数学高中必修二知识点

高一数学必修2知识点
1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆 台是由直角梯形旋转得到，球是由半圆
旋转得到.
2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行.
3、圆柱的正视图和侧视图 都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是
圆和圆心；圆台的正视图和侧 视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三视图都是圆.
4、空间几何体的表面积：
（1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为
h
，底面多边形的周长为
c
，则直棱柱的侧面积
S
直棱柱侧面积
?ch
；
（2）正棱锥的侧面 展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为
a
，底面周长为
c
，
斜高为
h
?
，则正
n
棱锥的侧面积
S
正棱柱侧面积
?
11
nah'?ch'
；
22
（3）正棱 台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正
n
棱台的上底面、下底面边长分别为
a
?
、
a
，对应
的周长分别为
c
?
、
c< br>，斜高为
h
?
，则正
n
棱台的侧面积
11
? ?
?na?ah?
???
c
?
?c
?
h
?
；
S
正棱台侧面积
22
（4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的 底面半径为
r
，母线长为
l
，则圆柱的底面面积为
?
积为< br>2
?
rl
，圆柱的表面积
r
2
，侧面
S圆柱表面积
?2
?
r
?
r?l
?
；
（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为
r
，母线长为
l
，则圆 锥的侧面积为
?
rl
，表面积
S
圆锥表面积
?
?< br>r
?
r?l
?
；
（6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的 两底面半径分别为
r
?
、
r
，母线长为
l
，则圆台 的侧面积为
?
?
r
?
?r
?
l
，表面积< br>S
圆台表面积
?
?
(r'
2
?r
2
?r'l?rl)
；
（7）设球的半径为
R
，则球的表面积
S表面积
?4
?
r
.
5、空间几何体的体积：
（1） 设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为
S
，高为
h
，则柱体的体积
2V
柱体
?Sh
；
（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为
S< br>，高为
h
，则锥体的体积
1
?
V
锥体
3Sh
；
1
?

V
台体
3
hS?SS
?
?S
?
；（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为
S< br>?
、高为
h
，则台体的体积
S
，
（4）设圆柱的底面 半径为
r
，高为
h
，则圆柱的体积
??
V
圆柱?
?
r
2
h
；
（5）设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，则圆锥的体积
1
2
?
V
圆锥< br>3
?
rh
；
1
2
2
?
?
?
hr?rr?r
；
V
圆台
3
（6）设圆台的上、下底面半径分别为
r
?
、< br>r
，高为
h
，则圆台的体积
??

（7）设球的 半径为
R
，则球的体积
4
3
?
V
球
3?
R
.
6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.
7、平面的基本性质：
公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
数学符号表示：< br>??l,??l,??
?
,??
?
?l?
?

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
数学符号表示：
?,?,C 三点不共线?有且只有一个平面
?
,使??
?
,??
?
,C ?
?

公理3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
数 学符号表示：
??
?
I
?
?
?
I
?
?l且??l

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
数学符号表示：
ab,bc?ac

8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该
直线平行.
数学符号表示：
a
?
,a?
?
,
?
I
?
?b?ab

10、平面与平面平行的判定定理：（ 1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行.
数学符号表示：a?
?
,b?
?
,aIb??,a
?
,b
?< br>?
?

?

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
数学符号表示：
a?
?
,a?
?
?
?

?

（3）平行于同一个平面的两个平面平行.
数学符号表示：
?
< br>?
,
?

?
?
?

?

平面与平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个
平面.
数学符号表示：
?

?
,a?
?
?a?

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
数 学符号表示：
?

?
,
?
I
?
?a,
?
I
?
?b?ab

11、直线与平面垂直的判定 定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直.
数学符 号表示：
m?
?
,n?
?
,mIn??,l?m,l?n?l??

（2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
数学符号表示：
ab,a?
?
?b?
?

（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.
数学符号 表示：
?

?
,a?
?
?a?
?

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
数学符号表示：
a?
?
,b?
?
?ab

12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
数学符 号表示：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

13、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
数学符号表示：
?
?
?
,
?
I
?
?b,a?
?
,a?b?a?
?

oo
14、求异面直线所成的角（
0?
?
?90
）的步骤：
（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角 形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便
易求此角大小.
15、求直线与平面所成的角（
0?
?
?90
）的步骤：
（1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是直线与平面
所成的角.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角的 大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便
易求此角大小.
16、求二面角的平面角（
0?
?
?180
）的步骤：
（ 1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，即
为二 面角的平面角.
（2）将这个角放入某一个三角形中.
（3）在这个三角形中，计算这个角 的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊三角形，便
易求此角大小.

17、直线的倾斜角和斜率：
oo
（1）设直线的倾斜角为
?
0?
?
?180
，斜率为
k
，则
k?tan
?
?
?
?
oo
oo
??
?
?
?
?< br>?
.
2
?

当
?
?
?
时，斜率不存在.
2
oooo
（2）当
0?
?
?90
时，
k ?0
；当
90?
?
?180
时，
k?0
.
（3）过
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
的直线斜率
k?< br>18、两直线的位置关系：
两条直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>斜率都存在，则：
（1）
l
1
∥
l
2
?< br>k
1
?k
2
且
b
1
?b
2

（2）
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
（当
l
1
的斜率存在
l
2
的斜率不 存在时
l
1
?l
2
）
（3）
l
1
与
l
2
重合
?
k
1
?k
2
且< br>b
1
?b
2

19、直线方程的形式：
（1）点斜 式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（定点， 斜率存在）
（2）斜截式：
y?kx?b
（斜率存在，在
y
轴上的截距） y
2
?y
1
(x
2
?x
1
)
.
x
2
?x
1
（3）两点式：
y?y
1
x?x
1
?(y
2
?y
1
,x
2
?x1
)
（两点）
y
2
?y
1
x
2?x
1
（4）截距式：
xy
??1
（在
x
轴上 的截距，在
y
轴上的截距）
ab
（5）一般式：
?x??y?C?0??A?B?0

20、直线的交点坐标：
?
22
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
设
l
1
:A1
x?B
1
y?c
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?c
2
?0
，则联立方程组
?

Ax?By?C?0
?
222
（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交 ，此解是交点的坐标；
（2）当方程组无解时，两条直线平行；
（3）当方程组有无数组解时，两条直线重合.
设
l
1
:A
1
x?B
1
y?c
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?c
2
?0
，则：
（1）
l
1
与
l
2
相交
?
A
1
B
1
ABCABC
?
；（2）
l
1
∥
l
2< br>
?
1
?
1
?
1
；（3）
l1
与
l
2
重合
?
1
?
1
?< br>1
.
A
2
B
2
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
22
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
21、两点
P
1
(x
1
,y
1
)
，< br>P
2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式
PP
12
?
原点
?
?
0,0
?
与任一点< br>?
?
x,y
?
的距离
OP?x
2
?y
2

22、点
P
0
(x
0
,y< br>0
)
到直线
l:?x??y?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

（1）点< br>P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:? x?C?0
的距离
d?
Ax
0
?C

A
By
0
?C

B
（2）点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?y?C?0
的距离
d?
（3）点
?
?
0,0
?
到直线
l:?x??y?C?0
的距离
d?
C
A?B
22

23、两条平行直线
?x??y?C
1
?0
与
?x??y?C2
?0
间的距离
d?
C
1
?C
2
A? B
22

24、过直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?c
1
?0
与
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?c
2
?0
交点的直线方程为
(A1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2< br>x?B
2
y?c
2
)?0
?
?
?R
?

25、与直线
l:?x??y?C?0
平行的直线方程为
?x? ?y?D?0
?
C?D
?

与直线
l:?x??y?C?0
垂直的直线方程为
?x??y?D?0

26、中心对称与轴对称：
x
1
?x
2
?
x?
?
?
0
2< br>（1）中心对称：设点
P(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
)
关于点
M(x
0
,y
0
)
对称，则
?

y?y
2
?
y?
1
0
?
?2
（2）轴对称：设
P(x
1
,y
1),E(x
2
,y
2
)
关于直线
l:?x??y?C? 0
对称，则：
a、
B?0
时，有
x
1
?x
2
C
??
且
y
1
?y
2
；
2 A
y
1
?y
2
C
??
且
x
1?x
2

2B
b、
A?0
时，有
?
y
1
?y
2
B
?
?
?
x?xA
c、
A?B?0
时，有
?
12

?
A?
x1
?x
2
?B?
y
1
?y
2
?C?0
?
?22
27、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
（圆心
A
?
a,b
?
，半径长为
r
）
222< br>圆心
O
?
0,0
?
，半径长为
r
的圆的方程
x?y?r
。
222

28、点与圆的位置关系：
设圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
，点
M(x
0
,y0
)
，则：
222
（1）当点
?
在圆上时，
(x
0
?a)?(y
0
?b)?r
；
222
（2 ）当点
?
在圆外时，
(x
0
?a)?(y
0
?b) ?r
；
222
（3）当点
?
在圆内时，
(x
0< br>?a)?(y
0
?b)?r
.
222
27、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0

（1）当
D?E?4F?0
时，表示以
?
?
22
2 2
?
22
?
1
?
DE
?
,?
?< br>为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径的圆；
2
?
22
?
（2）当
D?E?4F?0
时，表示一个点?
?
22
22
?
DE
?
,?
?
；
?
22
?
（3）当
D?E?4F?0
时，不表示任何图形.
28、直线与圆的位置关系：
222
设直线
l:?x??y?C?0
与圆
C:
(x?a)?(y?b)?r
，圆心到直线的距离
d?
A a?Bb?C
A?B
22
，方程
?
Ax?By?C?0
组< br>?
，
?
为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则：
222
?
(x?a)?(y?b)?r
（1）相交
?d?r???0?
方程组有两 组实数解；
（2）相切
?d?r???0?
方程组有一组实数解；
（3）相离
?d?r???0?
方程组无实数解.
29、圆与圆的位置关系：
设圆
C
1
的半径为
r
1
，圆
C
2
的半径为
r
2
，则：
（1）
eC
1
与
eC
2
相离
?C
1
C< br>2
?r
1
?r
2
； （2）
eC< br>1
与
eC
2
相切
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
；
（3）
eC
1
与eC
2
相交
?r
1
?r
2
?C
1C
2
?r
1
?r
2
； （4）
eC
1
与
eC
2
内切
?C
1
C
2
?r< br>1
?r
2
；
（5）
eC
1
与
eC
2
内含
?C
1
C
2
?r
1
?r< br>2
.
2222
30、过两圆
x?y?D
1
x?E< br>1
y?F
1
?0
与
x?y?D
2
x?E2
y?F
2
?0
交点的圆的方程
(x
2
?y< br>2
?D
1
x?E
1
y?F)
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y ?F
2
)?0
(
?
??1)
.
当
?
??1
时，即两圆公共弦所在的直线方程.
31、点
?
?
a,b,c
?
关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标：

（1）关于
xoy
平面的对称点坐标为
?
a,b,?c< br>?
； （2）关于
xoz
平面的对称点坐标为
?
a,?b,c
?
；
（3）关于
yoz
平面的对称点坐标为
?
?a,b,c
?< br>； （4）关于
x
轴的对称点坐标为
?
a,?b,?c
?
； < br>（5）关于
y
轴的对称点坐标为
?
?a,b,?c
?
； （6）关于
z
轴的对称点坐标为
?
?a,?b,c
?
；
（7）关于原点的对称点坐标为
?
?a,?b,?c
?
；
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)
， 32点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)
，
P
2
(x< br>2
,y
2
,z
2
)
间的距离
PP
1 2
?
点
P
1
(0,0,0)
，
P
2
(x,y,z)
间的距离
PP
12
?
222
x
2
?y
2
?z
2
.