂直的判定定理
导引 定义通常可以作为判定的依据， 用线面垂直的定义判定直线与平面垂直就要验证直线垂直平
面内所有的直线，这实际上是很困难的．那么 怎样判断直线与平面垂直比较方便呢？
思考1 请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过△ABC的顶点A翻折
纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、D C与桌面接触)，问：折痕AD与桌
面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？

答

思考2 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？
答
思考3 如图，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n，把桌面抽象为平面α，l与α垂直的条件是什
么？
答
思考4 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？
例1 如图，已知a∥b，a⊥α.
求证：b⊥α.

67

跟踪训练1 一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子 ，拉紧绳子并把它们的下端固定在
地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距 离6 m，那么旗杆就与地面垂直，
为什么？




思考5 如图在直四棱柱A′B′C′D′—ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，底面四 边
形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？
答


探究点三 直线与平面所成的角
导引 我们知道，当直线和平面垂直时，该直线叫做平面的垂 线．如果直线和平面不垂直，是不是
也该给它取个名字呢？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢？
思考1 平面的斜线、斜足是怎样定义的？斜线在平面上的射影是如何定义的？
答

思考2 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么？
答
例2 在正方 体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，求① 直线A
1
B和平面A
1
B
1
CD所成的角．
②直线A
1
B和平面BCC
1
B
1
所成的角．







【随堂练习】
1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系
是 ( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
2．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行

B．相交
68

C．异面
BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE.
(2)证明：PD⊥平面ABE.
D．垂直
4．如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝
















【课堂小结】
1．线线垂直和线面垂直的相互转化

2．证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
2.3.2 平面与平面垂直的判定
69

目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．
【知识梳理】
1．二面角的概念
从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 ，这 叫做二面角
的面．
2.二面角的平面角的定义
如图：在二面角 α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l
的射线OA和OB ，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角．


3．平面与平面的垂直的定义
如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
4．面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．即＿＿＿＿＿＿
思考
探究
[情境导学] 在学习了异面直线所成的角、直线和平面所成的角后我们自 然而然就提出：两个平面所
成的角该怎么定义？如何衡量它的大小？为此，我们需要引入二面角的概念， 研究两个平面所成的
角．
探究点一 二面角的概念
思考1 平面几何中“角”是怎样定义的？
答

思考2 在立体几何中，“异面直线所 成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们
有什么共同的特征？
答

思考3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的
一些例子吗？
答

思考4 如何用字母来记作二面角？
答



思考5 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系，那我们应如何度量二面角的大小呢？
答
探究点二 两个平面垂直的概念
思考1 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出是哪些二面角？这些二面角各
是多少度？
答

思考2 如何定义两个平面互相垂直？
70

答

思考3 如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？
答

探究点三 两个平面垂直的判定
思考1 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其它的判定定理吗？
答


思考2 如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？
答


例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于 A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.












跟踪训练1 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．

求证：(1)EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD.













例2 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A
1
B1
C
1
中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB
71

的中点．

(1)求点C到平面A
1
ABB
1
的距离；
(2)若AB
1
⊥A
1
C，求二面角A
1
－CD－C
1
的平面角的余弦值．











跟踪训练2 如图所示，已知Rt△ABC，斜边BC? α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，
∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的 大小．













【随堂练习】
1．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角．可能为钝角的有( )
A．0个

B．1个
72

C．2个

D．3个
2．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
C．相交且垂直

3．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直， 则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或
互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②

4．如图所示，在三棱锥S－ ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝
角S－BC－A的大小为____ ____．
3
，则二面
2
B．可能重合
D．相交不垂直







【课堂小结】
1．求二面角的步骤
73

简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角 的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB
为二面角α－l－β 的平面角．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两 条交线所成
的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
( 3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角
的棱 作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面
角α－ l－β的平面角．

3．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面互相垂
直．

2. 3.3 直线与平面垂直的性质
2．3.4 平面与平面垂直的性质
74

目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
2.能运用性质定理解决一些简单问题；
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
【知识梳理】
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行

图形语言

2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
符号语言
两个平面垂直，则 垂直于交线的直线与另一个平面

图形语言

3.平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．
思考探究
[情境导学] 直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂 直及平面与平面垂
直的条件问题；反之，在直线与平面垂直及平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论 ？本节就来
研究这个问题．
探究点一 线面垂直的性质定理
75

思考1 若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
答
思考2 已知直线a⊥α、b⊥α，那么直线a、b一定平行吗？我们能否证明这一事实的正确性呢？
答 ．
已知：a⊥α，b⊥α， 求证：b∥a.


例1 把 直角三角板ABC的直角边BC放置桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面α垂直，a是
α内一条直 线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a?α，a⊥AB.

求证：a∥l.




探究点二 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答
例2 设α⊥β，α∩β＝CD，AB?α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，求证：AB⊥β.








跟踪训练2 如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a⊥β，a?α，试判断直线a与平面α的位置
关系．





例3 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位
置关系．






跟踪训练3 如图所示，P是四边 形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的
菱形．侧面PAD为正三角形 ，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．
76

求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.









【随堂练习】
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是
( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ
C．l与γ斜交
______________．
4.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.
B．l?γ
D．l⊥γ
3．在斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠BAC＝90°，BC
1
⊥AC，则点C
1
在底面ABC上的射影H必在










【课堂小结】
1．垂直关系之间的相互转化
77

2．平行关系与垂直关系之间的相互转化

3．判定线面垂直的方法主要有以下五种
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条
垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，
α∥β
?
?
?
? a⊥β. 平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
a⊥α
?
?


?
a∥b
?
?
?b⊥α；⑤如果一条直线垂直于两个平行
a⊥α
?
?
第二章 复习课
知识结构
78

知识探究
题型一 几何中共点、共线、共面问题
1．证明共面问题
证明共面问题，一般有两种证法：一是由某 些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；
二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些 平面重合．
2．证明三点共线问题
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交 线上，即先确定出某两点在某两个平面的
交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平 面的交线上．
3．证明三线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证 明第三条直线经过这点，把问题转化为证明
点在直线上的问题．
例1 如图所示，空间四边形 ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，
且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H四点共面；
(2)GE与HF的交点在直线AC上．


79

跟踪训练1 如图，O是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC
1
和
截面A
1
BD的交点．
求证：O、M、A
1
三点共线．












题型二 空间中的平行问题
1．判断或证明线面平行的常用方法：(1 )利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定
理(a?α，b?α，a∥b?a∥ α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的
性质(α∥ β，a?β，a∥α?a∥β)．
2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用 面面平行的判定定理：如果一个平面内
有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3 )垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；( 5)利用“线线平行”、“线面平行”、
“面面平行”的相互转化．
例2 如图，E、F 、G、H分别是正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱BC、CC
1
、C
1
D
1
、
AA< br>1
的中点，
求证：(1)GE∥平面BB
1
D
1
D；
(2)平面BDF∥平面B
1
D
1
H.









跟踪训练2 如图，△A BC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA
的中点，N是 EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
80

题型三 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
例3 如图所示，在四棱锥P—A BCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA
＝AB＝BC，E 是PC的中点．








跟踪训练3 如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△A DB以
AB为轴运动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．








81

题型四 空间角问题
1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
2．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
3．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法．
例4 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝A B
＝BC，E是PC的中点．
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明：AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A—PD—C的正弦值．










跟踪训练4 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．















【课堂小结】
1．平行问题的转化关系
82

2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)< br>a
⊥α，
a
⊥β?α∥β.
第三章 直线与方程
3.1.1 倾斜角与斜率
目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
【知识梳理】
1．倾斜角的概念和范围
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴------- 与直线l向上方向之间所成的角α叫做
直线l的倾斜角． 当直线l与x轴 -时，我们规定它的倾斜角为0°. 直线的倾斜角α的范围
是
2．斜率的概念及斜率公式
定义
取值范围
过两点的
直线的斜
率公式
知识探究
探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念
思考1 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作 无数条直线，它们都经过点
P，这些直线区别在哪里呢？
答

83
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即
k＝
当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝ 90°时，
斜率
y
2
－y
1
直线经过两点 P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，其斜率k＝(x≠x)
x
2
－x
1
12

思考2 怎样描述直线的倾斜程度呢？
答

思考3 依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？
答

思考4 任何一条直线 都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线
的位置吗？你认为确定平面直 角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？
答

思考5 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
答

思考6 如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”，那么“坡度(比)”等于什么呢？
答

例1 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

跟踪训练1 已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( )
A．0°≤β<180°
C．15°≤β<180°
探究点二 直线的斜率公式
思考1 如下图1、图2，任给直线上两点P
1
(x
1，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(其 中x
1
≠x
2
)，过点P
1
作x轴的平行
线，过点 P
2
作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标是什么？
B．15°<β<180°
D．15°≤β<195°

图1 图2
答
思考2 设直线P
1
P
2
的倾斜角为α(α≠9 0°)，那么Rt△P
1
P
2
Q中，哪一个角等于α？
答

思考3 根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？
84

答

y
2
－y
1
思考4 当P
2
P
1
的方向向上时，tan α＝成立吗？为什么？
x
2
－x
1
答

思考5 当直线P
1
P
2
与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
答

y
2
－y
1
[小结] 经过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(x
1
≠x
2
)的直线的斜率公式k＝.
x
2
－x
1
例2 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C( 0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾
斜角是锐角还是钝角．





跟踪训练2 经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的范围是________(其中m≥1)．

例3 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l
1
，l
2
，l
3
及l
4
.



[反思与感悟] 已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率
求出另一定点．
跟踪训练3 已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为________．


【随堂练习】
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
85

②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于( )
A．1
C．1或3
B．4
D．1或4
3．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_________．
4．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
(1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；
(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3，－2)，(6，－2)．














【课堂小结】
1．求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法
( 1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相
等， 可用公式来求．
(2)α＝0°?k＝0；0°<α<90°?k>0；90°<α<180°?k< 0；α＝90°?斜率不存在；若求α的具体值，可用
公式k＝tan α求解．
2．用斜率公式解决三点共线问题
86

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
目标
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．
【知识梳理】
1．两条直线平行与斜率之间的关系
类型
前提条件
对应关系
图示
2.两条直线垂直与斜率之间的关系
斜率存在
α
1
＝α
2
≠90°
l
1
∥l
2
?k
1
＝k
2


斜率不存在
α
1
＝α
2
＝90°
l
1
∥l
2
?两直线斜率都不存在


图示
对应关系
思考探究


l
1
⊥l
2
(两直线斜率都存在)? l
1
的斜率不存在，l
2
的斜率为0?
探究点一 两条直线平行的判定
思考1 如图，设对于两条不重合的直线l
1
与l
2< br>，其倾斜角分别为α
1
与α
2
，斜率分别为k
1
、k
2
，若
l
1
∥l
2
，α
1
与α< br>2
之间有什么关系？k
1
与k
2
之间有什么关系？
87

答
思考2 对于两条不重合的直线l
1
与l
2
，若k
1
＝k
2
，是否一定有l
1
∥l
2
？为什么？
答
[小结] 对于两条不重合的直线l
1
、l
2
，其斜率分别为k
1
、k
2
，有l1
∥l
2
?k
1
＝k
2
.若直线l
1
和l
2
可能重
合时，我们得到k
1
＝k
2
?l
1
∥l
2
或l
1
与l
2
重合．
例1 已知A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断直线BA与PQ 的位置关系，并证明你的
结论．





[反思与感悟] 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等．一
般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题．
跟踪训练1 (1)l1
的倾斜角为60°，l
2
经过点M(1，3)，N(－2，－23)，则l1
与l
2
的关系是________．
(2)经过两点A(2,3)， B(－1，x)的直线l
1
与经过点P(2,0)且斜率为1的直线l
2
平行 ，则x的值为________．
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2 ，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD
的形状，并给出证明．




[反思与感悟] 熟记斜率公式：k＝
y
2
－y
1
，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x
1
≠x
2)时，根
x
2
－x
1
据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当 x
1
＝x
2
，y
1
≠y
2
时，直线的斜率 不存在，此时直线的倾斜
角为90°.
7
跟踪训练2 求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形．
2



88

探究点二 两条直线垂直的判定
思考1 如图，设直线l
1
与l
2
的倾斜角分别为α
1
与α
2
，斜率分别为k
1
、k
2
，且α
1
<α
2
，若l
1
⊥l
2
，α
1
与α
2
之间有什么关系？为什么？

答

1
思考2 已知tan(90°＋α)＝－，据此，如何推出思考1中两直线的斜率 k
1
、k
2
之间的关系？
tan α
答

思考3 如果两直线的斜率存在且满足k
1
·k
2
＝－1，是否一定 有l
1
⊥l
2
？为什么？
答

思考4 对任意 两条直线，如果l
1
⊥l
2
，一定有k
1
·k
2< br>＝－1吗？为什么？
答

[小结] 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂 直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们
的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即k1
k
2
＝－1?l
1
⊥l
2
.
例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐 标．




[反思与感悟] 在应用斜率解决与两条直线的平行 或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在
的情况，避免出现漏解．两条直线垂直与斜率之间的关 系：l
1
⊥l
2
?k
1
·k
2
＝－1或一 条直线斜率为零，
另一条斜率不存在．
跟踪训练3 已知△ABC的三个顶点分别是A(2, 2＋22)、B(0,2－22)，C(4,2)，试判断△ABC是否
是直角三角形．



89

【随堂练习】
1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝( )
11
A．－3 B．3 C．－ D.
33

1
2 ．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( )
2
52
A. B. C．10 D．－10
25

3．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为___ _____．

4．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点 C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．













【课堂小结】
1．代数方法判定两直线平行或垂直的结论：若直线l
1
、l
2
存在斜率k< br>1
、k
2
，则l
1
∥l
2
?k
1< br>＝k
2
(其中l
1
，
l
2
不重合)；若l< br>1
、l
2
可能重合，则k
1
＝k
2
?l1
∥l
2
或l
1
与l
2
重合．l
1< br>⊥l
2
?k
1
·k
2
＝－1.
2．判定两 条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两
直线平行，若一 条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二
看斜率是否相等或斜率 乘积是否为－1；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．





3.2.1 直线的点斜式方程
目标
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；
90

3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
【知识梳理】
直线的点斜式方程和斜截式方程
类别
适用范围
已知条件 点P(x
0
，y
0
)和斜率k
点斜式
斜率存在
斜率k和在y轴上的截距b
斜截式
图示


方程
截距
思考探究
探究点一 直线的点斜式方程
思考1 求直线的方程指的是求什么？
答

思考2 如图，直线l经过点P
0(x
0
，y
0
)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P
0
的任意一
点，怎样建立x，y之间的关系？


直线l与y轴交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距

答

91

思考3 过点P
0
(x
0
，y
0
)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足思考2中得出的方程吗？为什 么？
答

思考4 坐标满足方程y－y
0
＝k(x－x
0
)的点都在过点P
0
(x
0
，y
0
)且斜率为k 的直线上吗？为什么？
答

[小结] 由上述思考2和思考3的讨论可知，方程y －y
0
＝k(x－x
0
)就是过点P
0
(x
0，y
0
)且斜率为k的
直线的方程．方程y－y
0
＝k(x－x
0
)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，
简称点斜式．

思考5 如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P
0
(x
0
，y
0
)且平行于x轴的直线方程？
答
思考6 y轴所在的直线 方程是什么？如何求过点P
0
(x
0
，y
0
)且平行于y轴 的直线方程？
答
例1 直线l经过点P
0
(－2,3)，且倾斜角α＝4 5°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.





[反思与感悟] 由点斜式写直线方程时，由于过P(x
0
，y
0
) 的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜
率存在时方程为y－y
0
＝k(x－x< br>0
)；(2)斜率不存在时，直线方程为x＝x
0
.
跟踪训练1 一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．


探究点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
答

[小结] 我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b
确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．
思考2 直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？
答

思考3 一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？
答

例2 已知直线l
1
：y＝k
1
x＋b1
，l
2
：y＝k
2
x＋b
2
，
试讨论：(1)l
1
∥l
2
的条件是什么？
(2)l
1
⊥l
2
的条件是什么？





92

[反思与感悟] 已知l
1
：y＝k
1
x＋b
1
，l
2
：y＝k< br>2
x＋b
2
，则l
1
∥l
2
?k
1
＝k
2
，且b
1
≠b
2
；l
1
⊥ l
2
?k
1
k
2
＝－
1.
1
跟踪训练2 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
6











【随堂练习】
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的 斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为
________．
3．已知 直线l
1
：y＝2x＋3a，l
2
：y＝(a
2
＋1)x＋ 3，若l
1
∥l
2
，则a＝________.
4．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．















【课堂小结】
93

1．求直线的点斜式方程的方法步骤

2．直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． < br>(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上
的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通
过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

3.2.2 直线的两点式方程
目标
1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
【知识梳理】
1．直线的两点式方程和截距式方程
名称
条件
方程
2.线段的中点坐标公式
若点P
1
、P
2
的坐标分别为( x
1
，y
1
)、(x
2
，y
2
)，则线段 P
1
P
2
的中点坐标公式为.
思考探究
探究点一 直线的两点式方程
导引 已知直线上两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(其中x
1< br>≠x
2
，y
1
≠y
2
)，如何求出过这两点的直线方 程？
思考1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？
答

思考2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？
答

y－y
1
x－x
1
[小结] 经过直线上两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(其中x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2< br>)的直线方程＝叫做直
y
2
－y
1
x
2
－x
1
94
两点式
两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)(x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
)

截距式
A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)

线的两点式方程，简称两点式．
思考3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？
答


例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
答


[反思与感悟] 我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做 直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上
xy
的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上 的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
ab
跟踪训练1 三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．


探究点二 中点坐标公式
思考 如图所示，已知A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，M(x，y)是线段A B的中点，如何用A，B点的坐标表
示M点的坐标？
答


[反思与感悟] 已知P
1
，P
2
的坐标分别为(x
1，y
1
)，(x
2
，y
2
)，且线段P
1P
2
的中点M的坐标为(x，y)，
x
2
＋x
1
x＝，
2
21
?
则
?
y＋y
y＝
?2
，

这个公式称为线段的中点坐标公式．
探究点三 两点式、截距式方程的应用
例2 已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0, 2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上
中线所在直线的方程．



95

[反思与感悟] 当已知 两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用
条件，若满足即可考虑用两 点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再
用点斜式写方程．
跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上的高AD所在直线的方程；
(3)BC边上的中线AE所在直线的方程．






例3 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．





[反思与感悟] (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交 ，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数
法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
跟踪训练3 求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．





【随堂练习】
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3
C．y＝x＋2
xy
A.＋＝1
43
xy
C.－＝1
43
A．x＝2
C．x＝3
B．y＝－x＋1
D．y＝－x－2
xy
B.＋＝1
34
xy
D.－＝1
34
B．y＝2
D．x＝6
2．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________．
5．直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
96

【课堂小结】
1．求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时 ，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点
的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求 方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误 ．在记
忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
2．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即< br>可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
3．对称问题的解决
(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式．
(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决．
(3 )点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条件，通过
解方程 组求解．
(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决．
3.2.3 直线的一般式方程

目标
1.掌握直线的一般式方程；
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
【知识梳理】
1．关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般
式．
2．比较直线方程的五种形式
形式
点斜式
斜截式

方程



97
局限
不能表示斜率不存在的直线
不能表示斜率不存在的直线

两点式
截距式
一般式
思考探究
探究点一 直线的一般式方程



x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2

不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
无
思考1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？
答
[小结] 任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．
思考2 每一个关于x，y 的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线吗？为
什么？
答

[小结] 直线方程都是关于x，y的二元一次方程；关于x，y的二元一次图象又都是一条 直线．我们
把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫做直线的一般式方 程，简称一般式．
思考3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
答

思考4 在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何 值时，方程表示的直线(1)平行
于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；(4)与y轴重合．
答

4
例1 已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程．
3


[反思与感悟] 对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；
x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式．
跟踪训练1 直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点 是(1，－1)，则
l的斜率是________．
探究点二 直线方程五种表达形式的转化
例2 把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截
距，并画出图形．






[反思与感悟] 任何形式的方程都可以化成一般式方程，化为一般式方程以后原方程的限制条件就消< br>失了．由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，
一般式不化为两点式和点斜式．
跟踪训练2 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
98