高一数学必修二《圆与方程》的知识点整理

实用标准文案
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程 ?
x?a
?
?
?
y?b
?
22
?r< br>2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心
?
a,b
?< br>和半径
r

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材
P
119
例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件 方程形式
圆心在原点
x
2
?y
2
?r
2
?
r?0
?

过原点
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a?b
22
22
?
a
2
?b
2
?0
?

圆心在
x
轴上
?x?a
?
?y?r
2
22
?
r?0
?

?
r?0
?

?
a?0
?

?
b?0
?

2
圆心在
y
轴上
x?
?
y?b
?
?r
2
2
2
2< br>2
圆心在
x
轴上且过原点
?
x?a
?
?y?a
圆心在
y
轴上且过原点
x?
?
y?b
?
?b
2
2
2
2< br>2
与
x
轴相切 ?
x?a
?
?
?
y?b
?
?b
222
?
b?0
?

?
a?0
?

与
y
轴相切
?< br>x?a
?
?
?
y?b
?
?a
与两坐标轴都相 切
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?a
22
2
2
?
a?b?0
?

二、一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey? F?0
?
D
2
?E
2
?4F?0
?

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实用标准文案
1.
Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0
表示圆方程则
22
?
?
?
A?B?0
?
A?B?0
??

C ?0?
??
C?0
??
D
2
?E
2
?4A F?0
22
?
DEF
????
?
??4??0
?? ??
?
A
?
?
A
??
A
?
2.求 圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材
P
122
例
r
4
3.
D?E?4F?0
常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离
d
与半径
r
的大小关系
2 2
d?r?
点在圆内；
d?r?
点在圆上；
d?r?
点在圆 外
2.涉及最值：
（1）圆外一点
B
，圆上一动点
P
， 讨论
PB
的最值
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


（2）圆内一点
A
，圆上一动点
P
，讨论
PA
的最值


PA
min
?AN?r?AC


PA
max
?AM?r?AC


思考：过此
A
点作最短的弦？（此弦垂直
AC
）
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（
d
为圆心到直线的距离）
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实用标准文案
（1）相离
?
没有公共点
?
??0?d?r

（2）相切
?
只有一个公共点
?
??0?d?r

（3）相交
?
有两个公共点
?
??0?d?r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
（1）知识要点
①基本图形







②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线
l
与圆
C
相切意味着什么？
圆心
C
到直线
l
的距离恰好等于半径
r

（2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
．．．
i）点在圆外
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实用标准文案
如 定点
P
?
x
0
,y
0
?
，圆：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
， [
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
2
]
2222
第一步：设切线
l< br>方程
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

第二步：通过
d?r?k
，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对
k
存在有效，当
k
不存在时，应补上——千万不要漏了！
如：过点
P
?
1,1
?
作圆
x?y?4x?6y?12?0
的切线，求切线方程.
22
答案：
3x?4y?1?0
和
x?1

ii）点在圆上
1） 若点
?
x
0
，y
0
?
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上，则切线方 程为
x
0
x?y
0
y?r
2

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点
?
x
0
，y
0
?
在圆
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
上，则切线方程为
22
2
?
x
0
?a
??
x?a
?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
?r
2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道 ：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判
断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，
AP?CP?r?AP?
求切点坐标：利用两个关系列出 两个方程
?
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
．．．．
弦长公式：
l?1?k
2< br>22
2
CP?r
2

2
?AC?r

k?k??1
?
ACAP
x
1
?x
2
?
2
2
?
（暂作了解，无需掌握）
1?kx?x
??
??< br>?
12
?4x
1
x
2
?
?
（2）判 断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
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例：若 圆
?
x?3
?
?
?
y?5
?
?r
2
上有且仅有两个点到直线
4x?3y?2?0
的距离为1，则
22
半径
r
的取值范围是_________________. 答案：
?
4,6
?

4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
五、对称问题
1.若圆x
2
?y
2
?m
2
?1x?2my?m?0
， 关于直线
x?y?1?0
，则实数
m
的值为____.
答案：3（注意：
m??1
时，
D?E?4F?0
，故舍去） 22
??
变式：已知点
A
是圆
C
:
x?y?a x?4y?5?0
上任意一点，
A
点关于直线
x?2y?1?0
22
的对称点在圆
C
上，则实数
a?
_________.
2 .圆
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?1
关于直线
x?y?0
对称的曲线方程是________________.
22
变式：已知圆
C
1
：
?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
与圆
C
2
：
?
x?2
?
?
?
y?4
?
?1
关于直线
l< br>对称，
则直线
l
的方程为_______________.
3.圆
?
x?3
?
?
?
y?1
?
?1
关 于点
?
2,3
?
对称的曲线方程是__________________.
22
2222
4.已知直线
l
：
y?x?b
与圆< br>C
：
x?y?1
，问：是否存在实数
b
使自
A
?
3,3
?
发出的光
22
线被直线
l
反射后与圆
C
相切于点
B
?
理由.
六、最值问题
?
247
?
,
?
？若存在，求出
b
的值；若不存在，试说明
?
2525
?
方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方 程
1.已知实数
x
，
y
满足方程
x?y?4x?1?0< br>，求：
22
（1）
y
的最大值和最小值；——看作斜率
x?5
（2）
y?x
的最小值；——截距（线性规划）
（3）
x?y
的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
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22

实用标准文案
2.已知
?AOB
中，
OB?3
，
OA?4
，
AB?5
，点
P
是
?AOB
内切圆上一点，求以
PA
，
PB
，
PO
为 直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设P
?
x,y
?
为圆
x
2
?
?
y?1
?
?1
上的任一点，欲使不等式
x?y?c?0
恒成立，则< br>c
的取
2
值范围是____________. 答案：
c?
七、圆的参数方程
2?1
（数形结合和参数方程两种方法均可！）
?
x?rcos
?
，
?
为参数
x?y?r
?
r?0
?
?
?
y?rsin
?
?
22 2
?
x?a?rcos
?
22
2
，
?
为参 数
x?a?y?b?rr?0?
??????
?
?
y?b?rsi n
?
八、相关应用
1.若直线
mx?2ny?4?0
（
m
，
n?R
），始终平分圆
x?y?4x?2y?4?0
的周长，22
则
m?n
的取值范围是______________.
2.已知 圆
C
：
x?y?2x?4y?4?0
，问：是否存在斜率为1的直线
l
，使
l
被圆
C
截得
22
的弦为
AB，以
AB
为直径的圆经过原点，若存在，写出直线
l
的方程，若不存在， 说明理
由.
2
提示：
x
1
x
2
? y
1
y
2
?0
或弦长公式
d?1?kx
1
?x
2
. 答案：
x?y?1?0
或
x?y?4?0
3.已知圆
C
：
?
x?3
?
?
?
y? 4
?
?1
，点
A
?
0,1
?
，
B
?
0,1
?
，设
P
点是圆
C
上的动点，< br>22
d?PA?PB
，求
d
的最值及对应的
P
点坐标 .
4.已知圆
C
：
直线
l
：
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
，
?
2m ?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4?0
（
m?R
）
22
22
（1）证明：不论
m
取什么值，直线< br>l
与圆
C
均有两个交点；
（2）求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线
y??x?k
与曲线
x??1?y
恰有一个公共点，则
k
的取值范围.
2
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实用标准文案
6 .已知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线
x?2y?3?0
交于
P
，
Q
两点，
O
为坐标原点，
问：是否存在实数
m< br>，使
OP?OQ
，若存在，求出
m
的值；若不存在，说明理由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（
d
为圆心距）
（1）
d?r
1
?r
2
?
外离 （2）
d?r
1
?r
2
?
外切
（3）
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相 交 （4）
d?r
1
?r
2
?
内切
（5）
d?r
1
?r
2
?
内含
2.两圆公共弦所在直线方程
2222
圆
C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，圆
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2< br>?0
，
22
则
?
D
1
?D
2?
x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若
C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；
若
C
1
与
C
2
相离，则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
2222
（1）过两圆
C
1
：
x?y ?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
? 0
交点
的圆系方程为
x
2
?y
2
?D
1< br>x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y< br>2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
（
?
??1
）
说明：1）上述圆系不包括
C
2
；2 ）当
?
??1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线Ax?By?C?0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
22
??
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?By?C
?
?0

（3）有关圆系的简单应用
（4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相 交时，有两条公切线；④相
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离时，有四条公切线
十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2 ）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标
的关系式——轨迹 方程.
例：过圆
x?y?1
外一点
A
?
2,0
?
作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
22
分析：
OP?AP?OA






（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
222
?

?

动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例1.如图，已知定点
A
?
2,0
?
，点
Q
是圆
x?y?1上的动点，
?AOQ
的平分线交
AQ
于
22
M
，当
Q
点在圆上移动时，求动点
M
的轨迹方程.
分析：角平分线定理和定比分点公式.



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实用标准文案
例2.已知圆
O
：
x?y?9
，点
A
?
3,0
?
，
B
、
C
是 圆
O
上的两个动点，
A
、
B
、
C
呈逆22
时针方向排列，且
?BAC?
法1：
Q?BAC?
?
3
，求
?ABC
的重心
G
的轨迹方程.
?
3
，
?BC
为定长且等于
33

xA
?x
B
?x
C
3?x
B
?x
C?
x??
?
?
33
设
G
?
x,y?
，则
?

?
y?
y
A
?y
B
?y
C
?
y
B
?y
C
?
33< br>?
?
333
?
?
33
?
取
BC的中点为
x
E
?
?
?,
?
，
y
E
?
?
?,
?

?
24
42
?
??
?
QOE?CE?OC
，
?x
E
2
? y
E
2
?
222
9
LL
（1）
4< br>3?2x
E
x
B
?x
C
3x?3
?
?
?
x?
x?x?
?
?
?
?
x
B
?x
C
?2x
E
?
E
??
E
3< br>22
?
?
?
?
，
?
?

?
y?y?2y
y?y2y3
CE
?
B
C
?
y?
B
?
y?
E
?
y?y
E
E
?
?
?
?2
3
?2
?
22
?
3?
2
?
3x?3
??
3
?
9
?
3
?
2
故由（1）得：
?
?y??x?1?y?1x?0,,y? ?,1
?

??
?
????
?
?
4
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?< br>法2：（参数法）
设
B
?
3cos
?
,3sin< br>?
?
，由
?BOC?2?BAC?
2
?
，则
3
?2
?
?
C
?
3cos
?
?
?
3
?
?
设
G
?
x,y
?
，则
2
?
??
,3sin
?
?
??
3
??
?
?
?
?

?
?
?2
???
3?3cos
?
?3cos
?
?
??
?< br>x
A
?x
B
?x
C
2
?
?
3
?
?
?
?
x???1?cos
?
?cos
?
?
?
?
L
?
1
?
333
?? ?

?
2
?
??
?
3sin
?
? 3sin
?
?
?
?
?
y
A
?y
B
?y
C
2
?
?
3
?
?
?
y???sin
?
?sin
?
?
?
??
LL
?
2
?
333
??
?
?
2
3
?
2
2
?
?
4
?
?
?
3
?
2
?
?
?
,
1?1?2
x?1?y?1x?0,, y??,1
?
，由
得：
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
33
?
?
2
?
?
2
?
参数法的本质是将动点坐标
?
x,y
?
中的
x
和
y
都用第三个变量（即参数）表示，通过消．
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实用标准文案
参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出
x
，
y
的范围.
．
（4）求轨迹方程常用到得知识
x
A
?x
B
? x
C
x
1
?x
2
?
?
x?
x?< br>?
?
?
?
2
3
①重心
G
?
x,y
?
，
?
②中点
P
?
x,y
?
，
?

y?y
y?y?y
2
BC
?
y?
1
?
y?
A
?
?
?2
3
?
③内角平分线定理：
BDAB

?
CDAC

④定比分点公式：
⑤韦达定理.

x?
?
x
B< br>y?
?
y
B
AM
，
y
M
?
A

?
?
，则
x
M
?
A
MB1?
?
1?
?
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