高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系

圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程
1.圆的定义
(1)条件：平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___.
(2)结论：定点是_圆心____,定长是___半径__.
2.圆的标准方程
22
x

－a

)
2

＋y－
(1)圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为
(

(

b

)

＝

r
.
(2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为
x

2

+y

2

2

=r
2.点与圆的位置关系
圆C：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P (x
0
，y
0
)，设d＝|PC|＝x
0
－a
2< br>＋y
0
－b
2
.
位置
关系
点在圆外
d与r
的大小
d__>__r

点在圆上 d__=__r

点在圆内
d__<__r

题型一：圆的标准方程
例1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)圆心在点C(3,4)处，半径是5；
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)处

题型二：点与圆的位置关系的判断
例2.已知两点P
1
(3,8)和P2
(5,4)，求以线段P
1
P
2
为直径的圆的方程，并判断点 M(5,3)，N(3,4)，
(x
0
－a)
2
＋(y
0< br>－b)
2
2

(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2

图示 点P的坐标的特点
(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b )
2
>r
2


P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？



变式：若 原点在圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝m的内部，则实数m的取值范围是( )
A．m>5 B．m<5 C．－2题型三：圆标准方程的求解
例3.求下列条件所决定的圆的方程：
(1)已知圆 C 过两点 A(5,1)，B(1,3)，圆心在 x 轴上；
1

(2 )求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆心的标准方程．
( 3)经过三点 A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2).




圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是( )
变式1：
A．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2 B．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4

C．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2 D．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4
变式2：如图，矩形ABC D的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，
点T(－1,1) 在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．


一、 圆的一般方程
1．圆的一般方程
(1)方程：当D
2
＋E
2
－4F>0 时，方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为< br>DE
1
C(－，－)
D
2
＋E
2
－4F
______________，半径为r＝________________.
22
2
D
2
＋E
2
－4F>0
(2) 说明：方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当___ ___________时，表示圆：当
DE
D
2
＋E
2
－ 4F＝0时，表示一个点____(－，－)__；当D
2
＋E
2
－4F<0 时，不表示任何图形．
22
(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
①根据题意，选择_标准方程_______或___一般方程_______；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的_方程组_________；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析：已知点M(x
0
，y0
)和圆的方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(D
2
＋E
2
－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
点M在圆外
点M在圆上
点M在圆内
代数关系
2
x< br>2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F >0
2
x
2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F＝0
2
x
2
0
＋y
0＋Dx
0
＋Ey
0
＋F<0
题型一：圆的一般方程
例1．圆x
2
＋y
2
－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5 B．(2,0)，5 C．(0,2)，5 D．(2,2)，5

变式1：若方程x
2
＋y
2
－4x ＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )

A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
变式2：下列方程各表示什么图形：
2

(1)x
2
＋y
2
－4x－2y＋5＝0；
(2)x
2
＋y
2
－2x＋4y－4＝0；
(3)x
2
＋y
2
＋ax－3ay＝0.
题型二：圆的方程求解
例2.（1）过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方程是( )
A．x
2
＋y
2
＋4x－2y－20＝0 B．x
2
＋y
2
－4x＋2y－20＝0
C．x
2
＋y
2
－4x－2y－20＝0 D．x
2
＋y
2
＋4x＋4y－20＝0
(2)已知圆C：x2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象 限，半径为
2，求圆的一般方程．


变式：(1)已知圆经过A(2，－ 3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．


题型三：轨迹问题
22
例3.
自圆x＋y＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．



变式：已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段 的中点，求P
的轨迹方程．



题型四：点与圆的位置关系
例4. 点(2a,2)在圆x
2
＋y
2
－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是( )
11
A．－155
222
变式：已知点O(0,0)在圆x＋y＋kx＋2ky＋ 2k＋k－1＝0外，求k的取值范围．


例5.圆C：x
2
＋ y
2
＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝( )
A．2 B．－
33
C．±
22
D．不存在
变式：若圆x
2
＋y
2
－2ax ＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
三、直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系有三种：
3
D．第四象限

(1)直线与圆相交?直线与圆有_两__个公共点；
(2)直线与圆相切?直线与圆有__一_个公共点；
(3)直线与圆相离?直线与圆___无__公共点．
2.
直线Ax＋By＋C＝ 0与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系及判 断
位置关系
公共点个数
相交
__2__个
相切
__1__个
相离
_0___个
d__>__r
|Aa＋Bb＋C|
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d__<__r d__=__r
判
A
2
＋B
2
定
?
?
Ax＋By＋C＝0
方
代数法：由
?
222

Δ__>__0 Δ__=__0
?
?x－a?＋?y－b?＝r
?
法
消元得到一元二次方程的判别式Δ
3.弦长公式：①几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线

Δ_<___0
段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|
2
＝r
2
－d
2
，则弦长|AB|＝2|BC|，
即|AB|＝2r< br>2
－d
2
.
?
ax＋by＋c＝0，
?
② 代数法：解方程组
?
消元后可得关于x
1
＋x
2
，x
1
·x或y
1
＋y
2
，y
1
·y
2的关系式，
222
?
?
x－x
0
＋y－y
0< br>＝r，

则|AB|＝＋k
2
x
1
＋x
2< br>2
－4x
1
x
2
]＝
1
＋
2
y
1
＋y
2
2
－4y
1
y
2
] .
k
注：上述公式通常称为弦长公式．
题型一：直线与圆的位置关系
例 1.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x
2
＋y
2
－4x－2y ＋1＝0.当m为何值时，圆与直

线(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点？



若 直线x－y＋1＝0与圆(x－a)
2
＋y
2
＝2有公共点，则实数a取值范 围是( )
变式：
A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

题型二：弦长问题
例2.求直线l：3x＋ y－6＝0被圆C：x
2
＋y
2
－2y－4＝0截得的弦长．


13
变式1：设直线l截圆x
2
＋y
2
－2y＝ 0所得弦AB的中点为(－，)，则直线l的方程为________；
22
|AB|＝________.
变式2. 过点(2,1)的直线中，被圆x< br>2
＋y
2
－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．3x－y－1＝0
4
D．3x＋y－5＝0

22
变式3.
过点(3,1)作圆 (
x
－2)＋(
y
－2)＝4的弦，其中最短的弦长为________.
变式4 已知直线x＋7y＝10把圆x
2
＋y
2
＝4分成两段弧， 这两段弧长之差的绝对值等于( )
π2π
A． B． C．π
23
D．2π
变式5.直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x
2
＋y
2
＝25相交截得的弦长为45，求l的方程．


题型三：圆的切线问题
例3.过点A(4，－3)作圆C：(x－3)
2
＋ (y－1)
2
＝1的切线，求此切线的方程．



变式1：求满足下列条件的圆x
2
＋y
2
＝4的切线方程：
(1)经过点P(3，1)； (2)斜率为－1， (3)过点Q(3,0)



变式2：已知圆x
2
＋y
2
＋2x ＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取
值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
变式3：若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x
2
有公共点，试求b的取值范围．



变式4：设圆(x－3)
2< br>＋(y＋5)
2
＝r
2
(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y －2＝0的距离等于1，则圆
半径r的取值范围是( )
A．34 D．r>5
变式5：过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2
＋y
2
＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点
P的坐标是 ________．
变式6：已知圆x
2
＋y
2
＋x－6y＋m＝ 0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且
OP⊥OQ，求实数m的值．



二、 圆与圆的位置关系
1．判断圆与圆的位置关系
22< br>(1)几何法：圆O
1
：(x－x
1
)
2
＋(y－y
1
)
2
＝r
1
(r
1
>0)，圆O
2
：(x－x
2
)
2
＋(y－y
2
)
2
＝r
2
(r
2
>0)，两圆的圆
心距d＝|O
1< br>O
2
|＝x
1
－x
2
2
＋y
1－y
2
2
，
5

位置关系
图示
外离 外切 相交 内切 内含

d与r
1
，r
2
的关系

d>r＋r

12


|r
1
－
2
| r
1
＋
r
2


d =|r
1
－
2
|

d<|r
1
－r
2
|
d
＝
r
1
＋
r
2


( 2)代数法：圆O
1
：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0，圆O
2
：x
2
＋ y
2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0，两圆 的方程联立得方程

组，则有：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 ____2_个
两圆的位置关系 ___相交__
____1_个
___外切__或__内切___
____0_个
__内含___或__外离___
题型一：两圆的位置关系
例1.已知两圆C1
：x
2
＋y
2
＋4x＋4y－2＝0，C
2
：x
2
＋y
2
－2x－8y－8＝0，判断圆C
1
与圆C< br>2
的位置
关系，

题型二：两圆的公共弦问题
例2.已知 两圆x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0和x
2
＋y2
＋2x＋2y－8＝0.

(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．


变式1：求过两圆x
2
＋y
2
＋2x＋8y－8＝0，x
2
＋y
2
－4x－4y－2＝0的交点且面积最小的圆的方程．


变式2：求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x
2
＋y
2
－2x＋10y－ 24＝0，x
2
＋y
2
＋2x＋2y－8＝0的
交点的圆的方程．< br>


题型三：两圆相切有关问题
例3.半径为6的圆与x轴相切， 且与圆x
2
＋(y－3)
2
＝1内切，则此圆的方程是( )

A．(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝6 B．(x＋4)
2
＋(y－6)
2
＝6或(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝6
C．(x－4)
2
＋(y－6)
2
＝36 D．(x＋4)
2
＋(y－6)
2
＝36或(x－4)
2
＋ (y－6)
2
＝36
(2)求与圆x
2
＋y
2
－ x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．


变式： 求和圆(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4相切于点(4，－1)且半径为1的 圆的方程．
6