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高中数学必修2第四章知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 10:02
tags:高中数学必修二

高中数学问题导学教学模式课例研究-高中数学周期在必修几


高中数学必修2第四章知识点总结
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准 方程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
2
0,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法:
(1)
(x
0
?a)
2
? (y
0
?b)
2
>
r
2
,点在圆外 (2)(x
2
0
?a)?(y
0
?b)
2
=
r
2
,点在圆上
(3)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指
出了 圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线
l

a x?by?c?0
,圆
C

x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
(?
D
2
,
到直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
( 1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;(2)当
d ?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1 )当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆< br>C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2< br>内切;(5)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
.

?
E
2
)



1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题 中的几何元素,将平面几何问题转化为
代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R
M
O
P
Q
M'
y
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)

x

y

z
分别是P、 Q、R在
x

y

z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点
x
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点M在此 空间直角坐标系
中的坐标,记M
(x,y,z)

x
叫做点M的横坐 标,
y
叫做点M的纵坐标,
z

做点M的竖坐标。
z
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1(x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公 式
P
1
P
2
P
1
P
2
?(x< br>1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
)


222
N
1
x
O
M
1
M
M
2
H
N
2
y
N
同步检测
第四章 圆与方程
一、选择题,
1.若圆C的圆心坐标为(2,-3),且圆C经过点M(5-7),则圆C的半径为( ).
A.
5
B.5 C.25 D.
10

2.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).
A.(x-3)
2
+(y+1)
2
=4
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=4






B.(x+3)
2
+(y-1)
2
=4
D.(x+1)
2
+(y+1)
2
=4
3.以点(-3,4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是( ).
.



A.(x-3)
2
+(y+4)
2
=16
C.(x-3)
2
+(y+4)
2
=9




B.(x+3)
2
+(y-4)
2
=16
D.(x+3)
2
+(y-4)
2
=19
4.若直线x+y+m=0与圆x
2
+y
2
=m相切,则m为( ).
A.0或2 B.2 C.
2
D.无解
5.圆(x-1)
2
+(y+2)
2
=20在x轴上截得的弦长是( ).
A.8 B.6 C.6
2
D.4
3

6.两个圆C
1
:x
2
+y
2
+2x+2y-2= 0与C
2
:x
2
+y
2
-4x-2y+1=0的位置关系为 ( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
7.圆 x
2
+y
2
-2x-5=0与圆x
2
+y
2
+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直
平分线的方程是( ).
A.x+y-1=0











B.2x-y+1=0
D.x-y+1=0 C.x-2y+1=0
8.圆x
2
+y
2
-2x=0和圆x2
+y
2
+4y=0的公切线有且仅有( ).
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
9.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c),有下列叙述:
点M关于x轴对称点的坐标是M
1
(a,-b,c);
点M关于yoz平面对称的点的坐标是M
2
(a,-b,-c);
点M关于y轴对称的点的坐标是M
3
(a,-b,c);
点M关于原点对称的点的坐标是M
4
(-a,-b,-c).
其中正确的叙述的个数是( ).
A.3 B.2 C.1 D.0
10.空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)与点B(2,-1,6)的距离是( ).
A.2
43

二、填空题
11.圆x
2
+ y
2
-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为 .
12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为 .
13.以点C(-2,3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 .
14 .两圆x
2
+y
2
=1和(x+4)
2
+(y-a)
2
=25相切,试确定常数a的值 .
15.圆心为C(3,-5),并且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为 .
.
B.2
21
C.9 D.
86



16.设圆x
2
+y2
-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是 .
三、解答题
17.求圆心在原点,且圆周被直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分的圆的方程.














18.求过原点,在x轴,y轴上截距分别为a,b的圆的方程(ab≠0).









19.求经过
A
(4,2),
B
(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.

.









20.求经过点(8,3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.









第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1.B
(-3+7)
2
=5. 圆心C与点M的距离即为圆的半径,
(2-5)
2

2.C
解析一:由圆心在直线x+y-2=0上可以得到A,C满足条件,再把A点坐标
(1,-1)代入圆方程.A不满足条件.
∴选C.
解析二:设圆心C的坐标为( a,b),半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,∴b
=2-a.由|CA|=|CB|,得 (a-1)
2
+(b+1)
2
=(a+1)
2
+(b-1)
2
,解得a=1,b=1.
因此所求圆的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=4.
.



3.B
解析:∵与x轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4),
∴圆方程为(x+3)
2
+(y-4)
2
=16.
4.B
解析:∵x+y+m=0与x
2
+y
2
=m相切,
∴(0,0)到直线距离等于
m

m
2
∴=
m

∴m=2.
5.A
解析:令y=0,
∴(x-1)
2
=16.
∴ x-1=±4,
∴x
1
=5,x
2
=-3.
∴弦长=|5-(-3)|=8.
6.B
解析:由两个圆的方程C
1:(x+1)
2
+(y+1)
2
=4,C
2
:(x-2 )
2
+(y-1)
2
=4可求得圆
心距d=
13
∈ (0,4),r
1
=r
2
=2,且r
1
-r
2
<d<r
1
+r
2
故两圆相交,选B.
7.A 解析:对已知圆的方程x
2
+y
2
-2x-5=0,x
2
+y
2
+2x-4y-4=0,经配方,得
(x-1)
2
+y< br>2
=6,(x+1)
2
+(y-2)
2
=9.
圆心分别为 C
1
(1,0),C
2
(-1,2).
直线C
1
C
2
的方程为x+y-1=0.
8.C
解析:将两圆方程分别配方得(x-1)
2
+y
2
=1和x
2+(y+2)
2
=4,两圆圆心分别为O
1
(1,
0),O2
(0,-2),r
1
=1,r
2
=2,|O
1
O
2
|=
1
2
+2
2

5
,又 1=r
2
-r
1

5
<r
1
+r
2
=3,
故两圆相交,所以有两条公切线,应选C.
9.C
解:①②③错,④对.选C.
.



10.D
解析:利用空间两点间的距离公式.
二、填空题
11.2.
解析:圆心到直线的距离d=
3+4+8
5
=3,
∴动点Q到直线距离的最小值为d-r=3-1=2.
12.(x-1)
2
+(y-1)
2
=1.
解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为

1.
故所求圆的方程为:(x-1)
2
+(y-1)
2
=1.
13.(x+2)
2
+(y-3)
2
=4.
解析:因为圆 心为(-2,3),且圆与y轴相切,所以圆的半径为2.故所求圆的方程为
(x+2)
2+(y-3)
2
=4.
14.0或±2
5

解析: 当两圆相外切时,由|O
1
O
2
|=r
1
+r
2< br>知
4
2
+a
2
=6,即a=±2
5

当两圆相内切时,由|O
1
O
2
|=r
1-r
2
(r
1
>r
2
)知
4
2
+a
2
=4,即a=0.
∴a的值为0或±2
5

15.(x-3)
2
+(y+5)
2
=32.
解析:圆的半径即为圆心到直线x-7y+2=0的距离;
16.x+y-4=0.
解析:圆x
2
+y
2
-4x-5=0的圆心为C(2,0),P(3,1) 为弦AB的中点,所以直线AB
与直线CP垂直,即k
AB
·k
CP
=-1,解得k
AB
=-1,又直线AB过P(3,1),则所求直线方
程为x+y- 4=0.
三、解答题
17.x
2
+y
2
=36.
解析:设直线与圆交于A,B两点,则∠AOB=120°,设
r
15
所求 圆方程为:x
2
+y
2
=r
2
,则圆心到直线距离为
?
,所
25
A
-5
y
4
2
-2
-4
O
r
B
5
x
以r=6,所求圆方程为
.
x
2
+y
2
=36.
第17 题





(第17题)
18.x
2
+y
2
-ax-by=0.
解析:∵圆过原点,∴设圆方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey=0.
∵圆过(a,0)和(0,b),
∴a
2
+Da=0,b
2
+bE=0.
又∵a≠0,b≠0,
∴D=-a,E=-b.
故所求圆方程为x
2
+y
2
-ax-by=0.
19.x
2
+y
2
-2x-12=0.
解析:设所求圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0.
∵A,B两点在圆上,代入方程整理得:
D-3E-F=10 ①
4D+2E+F=-20 ②
设纵截距为b
1
,b
2
, 横截距为a
1
,a
2
.在圆的方程中,令x=0得y
2
+E y+F=0,
∴b
1
+b
2
=-E;令y=0得x
2+Dx+F=0,∴a
1
+a
2
=-D.
由已知有-D-E=2.③
①②③联立方程组得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x
2
+y
2
-2x-12=0.
20. 解:设所求圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2

根据题意:r=
10?6
=2,
2
圆心的横坐标a=6+2=8,
所以圆的方程可化为:(x-8)
2
+(y-b)
2
=4.
又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)
2
+(3-b)
2
=4,解得b =5或b=1,
所求圆的方程为(x-8)
2
+(y-5)
2
=4 或(x-8)
2
+(y-1)
2
=4.

.

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