(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题

第二节：圆与圆的方程典型例题

一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
二、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
，圆心
22
2
222
?
a,b
?
，半径为r；
点
M(x
0
,y
0)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系：
22
当(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
2
，点在圆外
22
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r
2
，点在圆上
22
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r
2
，点在圆内
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

1
DE
?< br>，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?D< br>2
?E
2
?4F

?
?,?
?
?< br>22
?
22
22
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点；
22
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
当
D

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
例1 已知方程
x
2
?y
2
?2(m?1)x?2(2m?3)y?5m< br>2
?10m?6?0
.
（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；
（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.
答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2.
练习：
1．方程
x?y?2x?4y?6?0
表示的图形是（ ）
Ａ．以
(1，?2)
为圆心，
11
为半径的圆 Ｂ．以
(1，2)
为圆心，
11
为半径的圆
Ｃ．以
(?1
2)
为圆心，
11
为半径的圆
，?2)
为圆心，
11
为半径的圆 Ｄ．以
(?1，
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．
A．(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝4 B．(x＋3)
2
＋(y－1)
2
＝4
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4 D．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4
22
2
，
在圆
(x?a)?(y?a)?4
的内部，则
a
的取值范围是（ ） 3．点
(11)
Ａ．
?1?a?1

22
22
Ｂ．
0?a?1
Ｃ．
a??1
或
a?1
Ｄ．
a??1

4．若
x?y?(
?
?1)x?2
?
y?
?
?0
表示圆，则
?
的取值范围是
5．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为 .
6．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
7．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．
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8．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．
9．求经过A
(4，2)，
B
(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的 方程．
10．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．
三、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
A a?Bb?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d? r?l与C相切
；
d?r?l与C相交



（2）过圆外 一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半
径，求解k ，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+(y-b )
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0< br>)，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

例２ 已知圆
M:x
2
?( y?2)
2
?1
,Q是
x
轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A， B两点
(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；
(答：切线QA、QB的方程分别为
3x?4y?3?0
和
x?1
)
(2)求四边形QAMB的面积的最小值； （答
?S
MAQB
?MA? QA?QA?MQ
2
?MA
2
?MQ
2
?1?MO
2
?1?3
）
(3)若
AB?
42
，求直线MQ的方程.
3
（答：直线
MQ
的方程为
2x?5y?25?0
或
2x?5y?25?0
）
练习：
1．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)
2
＋(y＋4)
2
＝16 B．(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝16
C．(x－3)
2
＋(y＋4)
2
＝9 D．(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝19
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
＝m相切，则m为( )．
A．0或2 B．2
2

2
C．
2
D．无解
３.直线
l
过点，
l
与 圆
x?y?2x
有两个交点时，斜率
k
的取值范围是( )
（?2，0）
（?22，22）（?2，2）
（?
A B C
22
11
，）
D
（?，）
44
88４．设圆x
2
＋y
2
－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则 直线AB的方程是 ．
５． 圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝20在x轴上截得的弦长是 。
６．
P
为圆
x?y?1
上的动点，则点
P
到直线
3x?4y?10?0
的距离的最小值为_______
22
７．圆x< br>2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最 小值为 ．
８．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．
９．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．
12．（本小题15分）已知圆C：
?
x?1
?
?y?9
内有一点P （2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两
2
2
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点．
(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
(3) 当直线l的倾斜角为45?时，求弦AB的长．

13（本小题15分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半， 求：（1）
动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．



四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的 大小比较来确定。
22
设圆
C
1
:
?
x?a1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
? r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
??
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
例4 已知圆
C:
(x?2)? y?4
，相互垂直的两条直线
l
1
、
l
2
都过点< br>A(a,0)
.
（Ⅰ）若
l
1
、
l
2都和圆
C
相切，求直线
l
1
、
l
2
的 方程；
（Ⅱ）当
a?2
时，若圆心为
M(1,m)
的圆和圆
C
外切且与直线
l
1
、
l
2
都相切，求圆
M
的方程；
（Ⅲ）当
a??1
时，求
l
1
、< br>l
2
被圆
C
所截得弦长之和的最大值.
答案：（１）
l
1
、
l
2
的方程分别为
l
1
:y?x ?22?2
与
l
2
:y??x?22?2
或
l
1< br>:y?x?22?2
与
l
2
:y??x?22?2

22
（２）圆
M
的方程为
(x?1)?(y?7)?4
< br>22
（３）即
l
1
、
l
2
被圆
C< br>所截得弦长之和的最大值为
214

1．两个圆C
1
：x2
＋y
2
＋2x＋2y－2＝0与C
2
：x
2
＋y
2
－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．圆x
2
＋y
2
－ 2x－5＝0与圆x
2
＋y
2
＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段 AB的垂直平分线的方程是
( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
3． 圆x
2
＋y
2
－2x＝0和圆x
2
＋y
2
＋4y＝0的公切线有且仅有( )．
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
14．两圆x
2
＋y
2
＝1和(x＋4)
2＋(y－a)
2
＝25相切，试确定常数a的值 ．
6． 两圆
x?y?9
和
x?y?8x?6y?9?0
的位置关系是（ ）
A 相离 B 相交 C 内切 D 外切
2222
22
7． 圆：
x?y?4x?6y?0
和圆：
x ?y?6x?0
交于
A,B
两点，则
AB
的垂直平分线的方程是
22
8．两圆
x?y?1
和
(x?4)?(y?a)?25
相切，则实数
a
的值为
22
22
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五、求圆的轨迹方程
1、 点P
(x
0
,y
0
)
是圆
x
2
?y
2
?4
上的动点，点M为OP（O为原点）中点，求动
点M 的轨迹方程。
2、 已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P满足｜PA｜=2｜PB｜ ，则点P轨
迹方程所包围的图形面积等于
3、 等腰三角形ABC底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C的
轨迹方程。
4、 已知BC是圆
x
2
?y
2
?25
的动弦，且 ｜BC｜＝６，求BC中点轨迹方程。
2
5、 已知点M与两个定点O（0，0），A(3， 0)的距离的比为
1
，求点M的轨
迹方程。

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