高中数学必修二全套教案

课题：柱、锥体的结构特征
课 型：新授课
教学目标：
通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体的结构特征，并能运用这些 特征描述
现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体的结构特征.
教学难点：柱、锥的结构特征的概括.
教学过程：
一、新课导入：
在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。
由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的 物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行
分类吗？分类的依据是什么？
学生观察思考，最后归类总结。
上图中的物体大体可分为两大类：
（一） 由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面
体的面。相邻两个面的 公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
（二）由一个平面图形绕它所在的平面内 的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋
转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。
二、讲授新课：
1. 棱柱的结构特征：
请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(2)(5)(7)(9)中 的几何体，并寻找它们
的共同特征。（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）
（1 ）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻
侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。









（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
（4）棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱
ABC DEF?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
F
'
”
思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？
第 1 页 （共 112页）

解答：不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面平行，其余各 面都是平行四边形，但它不是
棱柱。
2．棱锥的结构特征：
请同学们根据刚才的分 类，再对比一下图1.1-1中(14)(15)中的物体，并寻找它们的共同
特征。
（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）
（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，
由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）
棱锥中，这个多边形面叫做棱 锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧 面的公共边叫做棱锥的侧棱。
（3）棱锥的分类：
按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
（4）棱锥的表示
用底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱锥
S?ABCD
”
讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？
棱柱：两底面是对应边平 行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平
行于底面的截面是与底面全等的多 边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离< br>与高的比的平方.
3．圆柱、圆锥的结构特征：
（1）观察图1.1-1中的（1）（3）（6）（8）的物体，并思考：圆柱、圆锥如何形成？
（2） 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆
柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
（3）圆柱、圆锥的有关概念：（ 参照课本图1.1-7和1.1-8的模型，边对照模型边介绍）
在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于
轴的 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面
的母线。
圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。

（4）圆柱、圆锥的表示方法：
圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-7中 的圆柱表示为圆柱O’O，图1.1-8
中的圆锥表示为圆锥SO.

(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？
圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.

三、巩固练习：
1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.
3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.

四、归纳小结：
棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。

五、作业布置：
第 2 页 （共 112页）

教材P8 习题1.1，第1题

课后记：




课题：台、球体及简单几何体的结构特征
课 型：新授课
教学目标：
通过实物模型，观察大量的空间图形，认识台体、球体及简单组合体的结构特征， 并能运用
这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。
教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.
教学过程：
一、复习准备：
1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。
2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性质？

二、讲授新课：
1. 棱台与圆台的结构特征：
（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？

（ 2）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个
平行于圆锥 底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？

（3）结合课本图1.1-6认识：
棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点.
结合课本图1.1-9认识：
圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。

（4）棱台的分类及表示：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等；
棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’.

(5) 圆台的表示:
圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.

（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行； 两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧
棱的延长线相交于一点.
圆台： 两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；
母线长都相等.
棱台与圆台统称为台体。
2．球体的结构特征：
（1） 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.
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列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？
（2）结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.
在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（3） 球的表示：
球常用表示球心的字母表示，例如图1.1-10中的球表示为球O。
（4） 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
3. 简单组合体的结构特征：
（1）讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体 、台体、球体等简单几何体外，还
有哪些物体存在？
例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？

（2） 定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.
列举生活中的实例。

（3）简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的
几何体 。

三、巩固练习：
1. 练习：课本P8 A组 2～5题.
2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？
3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高
4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.

四、归纳小结：
本节课学习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的性质及分类，重点要把
握它们的结 构特征。
五、作业布置：
习题1.1 B组 第1- 2题
课后记：


课题：中心投影与平行投影
及简单几何体的三视图

课 型：新授课
教学目标：
1、了解中心投影和平行投影的原理；
2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几何体。
教学重点：投影的概念及三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、新课导入：
1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，
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只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.
三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；
直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.
用途：工程建设、机械制造、日常生活.

二、讲授新课：
1. 中心投影与平行投影：
我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，这是一 种自然现
象。投影就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，是光线（投射线）通过物体，向选定的< br>面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，
皮 影戏等。
我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
中心投影的优缺点：它能非常 逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概
括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投 影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观
图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如 工程制图或技术图样，一般不采用中
心投影。
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为 平行投影。平行投影按照投射方向是否正
对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）


我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三视图就是从三 个不同
的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映物体。所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子摸象。
现在我们比较详细的了解了三视图，接下来，我们就来画物体的三视图。

2. 柱、锥、台、球的三视图：
（1）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）讨论：三视图与平面图形的关系？
画出长方体的三视图（教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三视图）
注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。

讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？
“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

（3） 结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）
第 5 页 （共 112页）

三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.
即正视图、侧视图、俯视图：


（4）试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （学生自己动手画图）

（5）讨论：
三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）？
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（6） 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.
（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）

三、巩固练习：
（1） 画出正四棱锥的三视图.
（2）画出右图所示几何体的三视图.
右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.



四、归纳小结：
今天我们学习了中心投影和平行投影，三视图的画法以及由三视图说实物。三 视图画法里
面要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。









五、作业布置：
1、画出右图三棱柱的三视图。





第 6 页 （共 112页）

2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是_______________.









正视图 侧视图 俯视图




课后记：















课题：简单组合体的三视图

课 型：新授课
教学目标：
能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由哪些简单几
何体构成。
教学重点：简单组合体三视图的画法。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.
教学过程：
一、复习回顾：
1．中心投影与平行投影的概念：
中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
2．三视图的概念：
第 7 页 （共 112页）

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
在三视图中要注意：
（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；
（2）要注意三视图的主视图反 映上下、左右关系，俯视图反映前后、左右关系，左视图反映前
后、上下关系，方位不能错。

二、讲授新课：
1．简单组合体的三视图：
例1：画出下列几何体的三视图。
分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。




例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）。
（与学生一起观察物体，给于必要的阐述）
主视图
左视图
俯视图
正前方


现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是什么物体吗？
第 8 页 （共 112页）

例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。

(1)
(2)
(3)

解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
主视图
左视图
俯视图


三、巩固练习：
课本第15页练习 第1—4题。


四、归纳小结：
今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别所表示的几何
体。

五、作业布置：
课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。

课后记：





课题：空间几何体的直观图

第 9 页 （共 112页）

课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投 影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自
特点。
教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。
教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。
教学过程：
一、新课导入：
1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下）
2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？
3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量
关系的图形

二、讲授新课：
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：
（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
（师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤）
画法：
① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取A D所在直线为x轴，对称轴MN所在直线
为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应 的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，使
''
=45
0
。
?X
'
OY
1
② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x ’轴上取A’D’=AD，在y’轴上取M’N’=MN。
2
以点N’为中点，画B’C’平行 于x’轴，并且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x’
轴，并且等于EF。
③连 接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’（图1.2-10(3)）。

（2）给出斜二测画法的基本步骤：
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
''
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O
’
X
’< br>,O
’
Y
’
,使
?X
'
OY
=45
0
（或
135
0
），它们确定的平面表示水平平面；
③画 对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X
‘
轴，且长度保持
不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y
‘
轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.

(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）

2. 空间图形的斜二测画法：
(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤）
第 10 页 （共 112页）

画法：
① 画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴 、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45
0
,∠xOz=90
0
.
3
② 画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ, 使PQ=cm.
2
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点 分别为A，B，
C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
③ 画侧棱。过A，B ，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段
AA’,BB’,CC’, DD’.
④ 成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改 为虚线），
就得到长方体的直观图。
（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？
例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
分析：有几何体的三视图知 道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部
是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上 底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的
圆锥。
画法：
① 画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90
0
。
② 画圆柱 的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。
选择椭圆模板 中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面。
③ 在Oz上截取点O’，使OO’等于正视图中 OO’的长度，过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’，
类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。
④ 画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。
⑤ 成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图1.2-14(2)）
强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。
（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？
空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据
三视图可以 得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空
间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.
三、巩固练习：
1．探究P19 奖杯的三视图到直观图.
2． 练习：P19 1～5题
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm

四、归纳小结：
让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。

五、作业布置：
课本P21 第4、5题。





课后记：


第 11 页 （共 112页）

课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
课 型：新授课
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学
习的积极性 。
教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式的由来.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？
2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导：
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：1. 已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体
S-ABC
的表面积.(教材P
24< br>页例1)
2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），
S
圆柱侧
=2
?
rl
，S
圆柱表
=2
?
r(r?l )
，其中为
r
圆柱底面半径，
l
为母线长。
圆锥：侧面展 开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇
形中心角为
???360
0
，S
圆锥侧
=
?
rl
， S圆锥表
=
?
r(r?l)
，
中为
r
圆锥底面半 径，
l
为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底
周长，侧 面展开图扇环中心角为
?
?
S
圆台表
=
?
(r2
?rl?Rl?R
2
)
.
R?r
?360
0
，
l
r
l
其
周长，外弧长等于圆台下底
S
圆台侧
=
?
(r?R)l
，< br>第 12 页 （共 112页）

④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面
积.
（变式：求切割之前的圆锥的表面积）






2. 教学表面积公式的实际应用：
① 例2P
25
：一圆台形 花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长
15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？
列式 → 计算 → 变式训练：内外涂





② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm,
计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.





三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S- ABCD，求其表面积.
2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比
为1：1，求截面的半径. （变式：r、R；比为p:q）
3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径
2
为 。
（答案：
3
?
3a
?
m
）

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
3
，求这个圆锥的表面积.


5. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.


6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？


四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题




第 13 页 （共 112页）

五、作业：P
28
1、2 P30习题 2题



课后记








课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
课 型：新授课
教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。
3、情感与价值
通 过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积
极性。 < br>教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和
解 决有关实际问题.
教学重点：运用公式解决问题.
教学难点：理解计算公式之间的关系.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？
2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.
3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？
二、讲授新课：
1. 教学柱锥台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）
② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？
→给出柱体体积计算公式：
V
柱
?Sh
（S为底面面积，h为柱体的高）→
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h


③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？
→给出锥体的体积计算公式：
V
锥
?Sh
S为底面面积，h为高）
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？
→ 如何计算台体的体积？
第 14 页 （共 112页）
1
3

1
3
11
→
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h
（r、R分别为圆台上底、下底半径）
33
⑥ 给出台体的体积公式：
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h
（S，
S
'
分别上、下底面积，h为高）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以 看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下
底相同时，台成为柱。因此只要分别令 S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相
应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体 的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？


公式记忆：
V
锥
?Sh

1
3
1
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

311
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h??
(r
2
?rR?R
2
)h

33
2. 教学体积公式计算的运用：
例1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10 mm，估算
这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8gcm
3
）
讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式




② 练习：将若 干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水
倒入轴截面是正三 角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.



.
三、巩固练习：
1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把 三棱锥分成三
部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分 别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求
这个棱台的体积。 （答案：2325cm
3
）

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.

第 15 页 （共 112页）

4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm,体积为2800cm，求它的侧面积。

5. 仓库一角有谷一堆，呈14圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kgm
3


四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P
28
2、3题； P30习题 3题.


课后记















课题： 球的体积和表面积
课 型：新授课
一. 教学目标
1.知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求
和— —化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2.过程与方法
通过球的体积和面积 公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4
πR
3
和面积公式Ｓ
3
23
＝４πR
2
的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积 和面积”的方法，体现了极
限思想。
3.情感与价值观
通过学习，使我们对球的体 积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能
力和空间想象能力，增强了我们探索问题和 解决问题的信心。
二. 教学重点、难点
第 16 页 （共 112页）

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１．
２．
学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值
教学用具：多媒体课件
的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
四. 教学设计
（一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱 体、锥体和台体那样展开成平面图形，
那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发
学生推导球的体 积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切 割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体
积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆 片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于
圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因 此求球的体积可以按“分割—
—求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行 于底面
R
的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底 面。
n
如图：

得
R
?
R
3
i?1
2
V
i
?
?
?r
i
??[1?() ]　　(i?1、２??n)

nnn
2
第二步：求和
1
(1?
1
n
)(2?
n
)
Ｖ
半球
＝v1
?v
2
?v
3
???v
n
?
?R[1?]

6
3
第三步：化为准确的和
当n→∞时，
1
n
→0 （同学们讨论得出）
3
所以
Ｖ
半球
＝
?
R(1?
1?22
)?
?
R
3

63
Ｖ
球
?
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
4< br>?
R
3

3
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5 cm,求它的内径(钢的密度是7.9gcm
3
)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所
第 17 页 （共 112页）

以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推 导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似
和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是 它的八个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是 。 （答案50元）

（三）体积公式的实际应用：
例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9gcm
3
）
讨论：如何求空心钢球的体积？
→ 列式计算 → 小结：体积应用问题.


② 有一个倒圆锥形容器，它的轴 截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R
的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出 ，求此时容器中水的深度.



③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示 的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一
周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球 的体积是圆柱体积的 ，球的表面积也是圆
柱全面积的.

五、课堂小结：
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了
解了推导 中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
六、作业：1、P
28
练习1、2、3


2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案：
33:1
； 3 ：1）
22
⑵在球心同侧有相距9cm的两 个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表
面积。 （答案：2500πcm
2
）

七、课后记：



课题：平面
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
2
3
2
3
第 18 页 （共 112页）

（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读 教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成
本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等， 都给我们以平面的印象，你
们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教 师对学生的活动
给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物 体中抽象出来
的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知 识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一
个平行四边形，锐角画成45
0
，且横边画成邻边的2倍长（如图）






平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边
形的四个 顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起， 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出
投影片）




α α
第 19 页 （共 112页）
D
α
A B
C
β
β

·B

课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
·A
α

点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B
?
α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上 的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用
事实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
·B

A∈L
B∈L => L α
A
α
·


A∈α
L
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
α

·

·
C

·


使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

α
P
·

L

4、教材P43 例1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系





第 20 页 （共 112页）

通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。


三、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4
四、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
五、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系.
课后记：
















课题：空间中直线与直线之间的位置关系
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
第 21 页 （共 112页）

二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面 直线的概念：不同在任何一个
平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：



2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 线互相平行。在
空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1、 空间四边形
ABCD
，
E 、F、H、G
分别是边
AB、BC、CD 、DA
的中点，求证：四边形EFGH
是平行四边形




第 22 页 （共 112页）
=>a∥c

3 让学生观察、思考右图：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
0

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与
b'所成的锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只 由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O
一般取在两直线中的一条上；
?
2
， )； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例2（教材P47页例3）
（三）课堂练习
练习1、2
（四）课堂小结在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（2）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
课后记：


课题：空间直线与平面、平面与平面之间的
位置关系
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
第 23 页 （共 112页）

（2）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面
难点：用图形表达直线与平面
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学过程：
（一）复习引入：
1 空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：
ab,bc?ac
．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角
(或 直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法
a
b
b
a
a
b
A
1
A
D
1
B
1
D
B
C
1
C

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面
直线
推理模式：
A?
?
,B ?
?
,l?
?
,B?l?
AB
与
l
是异面 直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，
a
?< br>,b
?
所
成的角的大小与点
O
的选择无关，把
a?
,b
?
所成的锐角（或直角）叫异面直线
a,b
所成的角（或 夹
角）．为了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上
8．异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直
线
a,b
垂直，记作
a?b
．
（二）研探新知
第 24 页 （共 112页）

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
例1下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面?内，则L∥?
(2)若直线L与平面?平行，则L与平面?内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
（4）若直线L与平面?平行，则L与平面?内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
教学平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系.
② 讨论得出：相交、平行。
→定义：平行：没有公共点；
相交：有一条公共直线。

→符号表示：α∥β、 α∩β＝
b


→举实例：…

③ 画法：相交：……
平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交
探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？


B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？

C. 三个平面可以将空间分成多少部分？
D. 若
?

?
，
?

?
，则
?

?

三、巩固练习

1．选择题
（1）以下命题（其中
a
，
b
表示直线，?表示平面）
①若
a
∥
b
，
b
??，则
a
∥? ②若
a
∥?，
b
∥?，则
a
∥
b

③若
a
∥
b
，
b
∥?，则
a
∥? ④若
a
∥?，
b
??，则
a
∥
b

第 25 页 （共 112页）

其中正确命题的个数是 （ ）
（
A
）0个 （
B
）1个 （
C
）2个 （
D
）3个
（2）已知
a
∥?，
b
∥?，则直线
a
，
b
的位置关系
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（
A
）2个
定是（ ）



（
A
）平行 （
B
）相交 （
C
）平行或相交 （
D
）
AB
??
（4）已 知
m
，
n
为异面直线，
m
∥平面?，
n
∥ 平面?，?∩?=
l
，则
l
（ ）
（
A
）与
m
，
n
都相交 （
B
）与
m
，
n
中至少一条相交
（
C
）与
m
，
n
都不相交 （
D
）与
m
，
n
中一条相交
（
B
）3个 （
C
）4个 （
D
）5个
（3）如果平面?外有两点
A
、
B
，它们到平面?的距离都是
a，则直线
AB
和平面?的位置关系一
教材P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导
（四）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（五）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P51 习题2.1 A组第5题
课后记








课题：直线与平面平行的判定
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
第 26 页 （共 112页）

2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线 与桌面所在平面具有什么样的
位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1. 教学线面平行的判定定理：
① 探究:有平面
?
和平面外一条直线a,什么条件可以得到a
?
？
分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。
判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
a?
?
?
?
符号语言:
b?
?
?
?a
?

ab
?
?例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.





→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF平面BCD.
→ 分析思路 → 学生试板演







例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.
→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法
→ 变式训练：还可证哪些线面平行




练习：
Ⅰ、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ ）
直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （ ）
直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b． （ ）
Ⅱ 在长方体ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系（解略）

（三）自主学习、发展思维
练习：教材第56页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳小结整理
第 27 页 （共 112页）

1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？

课后记


课题：平面与平面平行的判定
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发 ，得出两平面平行的判
定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？一个平面内有
两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置关系？
② 将讨论的结论用符号语言表示：a
?
β，b
?
β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，则β∥α。
③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况.
④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
a?
?
,b?
?
,a
I
b?A
?
☆ 图形语言、文字语言、符号语言
?
?
?

?
；
a∥
?
，b∥
?
?
☆ 思想：线面平行→面面平行.






⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。
第 28 页 （共 112页）

⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。
分析结果→以后待证→结论好处 → 变问：垂直于同一条直线的两个平面呢？
⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这
两个平面是否平行？
B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是怎样的？
试证明你的结论。



2. 教学例题：
① 例1：在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
, 求证：平面
AB
1
D
1
∥平面
C
1
B D
.
分析：如何找线线平行→线面平行→面面平行？
师生共练，强调证明格式








变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路.
小结：证明思想.
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置
第62页习题2.2 A组第7题。

课题：直线与平面、平面与平面平行的性质
课 型：新授课
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
第 29 页 （共 112页）

3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
1. 教学线面平行的性质定理：
① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线和交
线的位置关系如何？
② 给出线面性质定理及符号语言：
l
?
,l?
?
,
?
I
?
?m?lm
．
③ 讨论性质定理的证明：
∵
l
?
，∴
l
和
?
没有公共点，
β
b
又∵
m?
?
，∴
l
和
m
没有公共点；
a
即
l
和
m
都在
?
内，且没有公共点， ∴
lm
．
④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那
c
α
么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一条平行于一个
平面，那么另一条与平面有何位置关系？
教学例题：
例1：已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,b
?
α，
求证：b∥平面α
分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？
b
→ 师生共练 → 小结：作辅助平面；
转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面
c
平行”
a
d

?
?
?
?

② 练习：一 条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。（改
写成数学符号语言→试证） 已知直线
a
∥平面
?
，直线
a
∥平面
?
，平面
?
I
平面
?
=
b
，求证
a
b
.




例2：有一块木料如图，已知棱
BC
平行于面
A′C′
．要经过木料表面
A′B′C′D
′ 内的一点P
和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？






第 30 页 （共 112页）

例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。







讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画线？
如何证明所画就是所求？
变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′
都有怎样的位 置关系．为什么？

教学面面平行性质定理：
① 讨论：两个平面平行，其中一个 平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的
直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平 行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？
② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
?
∥
?
?
③ 用符号语言表示性质定理：
?
I
?
＝a，
?
I
?
＝b
?
④ 讨论性质定理的证明思路.
教学例题：
例4已知平面
?
,
?,
?
满足
?

?
,
?
?
??a,
?
?
?
?b,求证：ab




D
?
A

C

?
B

例5：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交.
讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？
→ 如何作辅助平面？ → 师生共同完成




例6：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.





→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：
?

?
，
AB,CD
是夹在两个平行平面
?
,
?
间的平行线段，求证：
AB?CD
.
→ 分析：利用什么定理？（面面平行性质定理） 关键是如何得到第三个相交平面

② 练习： 若
?

?
，
?

?
，求证：
?

?
．
（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
在平面
?
内取两条相交直线
a,b
，
第 31 页 （共 112页）

分别过
a,b
作平面
?
,< br>?
，使它们分别与平面
?
交于两相交直线
a
?
,b< br>?
，
∵
?

?
，∴
aa
?
,bb
?
，
又∵
?

?
，同理在平面
?< br>内存在两相交直线
a
??
,b
??
，使得
a
?
a
??
,b
?
b
??
，
∴
aa
??
,bb
??
， ∴
?

?
.
三、巩固练习：
1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例.


2. 已知
l,m
是两条异面直线，
l
平面
?
，< br>l
平面
?
，
m
面
?
，
m
平 面
?
，求证：
?

?
．
*3. 设
P,Q
是单位正方体
AC
1
的面
AA
1
D
1D
、面
A
1
B
1
C
1
D
1< br>的中心，
如图：（1）证明：
PQ
平面
AA
1
B< br>1
B
； （2）求线段
PQ
的长。
4. 课堂作业：书P69 B组2、3题。
5. 如图，
b
∥
c
，求 证：
a
∥
b
∥
c

（试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演）
6. 设平面α、β、γ，α∩β＝
a
，β∩γ＝
b
，γ∩α＝
c
，且
a

b
. 求证：
a
∥
b
∥
c.

四. 小结：线面平行的性 质定理，转化思想；面面平行的性质定理及其它性质
（
?

?
,a?< br>?
?a
?
）；转化思想四、
五. 作业：P62 4、5、6题.
课后记：












课题：直线与平面垂直的判定
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
第 32 页 （共 112页）

（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与 平面垂直的现象，例如：
“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗 ？然后让学生回
忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上
的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助 长方体模型让
学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直 线
与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直
线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任 意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作
L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α 叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,
它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进 行说明。
L

p
α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判 定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有
比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），
问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A



第 33 页 （共 112页）

B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平 面），进行
合情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
例1：如图，已知
ab,a?
?
，求证：
b?
?

（分析：线面垂直
?
线线垂直
?
线面垂直）


例2在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，求直线
A'B
和平面
A'B'C'D'
所成的角.
（讨论
?
老师引导
?
学生版书）





巩固练习： 1. 平行四边形
ABCD
所在平面?外有一点< br>P
，且
PA
=
PB
=
PC
=
PD< br>，求证：点
P
与平行四边形对角线交点
O
的连线
PO
垂直于
AB
、
AD

是圆周上的任意，过点A作
2. 如图 ，已知AP
?eO
所在平面，AB为
eO
的直径，C
AE?PC于点E. 求证：
AE?
平面PBC.
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基 本过程。②直线与平面垂直的判定定理，体
现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P69练习
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题 ：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结
论对吗？为什么？
课后记：

课题：直线和平面垂直（2）

一、教学目标：1．进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；
第 34 页 （共 112页）

2．熟练应用定理解决有关问题．
二、教学重、难点：定理应用．
三、教学过程：
（一）复习：1．直线与平面垂直的定义；
2．直线与平面垂直的判定定理；
3． 练习：平行四边形
ABCD
所在平面
?
外有一点
P
，且PA?PB?PC?PD
，求证：
点
P
和平行四边形对角线交点
O
的连线
PO
垂直于
BC
和
AB
．
（二）新课讲解：
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条．
已知：平面
?
和一点
P

求证：过点
P
与
?
垂直的直线只有一条．




?
P
A
B
B
a
?
?
P
a
?
A

证明：不论
P
在平面
?
内或外，设直线
PA?
?
，垂足为
A
（或
P）若另一直线
PB?
?
，设
PA,PB
确定的平面为
?
，且
?
I
?
?a

∴
PA?a,PB?a

又∵
PA,PB
在平面
?
内，与平面几何中的定理矛盾
所以过点
P
与
?
垂直的直线只有一条。
例2．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（线面垂直的性质定理）
已知：如图，
a?
?
,b?
?
求证：
ab

a
证明：（反证法）假定
b
不平行于
a
，则
b
与
a
相交或异面；
b'
（1）若
a
与
b
相交，设
aIb?A
，
b
∵
a?
?
,b?
?

∴过点
A
有两条直线与平面
?
垂直，
?
O
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，
∴
a
与
b
不相交；
（2）若
a
与
b
异面，设
bI
?
?O
，过
O
作
b?
a
，
∵
a?
?
∴
b
?
?
?
又∵
b?
?
且
bIb
?
?O
，
∴过点< br>O
有直线
b
?
和
b
垂直于
?
与过一 点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
∴
b
与
a
不异面，综上假设不成立，
∴
ab
．
说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中．
例3．已知直线
l?
平面
?
，垂足为
A
，直线
A P?l
，求证：
AP
在平面
?
内．
证明：设
AP
与
l
确定的平面为
?
，
?
如果
AP
不在
?
内，则可设
?
I
?
?AM
，
∵
l?
?
，∴
l?AM
，又∵
AP?l
，
于是在平面
?
内过点
A
有两条直线垂直于
l
， < br>l
P
M
这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
A

?
所以
AP
一定在平面
?
内．
第 35 页 （共 112页）

点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间线段的长，叫做点到平面的距离。
四、课堂小结：直线与平面垂直的判定定理和性质定理．
五、作业：补充：如图，
A B
是圆
O
的直径，
C
是圆周上的一点，
PA
垂直于
eO
所在的平面，
AF?PC
，求证：
FA?
平面
PBC
．

P73 5、6
P

课后记










课题：平面与平面垂直的判定
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角 ”、“两个平面互相垂
直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围 ，从中激发学生
积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
第 36 页 （共 112页）
F

A

C

O

B

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直 线和平面所成的角”又是怎样定义的？
它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言，教 师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题
要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能 举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人
造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我 们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面 ，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问
题类比，归纳出二面角的概念及记 法表示（如下表所示）

角
A
图形 边
顶点 O 边 B
从平面内一点出发的两条射
定义
线（半直线）所组成的图形
构成
表示
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说 “把门开大一些”，是指二面角
大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个 小实验（预先准备好
的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2. 3-3），通过
实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；
（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
射线 — 点（顶点）一 射线
∠AOB
所组成的图形
半平面 一 线（棱）一 半平面
二面角α-l-β或α-AB-β
二面角
A
梭 l β
B
α
从空间一直线出发的两个半平面
第 37 页 （共 112页）

（三）应用举例，强化所学
例1：如图，
AB
是
eO的直径，
PA
垂直于
eO
所在的平面，
C
是圆周上不同 于
A,B
的任意一点，
求证：平面
PAC?平面PBC
.
（讨论
?
师生共析
?
学生试写证明步骤
?
归纳：线线垂直< br>?
线面垂直
?
面面垂直）






练习：教材P69页探究题



例2：已 知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所
在二面角的大小. (分析
?
学生自练)


练习：如图，已知三棱锥
D?A BC
的三个侧面与底面全等，且
AB?AC?3,BC?2
，求以
BC
为棱，以面
BCD
与面
BCA
为面的二面角的大小？

（四）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

（五）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们 所成的角与二两角的平面
角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么
∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

课后记：








第 38 页 （共 112页）

课题：直线与平面垂直、平面与平面
垂直的性质
课 型：新授课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证 明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推
理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）、复习准备：
1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.
2.练习：对于直线
m ,n
和平面
?
,
?
，能得出
?
?
?
的一个条件是（ ）①
m?n,m
?
,n
?
②
m?n,< br>?
?
?
?m,n?
?
③
mn,n?
?
,m?
?
④
mn,m?
?
,n?
?
.
3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具
有什么 位置关系？
第 39 页 （共 112页）

（二）、讲授新课：
1. 教学直线与平面垂直的性质定理：
①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直
?
线线平行）
② 练习：
a,b,c
表示直线，
M
表示平面，则
ab
的充分条 件是（ ）A、
a?c且b?c

B、
aM且bM
C、
a?M且b?M
D、
a,b与c
所在的角相等
例1：设直 线
a,b
分别在正方体
ABCD?A'B'C'D'
中两个不同的平面内，欲 使
ab
，
a,b
应满足什
么条件？（分组讨论
?
师 生共析
?
总结归纳）







（判定两条直线平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、中 位
线定理、平行四边形等等）
2.教学平面与平面垂直的性质定理：
①定理：两个 平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直
?
线面
垂直 ）
探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条.
②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（ ）
A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面
D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
例2、如图，已知 平面
?
,
?
,
?
?
?
，直线
a< br>满足
a?
?
,a?
?
，试判断直线
a
与平面
?
的位置关系.






④练习：如图，已知平面
?
?
平面
?
，平面
?
?
平面
?
，
?
?
?
?a
，求证：
a ?
?
.







.






(三)、巩固练习：
1、下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线 和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂
第 40 页 （共 112页）

直C、若
a,b
异面，过
a
一定可作一个 平面与
b
垂直D、
a,b
异面，过不在
a,b
上的点
M
，一定可
以作一个平面和
a,b
都垂直.
2、如图，
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?平面PAB,M是PC
的中点，
N是AB
上的点，
AN?3NB.
求证：
MN?A B.

3、教材P71、72页
（四）巩固深化、发展思维
思考1 、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α
具有什么位置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什
么位置关系？
五、归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
六、作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
课后记：













课题：三垂线定理（1）
课 型：新授课
一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问
题。
三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系．
四、教学过程：
（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：
A
B
B
B
A
A


A
B


A
A
0
A
0
A
0
A
(A
0
)
B
0
A
0
B
0
B
0
A
0
(B
0
)
A
0
第
A
41 页 （共 112页）
B
B
0

（二）新课讲解：
1．射影的有关概念：
（1）点的射影：自一点
P
向平面
?
引垂线，垂足
P
?
叫做
P
在平 面
?
内的正射影（简称射影）。
（2）图形的射影：如果图形
F上所有点在一个平面内的射影构成图形
F
?
，则
F
?
叫 做
F
在
这个平面内的射影．
2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线；
（2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．
由此，斜线段
AB
在平面内的射影仍为线段，
即为线段
A
0
B
．


3．三垂线定理：
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直。
已知：
PO,PA
分别是平面
?
的垂线和斜线，
OA
是
PA
在平面
?
内的射影，< br>a?
?
，且
a?OA

求证：
a?PA
；
P
证明：∵
PO?
?
∴
PO?a
，又∵
a?OA,POIOA?O

∴
a?
平面
POA
， ∴
a?PA
．

O
A
a
A
?
A
0
B
?
说明：（1 ）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
PO?
?
,O ?
?
?
?
（2）推理模式：
PA
I
?
?A
?
?a?PA
．
a?
?
,a?OA
?
?
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（证明
略）
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PA
I
?
?A
?
?a?AO
．
a?
?
,a?AP
?
?
练习：
Rt?ABC< br>在平面
?
内，
?C?90
o
,PC?
?
,C D?AB
于点
D
，请指出图形中的直角三角形。
?
Rt?ABC, Rt?ADC,Rt?BDC
?
??
Rt?PDA,Rt?PDB
??

?
Rt?PCA,Rt?PCB,Rt?PCD
?
??
?
A
P
C
D
B
第 42 页 （共 112页）

三．例题分析：
例1．已知：点
O
是
?ABC
的垂心，
PO?平面ABC
，垂足为
O
，
求证：
PA?BC
．
证明：∵点
O
是
?ABC
的垂心，
∴
AD?BC

又∵
PO?平面ABC
，垂足为
O
，
PAI平面ABC?A

所以，由三垂线定理知，
PA?BC
．


B
A
O
D
C
P
例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角
的角平分线上．
已知：
?BAC
在平面
?
内，点
P?
?
, PE?AB,PF?AC,PO?
?
，垂足分别为
E,F,O,PE?PF
，
求证：
?BAO??CAO
．
证明：∵
PE?AB,PF?AC,PO?
?
，
∴
AB?OE,AC?OF
（三垂线定理逆定理）
?
∵
P E?PF,PA?PA
，∴
Rt?PAE?Rt?AOF
，
A
F< br>P
E
O
C
B
∴
AE?AF
，又∵
A O?AO
， ∴
Rt?AOE?Rt?AOF

∴
?BAO??CAO
．
例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔< br>AB
，高
15m
，只有量角器和
尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点
C
，使< br>BC
与道路边所成的水平角等于
90
o
，
再在道路边取一点
D
，使水平角
?CDB?45
o
，
测得
C,D
的距离等于
20m
，
∵
BC
是
AC
在平面上的射影，且
CD?BC
∴
CD?AC
（三垂线定理）
因此斜线段
AC
的长度就是塔顶与道路的距离，
∵
?CDB?45
o
,CD?BC,CD?20m
，∴
BC?20m
，
在< br>Rt?ABC
中得
|AC|?AB
2
?BC
2
?15
2
?20
2
?25(m)
，
答：电塔顶与道路距离是
25m
．
四、课堂小结：
1．射影和斜线的有关概念；
2．三垂线定理及其逆定理．



五、作业：
1．在正方体
AC
1
中，求证：正方体的对角线A
1
C
垂直于平面
AB
1
D
1
． < br>P
2．如图，
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，点
M,N
分别是
AB,PC
的中点，
N
求证：
AB?MN
．
A
D

M
第 43 页 （共 112页）
B
C

3．已知：如图若直角
?ABC
的一边
BC
平 面
?
，另一边
AB
和平面
?
斜交于点
A
， 求证：
?ABC
在平面
?
上的射影仍为直角。






课后记：
















课题：三垂线定理（2）
课 型：新授课
一、课题：三垂线定理（2）
二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；
2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．
三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．三垂线定理及其逆定理的内容；
A
1
D
1
B
1
C
1
D
C
2．练习：
A
B
已知：在正 方体
AC
1
中，求证：（1）
BD
1
?AC
（2）
BD
1
?B
1
C
．
11
；
（二）新课讲解：
例1．点
A
为
?BCD
所在平面外的一点，点
O
为点
A
在平面
BCD
内的 射影，若
AC?BD,AD?BC
，
求证：
AB?CD
．
证明：连结
OB,OC,OD
，
第 44 页 （共 112
B
页）
O
C
A
D

∵
AO?
平面
BCD
，且
AC?BD

∴
BD?OC
（三垂线定理逆定理）
同理
OD?BC
，∴
O
为
?ABC
的垂心，
∴
OB?CD
， 又∵
AO?
平面
BCD
，
∴
AB?CD
（三垂线定理）
【练习】：
?BCD
所在平 面外的一点
A
在平面
BCD
内的射影
O
为
?BCD
的垂心，
求证：点
B
在
?ACD
内的射影
P是
?ACD
的垂心．
例2．已知：四面体
S?ABC
中，SA?平面ABC,?ABC
是锐角三角形，
H
是点
A
在面SBC
上的
射影，求证：
H
不可能是
?SBC
的垂心．
证明：假 设
H
是
?SBC
的垂心，连结
BH
，则
BH?SC
，
∵
BH?
平面
SBC

∴
BH
是
AB
在平面
SBC
内的射影，
A
∴
SC?AB
（三垂线定理）
又∵
SA?
平面
ABC
，
AC
是
SC
在平面
ABC
内的射 影
S
H
C
B
∴
AB?AC
（三垂线定理的逆定理）
∴
?ABC
是直角三角形，此与“
?ABC
是锐角三角形”矛盾
∴假设不成立，所以，
H
不可能是
?SBC
的垂心．
例3 ．已知：如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
CC
1
的中点，
F
是
AC,BD
的交点，求证：
A
1
F?
平面
BE D
．
证明：
AA
1
?
平面
ABCD
，< br>AF
是
A
1
F
在面
ABCD
上的射影
D
1

又∵
AC?BD
，∴
A
1
F?BD

A< br>1
取
BC
中点
G
，连结
FG,B
1
G
，
∵
A
1
B
1
?
平面
BCC
1
B
1
,FG?
平面
BCC
1
B
1
，
∴
B,G
为
A
1
F
在面
B CC
1
B
1
上的射影，
A
D
F
C
1
B
1
E
C
G
B
又∵正方形
BCC1
B
1
中，
E,G
分别为
CC
1
,B C
的中点，∴
BE?B
1
G
，
∴
A
1< br>F?BE
（三垂线定理）又∵
EBIBD?B
，∴
A
1
F?
平面
BED
．
五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．
六、作业：
1．已知
P
是
?ABC
所在平面外一点，< br>PA,PB,PC
两两垂直，
H
是
?ABC
的垂心，
求证：
PH?
平面
ABC
．
2．已知
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA,PB,PC
两两垂直，
B求证：
P
在平面
ABC
内的射影
O
是
?ABC
的垂心．
3．如图，
?ABC
是正三角形，
F
是
BC
的中点，
F
A
C
DF?
平面
ABC
，四边形
ACDE
是菱形，
求证：
AD?BE
．
D

E
?
平面
BPC
，4．如图，过直角三角形< br>BPC
的直角顶点
P
作线段
PA
求证：
P
在 平面
ABC
内的射影
H
是
?ABC
的垂心．





第 45 页 （共 112页）
P
B
H
C
A

课后记：




本章复习（一）
课 型：复习课
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法 < br>利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，
易于识 记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间 点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养
学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图






直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）


（二）整合知识，发展思维
的基础。
平面与平面的位置关系
1、刻画平 面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理
公理1——判定直线是否 在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
第 46 页 （共 112页）

公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：




直线与直线垂直

直线与平面垂直 平面与平面垂直
直线与直线平行
直线与平面平行 平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.73 A组第1题



2、P.74 A组第6、8题

（四）、课堂练习：
1．选择题
（1）如图
BC
是
R
t⊿
ABC
的斜边，过A
作⊿
ABC
所
P
A
B
D
在平面?垂 线
AP
，连
PB
、
角形的个数是
C
PC
，过
A
作
AD
⊥
BC
于
D
，连
PD
，那么图中直角三
（ ）
（
B
）6个 （
C
）7个 （
D
）8个 （
A
）4个
?

（2）直线
a
与平面?斜交，则在平面?内与直线
a
垂直的直线（ ）
（
A
）没有 （
B
）有一条 （
C
）有无数条
答案：（1）D (2) C

2．填空题
（1）边长为
a
的正六边形
ABCDEF
在平面?内，
PA
⊥?，
PA
=
a
，则
P
到
CD
的 距离为 ，
P
到
（
D
）?内所有直线
BC
的距离为 .
（2）
AC
是平面?的斜线， 且
AO
=
a
，
AO
与?成60?角，
OC
??，
AA
＇⊥?于
A
＇，∠
A
＇
OC
=45?，
则
A
到直线
OC
的距离是 ，
∠
AOC
的余弦值是 .
7142
a
; （2）
a,
答案：（1）
2a,

244
?
A
O
A′
C
3．在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：
A
1
C
⊥平面
BC
1
D
.
分析：
A
1
C
在上底面
ABCD
的射影AC⊥BD,
D
1
A
1
B
1
A
1
C
在右侧面的射影
D
1
C⊥
C
1
D,
所以
A
1
C
⊥BD,
A
1
C
⊥
C
1
D,从而有
A
1
C
⊥平面


C
1
BC
1
D
.
C
D
A
B
第 47 页 （共 112页）

课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.76 B组第2题。


课后记：











本章复习（二）
课 型：复习课
一、复习目标：
1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．
2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．
3．掌握直线与平面垂 直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关
的问题；
4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。
二、例题分析：



例1．正方体
ABCD
—
A
1B
1
C
1
D
1
中．
(1)求证：平面
A
1
BD
∥平面
B
1
D
1
C
；
(2)若
E
、
F
分别是
AA
1
，
CC
1
的中点，求证：平面
EB
1
D
1
∥平面FBD
．
证明：(1)由
B
1
B
∥
DD1
，得四边形
BB
1
D
1
D
是平行四边形，







∴
B
1
D
1
∥
BD
，
又
BD
?平面
B
1
D
1
C
，< br>B
1
D
1
?
平面
B
1
D
1
C
，
∴
BD
∥平面
B
1
D
1
C
．
E
A
1
D
1
B
1
F
D
A

G
B
C
C
1
同理
A
1
D
∥平面
B
1
D
1
C
．
而
A
1
D
∩
BD
＝
D
，
∴平面
A
1
BD
∥平面
B
1
CD
． < br>(2)由
BD
∥
B
1
D
1
，得
BD
∥平面
EB
1
D
1
．取
BB
1
中 点
G
，∴
AE
∥
B
1
G
．
第 48 页 （共 112页）

从而得
B
1
E
∥
AG
，同理
GF
∥
AD
．∴
AG
∥
DF
．
∴
B
1
E
∥
DF
．∴
DF
∥平面
EB
1
D1
．
∴平面
EB
1
D
1
∥平面
FBD
．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故
问题最终转化为证线与线的平行．
小结：
例2．如图，已知
M
、
N
、
P
、
Q
分别是空间四边形
ABCD
的边
AB
、
BC
、
CD
、
DA
的中点．
求 证：(1)线段
MP
和
NQ
相交且互相平分；(2)AC∥平面
MN P
，
BD
∥平面
MNP
．
证明：(1) ∵
M< br>、
N
是
AB
、
BC
的中点，∴
MN
∥
AC
，
MN
＝
AC
．
1
∵
P
、
Q
是
CD
、
DA
的中点，∴
PQ∥
CA
，
PQ
＝
CA
．
2
A
M
B
N
C


Q
D
1
2
∴
MN
∥
QP
，
MN
＝
QP
，
MNPQ
是平行四边形．
∴
□MNPQ
的对角线
MP
、
NQ
相交且互相平分．
(2)由(1)，
AC
∥
MN
．记平面
MNP
(即平面
MNPQ
)为α．显然
AC
?α．







否则，若
AC
?α，
由
A
∈α，
M
∈α，得
B
∈α；
由A
∈α，
Q
∈α，得
D
∈α，则
A
、
B
、
C
、
D
∈α，
与已知四边形
ABCD
是空间四边形矛盾．
又∵
MN
?α，∴
AC
∥α，
又
AC
?α，∴
AC
∥α，即
AC
∥平面
MNP
．
同理可证
BD
∥平面
MNP
．

2
AC
，
2
例3．四面体
ABCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且
EF?


?BDC?90
o
，求证：
BD?
平面
ACD


1
AC
证明：取
CD
的中点
G
，连结< br>EG,FG
，∵
E,F
分别为
AD,BC
的中点，∴
EG
?
2

1
BD
，又
AC?BD,
∴FG?
1
AC
，∴在
?EFG
中，
FG
?
22
1

EG
2
?FG
2
?AC
2
?EF
2

2
∴
EG?FG< br>，∴
BD?AC
，又
?BDC?90
o
，即
BD?C D
，
ACICD?C

∴
BD?
平面
ACD

例2．如图
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?
平面
PAB
，
M
是
PC
的中点，
N
是
AB
上
的点，< br>AN?3NB

第 49 页 （共 112页）

（1）求证：
MN?AB
；（2）当
?APB?90
o
，
A B?2BC?4
时，求
MN
的长。
（1）证明：取
PA
的 中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M
是
PC
的 中点，
P

∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB

M

∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
C
D
，连结
PD
，∵
APA?PB,
∴
PD?AB
，又
AN?3NB
，∴
BN ?ND

N
B

∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

1
（2）∵
?APB?90
o
，
PA?PB,
∴
PD?AB?2
，∴
QN?1
，∵
MQ?
平面
PA B
.∴
MQ?NQ
，
2
1
且
MQ?BC?1
，∴
MN?2

2
课后作业：
1．在长方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中，经过其对角线BD
1
的平面分别与棱
AA
1
、
CC
1
相交于
E,F
两点，
则四边形
EBFD
1
的形状为 ．（平行四边形）
2．如图，
A
，
B
，
C
，D
四点都在平面?，?外，它们在?内的射影
A
1
，
B
1
，
C
1
，
D
1
是平行四边形的
四个顶点 ，在?内的射影
A
2
，
B
2
，
C
2
，
D
2
在一条直线上，求证：
ABCD
是平行四边形．







证明：∵
A< br>，
B
，
C
，
D
四点在?内的射影
A
2
，
B
2
，
C
2
，
D
2


在一条直线上，
∴
A
，
B
，
C
，
D
四点共面．








B

C

B
1


D

A






又
A
，
B
，
C
，
D
四点在?内的射影
A
1
，
B
1
，
C
1
，
D
1
是平行四边形的四个顶点， < br>∴平面
ABB
1
A
1
∥平面
CDD
1
C
1
．
∴
AB
，
CD
是平面
ABCD
与平面
ABB
1
A
1
，平面
CDD
1C
1
的交线．
∴
AB
∥
CD
，同理
AD
∥
BC
．∴四边形
ABCD
是平行四边形．
3．已知直线
a
、b和平面M、N，且
a?M
，那么（ ）
（A）
b
∥M
?
b⊥
a
（B）b⊥
a
?
b∥M
（C）N⊥M
?
a
∥N （D）
a?N?M?N?
?

4．如图，
PA?
矩形ABCD
所在的平面，
M,N
分别是
AB,PC
的中点，
（1）求证：
MN
平面
PAD
；
（2）求证：
MN?CD

（3）若
?PDA?








?
4
，求证：
MN?
平面
PCD

P
A
M
B
N
D
C
第 50 页 （共 112页）

5．如图，已知
SA,SB,SC
是由一点
S
引出的不共面的三条射线，
?ASC??ASB?45
0
,?BSC?60
o
,
?SAB?90
o
，求证：
AB?S C


S



A

BC






课后记：










课题：直线的倾斜角和斜率(1)
课 型：新授课
教学目标:
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
1. 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能
力，运用数学 语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理 解数形结合思想，培养学生树立
辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
1.直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定
吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系
第 51 页 （共 112页）

呢?
Y
a
b
c
OP
X

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫
做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
．．．
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程
度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的
倾斜程度.
直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一
条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α.
．．．
P
．．．．．．．．
2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α (α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,
也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
3.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y 1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率
公式的推导.(略) 斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与
分母不能交换;
第 52 页 （共 112页）

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与
x
轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
4．例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是
钝角还是锐角.
略解: 直线AB的斜率k1=17>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的
斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边,
在x 轴的上方作
45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有
1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可
作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
5．练习: P86 1. 2. 3. 4.
课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 直线的斜率公式.
课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4
课后记:
课题：直线的倾斜角和斜率(2)
课 型：习题课
教学目标：
1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义

2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

4.培养学生分析探究和解决问题的能力.
教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用
教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用
教学过程
1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？
2) 斜率的计算公式是什么？
2.巩固练习：
1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：
(1)
?
＝0°；（2）
?
＝60°；(3)
?
＝90°；（４）150°
2).直线
l
经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是
3).过点
P
(－2,
m
)和
Q
(
m,4)的直线的斜率等于1，则
m
的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4).已知
A< br>(2，3)、
B
(－1，4)，则直线
AB
的斜率是 .
5).已知
M
(
a,b
)、
N
(
a, c
)(
b≠c
),则直线
MN
的倾斜角是 .
6).已知
O
(0，0)、
P
(
a,b
)(< br>a
≠0)，直线
OP
的斜率是 .
王新敞
王新敞
王新敞
第 53 页 （共 112页）

7).已知
P
1
(x
1
,y1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，当x
1
?x
2
时，直线
P
1
P
2
的斜率
k
= ；当
x
1
?x
2
且
y
1
?y
2
时，
直线
P
1
P
2
的斜率为
3．例题分析：
1
例1.若三点
A(2,3)
，
B(3,?2)
，
C(,m)
共线，求m
的值
2
?2?3m?321
解：
k
AB
? k
AC
?

??m?
1
3?22
?2
2< br>说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础
例2．如果直 线
l
经过
A
(－1,2m)、
B
(2，
m
2
)二点，求直线
l
的斜率K的取值范围。


例3．若 直线
l
的斜率为函数
f(a)?a
2
?4a?3(a?R)的最小值 ，判定直线的倾斜角是锐角还是钝角？





例4.已 知两点
A
(－3,4)、
B
(3，2)，过点
P
(2，－1 )的直线
l
与线段
AB
有公共点.求直线
l
的斜
率
k
的取值范围.(
k
≤－1或
k
≥3)







4．提高练习
1.若直线
l
过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线
l
的斜率为 ,倾斜角为
2.已知直线
l
1
的倾斜角为
?
1
，则
l
1
关于
x
轴对称的直线
l
2< br>的倾斜角
?
2
为
________
.
1
3 已知两点
A
(
x
,－2),
B
(3,0),并且直线
AB
的斜率为，则
x
=
2
4斜率为2的直线经过(3，5 )、(
a
,7)、(－1,
b
)三点，则
a、b
的值是( )
A.
a
=4,
b
=0 B.
a
=－4,
b
=－3 C.
a
=4,
b
=－3 D.
a
=－4,
b
=3
5已知两点
M
(2，－3 )、
N
(－3，－2)，直线
l
过点
P
(1，1)且与线段
MN
相交，则直线
l
的斜率
k
的取值范围是( )

3333
A.
k
≥或
k
≤－4 B.－4≤
k
≤ C. ≤
k
≤4 D.－≤
k
≤4
4444
归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用.
作业布置：完成全优设置相关练习.
课后记:

王新敞
王新敞





课题：两条直线的平行与垂直
课 型：新授课
第 54 页 （共 112页）

教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系
问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这
个问题．
教学过程：
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表
示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过
两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角
都为90° ，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一
条直线的倾斜角 为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方
向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题
是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形 ．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：
α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．


反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵两条直线不重合，
∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且 不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们
的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论 并
．．．．．．．．
不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的 交
点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
第 55 页 （共 112页）

，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们
．．．．．．．．
的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.


例题分析：
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明
你的结论.
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形
ABCD的形状,并给出证明.





例3．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)(3-(-6))=23,
直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-32,
因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例4.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通
过计算加以验证.(图略)






课堂练习
P89 练习 1. 2.
归纳小结：
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；
(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
第 56 页 （共 112页）

(3)应用直线平行的条件, 判定三点共线.
作业布置：P89-90 习题3.1：A组 5. 8；
课后记:


课题：直线的点斜式、斜截式方程
课 型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2、过程与方法
在已知直角坐标 系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础
上，通过师生探讨，得出直线的点 斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体 会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，
渗透数学中普遍存在相互联系 、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
教学过程：
问 题 设计意图 师生活动
1、在直线坐标系内确定一条使学生在已有学生回顾，并回答。
直线，应知道哪些条件？ 知识和经验的基然后教师指出，直线的
础上，探索新知。 方程，就是直线上任意
一点的坐标
(x,y)
满足
的关系式。
学生 根据斜率公式，
2、直线
l
经过点
P
0
(x
0,y
0
)
，
培养学生自主
当
x?x
0
时，
且斜率为
k
。设点
P(x,y)
是
探索的能力，并可以得到，
y?y
0
直线
l
上的任意一点，请建
体会直 线的方
，即
程，就是直线上
k?
立
x,y
与
k, x
0
,y
0
之间的关
x?x
0
任意一点的坐标系。
(x,y)
满足的关
y?y
0
?k(x?x
0< br>)

y
系式，从而掌握
（1）
P
根据条件求直线
教师对基础薄弱的学
P
0
方程的方法。
生给予关注、引导，使
每个学生都能推导出这
个方程。
O
x
学生验证，教师引导。

3、（1）过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，斜
使学生了解方
率是
k
的直线
l
上的点，其坐
程为直线方程必
须满两个条件 。
标都满足方程（1）吗？
问 题 设计意图 师生活动
（2）坐标满足方程（1）的 使学生了解方学生验证，教师引导。
点都在经过
P< br>0
(x
0
,y
0
)
，斜率
程为直线方程必然 后教师指出方程（1）
须满两个条件。 由直线上一定点及其斜
为
k
的直线
l
上吗？
第 57 页 （共 112页）

率确定，所以叫做直线
的点斜式方程，简称点
斜式（point slope
form）.
4、直线的点斜式方程能否表使学生理解直线 学生分组互相讨论，
示坐标平面上的所有直线的点斜式方程的然后说明理由。
呢？ 适用范围。
5、（1）
x
轴所在直线的方程 进一步使学生 教师学生引导通过画
是什么？
y
轴所在直线的方理解直线的点斜图分析，求得问题的解
式方程的适 用范决。
程是什么？
y
（2）经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且平
围，掌握特殊直
行于
x
轴（即垂直于
y
轴）
线方程的表示形
P
0
式。
的直线方程是什么？
（3）经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且平
行于
y
轴（即垂直于
x
轴）
的直线方程是什么？
O

x
y

P

0

O

x

6、例1的教学。(教材93
页)
学会运用点斜式
方 程解决问题，
清楚用点斜式公
式求直线方程必
须具备的两个条
件：（1）一个 定
点；（2）有斜率。
同时掌握已知直
线方程画直线的
方法。
7、已知直线
l
的斜率为
k
， 引入斜截式方
且与
y
轴的交点为
(0,b)
，求程，让学生懂得
斜截式方程源于
直线
l
的方程。
点斜式方程，是
点斜式方程的一
种特殊情形。
教师引导学生分析
要用点斜式求直线方程
应已知那些条件？题目
那些条件已经直接给
予，那些条件还有待已
去求。在坐标平面内，
要画一条直线可以怎样
去画。
学生独立求出直线
l
的方程：
y?kx?b
（2）
再此基础上，教师给
出截距的概念，引导学
生分析方程（2）由哪两
个 条件确定，让学生理
解斜截式方程概念的内
涵。
深入理解和 学生讨论，教师及时
8、观察方程
y?kx?b
，
掌握斜截式方程给予评价。
它的形式具有什么特点？
的特点？
问 题 设计意图 师生活动
第 58 页 （共 112页）

9、直线
y?kx?b
在
x
轴上
的截距是什么？
10、你如何从直线方程的角
度认识一次函数
y?kx?b
？一次函数中
k< br>和
b
的几何意义是什么？你
能说出一次函数
图象的特点吗？
11、例2的教学。(教材94
页)
使学生理解
“截距”与“距
离”两个概念的
区别。
体会直线的斜
截式方程与一次
函数的关系.

学生思考回答，教师评
价。
学生思考、讨论，教师
评价、归纳概括。
y?2x?1,y?3x,y??x?3
掌握从直线方
程的角度判断两
条 直线相互平
行，或相互垂直；
进一步理解斜截
式方程中
k,b
的几何意义。
教师引导学生分析：
用斜率判断两条直线平
行、垂直结论。思考 （1）
l
1
l
2
时，
k
1
,k
2
;b
1
,b
2
有何关系？（2）
l
1
? l
2
时，
k
1
,k
2
;b
1
,b
2
有何关
系？在此由学生得出结
论：
l
1
l2
?k
1
?k
2
,
且
b
1
? b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k< br>2
??1

12、课堂练习第95页练习第巩固本节课所学学生独立完成，教师检
1，2，3，4题。 过的知识。 查反馈。
13、小结 使学生对本节课
所学的知识有一
个整体性的认
识，了解知识的
来龙去脉。 < br>教师引导学生概括：（1）
本节课我们学过那些知
识点；（2）直线方程的
点斜 式、斜截式的形式
特点和适用范围是什
么？（3）求一条直线的
方程，要知道多少个条
件？
学生课后独立完成。 14、布置作业：第106页第巩固深化
1题的（1）、（2）、（3）和第
3、5题



例3 ．如果直线
l
沿
x
轴负方向平移3个单位，再沿
y
轴正方向 平移1个单位后，又回到原来的
位置，求直线
l
的斜率.( －)






1
3
第 59 页 （共 112页）

归纳小结：（1）本节课我们学过那些知识点； （2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适
用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少 个条件？
作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题
课后记:















课题：直线的两点式和截距式方程
课 型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生 在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获
得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解
教学过程：
问 题 设计意图 师生活动
1、利用点斜式解答如遵循由浅 教师引导学生：根据已有的知识，
第 60 页 （共 112页）

下问题：
（1）已知直线
l
经过< br>两点
P
1
(1,2),P
2
(3,5)
,求
直线
l
的方程.
（2）已知两点
P
1
(x
1,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2)
，
求通过这两点的直线
方程。
及深，由特
殊到一般
的认知规
律。使学生
在已有的
知识基础
上获得新
结论，达到
温故知新
的目的。
要求直线方程，应知道什么条件？能
不能把问题转化为已经解决的 问题
呢？在此基础上，学生根据已知两点
的坐标，先判断是否存在斜率，然后
求出直线 的斜率，从而可求出直线方
程：
3
(x?1)

2
y?y
1
（2）
y?y
1
?
2
(x?x
1
)

x
2
?x
1
教师指出：当
y
1?y
2
时，方程可以
（1）
y?2?
写成
y?y1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)

y
2
?y
1
x
2
?x
1
由于这个直线方程由两点确定，所以
我们把它叫直线的两点式方程， 简称
两点式（two-point form）.
教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当
x
1
?x
2
时，直线与
x
轴
垂直，所以直线方程为：
x?x
1
；当
2、若点
P
1(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y< br>2
)
中有
x
1
?x
2
，或
y
1
?y
2
，此时这两点
的直线方程是什么？
问 题
3、例3 教学
已知直线
l
与
x
轴
的交点为 A
(a,0)
，与
y
轴的交点为
B
(0,b)
，其 中
a?0,b?0
，求直线
l
的方程。
4、例4教学
已知三角形的三
个顶点A（-5，0），B
（3，-3），C（0，2），
求BC边所 在直线的
方程，以及该边上中
线所在直线的方程。
5、课堂练习
第97页第1、2、3
题。
使学生懂
得两点式
的适用范
围和当已< br>知的两点
不满足两
点式的条
件时它的
方程形式。
设计意图
使学生学
会用两点
式求直线
方程；理解
截距式源
于两点式，
是两点式
的特殊情
形。
让学生学
会根据题
目中所给的条件，选
择恰当的
直线方程
解决问题。

y
1?y
2
时，直线与
y
轴垂直，直线
方程为：
y?y1
。
师生活动
教师引导学生分析题目中所给的条
件有什么特点？可以 用多少方法来
求直线
l
的方程？那种方法更为简
捷？然后由求出直线方程：
xy
??1

ab
教师指出：
a,b
的几何意义和截距
式方程的概念。
教师给出中点坐 标公式，学生根
据自己的理解，选择恰当方法求出边
BC所在的直线方程和该边上中线所
在直线方程。在此基础上，学生交流
各自的作法，并进行比较。
学生独立完成，教师检查、反馈。
第 61 页 （共 112页）

6、小结
7、布置作业
增强学生
对直线方种四种形
式（点斜
式、斜截
式、两点
式、截距
式）互相之
间的联系
的理解。
巩固深化，
培养学生
的独立解
决问题的
能力。
教师提出： （1）到目前为止，我们所
学过的直线方程的表达形式有多少
种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知
道多少个条件？

学生课后完成
归纳小结：
1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题
课后记:





课题：直线的一般式方程
课 型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用
教学过程：
问 题 设计意图 师生活动
1、（1）平面直角坐标使学生理解直 教师引导学生用分类讨论
系中的每一条直线都线和二 元一次的方法思考探究问题（1），即
可以用一个关于
x,y
方程的关系。 直线存在 斜率和直线不存在
斜率时求出的直线方程是否
的二元一次方程表示
都为二元一次方程。 对于问题
吗？
（2），教师引导学生理解要判
（2）每一个关于
x,y断某一个方程是否表示一条
的二元一次方程
直线，只需看这个方程是否可
Ax?B y?C?0
（A，
以转化为直线方程的某种形
B不同时为0）都表示
第 62 页 （共 112页）

一条直线吗？ 式。为此要对B分类讨论，即
当
B?0
时和当B=0时两种情
形进行变形。然后由学生去变
形判断，得出 结论：
关于
x,y
的二元一次方程，
它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一
条直线都可以用一个关于
同
x,y
的二元一次方程 表示；
时，任何一个关于
x,y
的二元
一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于
x,y
的
二元一次方程
Ax?By?C?0
（A，B 不同
时为0）叫做直线的一般式方
程，简称一般式（general
form）.
2、直线方程的一般式使学生理解直 学生通过对比、讨论，发现
与其他几种形式的直线方程 的一般直线方程的一般式与其他形
线方程相比，它有什么式的与其他形 式的直线方程的一个不同点
优点？ 是：
问 题 设计意图 师生活动
式的不同点。 直线的一般式方程能够表示
平面上的所有直线，而点斜
式、斜截式、两点式方程 ，都
不能表示与
x
轴垂直的直线。
3、在方程使学生理解二 教师引导学 生回顾前面所
Ax?By?C?0
中，元一次方程的学过的与
x
轴平行和重合 、与
y
轴平行和重合的直线方程
A，B，C为何值时，方
系数和常数项
对直线的位置
的形式。程表示的直线 然后由学生自主探索
（1）平行于
x
轴；（2）
的影响。
得到问题的答案。
平行于
y
轴；（3）与
x
轴
重 合；（4）与
y
重合。
4、例5的教学
已知直线经过点A
使学生体会
把直线方程的
4
点斜式转化为
（6，-4），斜率为
?< br>，
一般式，把握
3
直线方程一般
求直线的点斜式和一
式的特点 。
般式方程。
学生独立完成。然后教师检
查、评价、反馈。指出：对于
直 线方程的一般式，一般作如
下约定：一般按含
x
项、含
y
项、常数项 顺序排列；
x
项的
系数为正；
x
，
y
的系数和常< br>数项一般不出现分数；无特加
要时，求直线方程的结果写成
一般式。
先由 学生思考解答，并让一
个学生上黑板板书。然后教师
引导学生归纳出由直线方程
的一般 式，求直线的斜率和截
距的方法：把一般式转化为斜
5、例6的教学
把直线< br>l
的一般式
方程
x?2y?6?0
化
成斜截式，求出直线l
的斜率以及它在
x
轴
使学生体会直
线方程的一般
式化 为斜截
式，和已知直
线方程的一般
第 63 页 （共 112页）

与
y
轴上的截距，并画式求直线的斜
率和截距的方
出图形。
法。
6、二元一次方程的每
一个解与坐标平面中
点的有什么关系？直
线与二元一次方程的
解之间有什么关系？
7、课堂练习
第99练习第2题和
第3（2）
问 题
8、小结
使学生进一步理解二元一次
方程与直线的
关系，体会直
解坐标系把直
线与方程联系起来。
巩固所学知识
和方法。
设计意图
使学生对直线
方程的理解有
一个整体的认
识。
截式可求出直线的斜 率的和
直线在
y
轴上的截距。求直线
与
x
轴的截距，即求直 线与
x
轴交点的横坐标，为此可在方
程中令
y
=0，解出
x
值，即为
与直线与
x
轴的截距。
在直角坐标系中画直线
时，通常找出直线下两个坐标
轴的交点。
学生阅读教材第105页，从
中获得对问题的理解。
学生独立完成，教师检查、
评价。
师生活动
（1）请学生写出直线方程
常见的几种形式，并说明它们
之间的关系。
（2）比较各种直线方程的
形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多
少个条件？
（4）学习本节用到了哪些
数学思想方法？
学生课后独立思考完成。 巩固课堂上所
学的知识和方
法。

归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
作业布置：第101页习题3.2第10,11题
课后记:








第 64 页 （共 112页）

课题：直线方程综合
课 型：习题课
教学目标：直线方程的各种形式及其在解题中的应用.
教学 重点：直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种
形式在解题中的 灵活运用.
教学难点：各种形式在解题中的灵活运用；加深对数学思想方法的理解与应用
教学过程：
一、复习回顾：直线方程的各种形式用适用范围
二．课前练习
1.下列四命题中的真命题是 A.经过定点
P(x
0
,y
0
)
的直线都可以写成
y?y
0
?k(x?x
0
)
；
B.经过任意两个不同的点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
的直线都可以用
(y?y
1
)(x
2
?x
1
)?(x?x
1
)(y
2
?y
1
)
表示；
xy
C.不经过原点的直线都可以用
??1
表示；
ab
D .经过定点
A(0,b)
的直线都可以用
y?kx?b
表示；
2． 若直线(2
t
–3)
x
+
y
+6=0不经过第二象限，则< br>t
的取值范围是
333
3
（
A
）(, +∞) （
B
）(–∞, ) （
C
）[, +∞] （
D
）(–∞, )
2
222
3．过点
M
(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是 .
4．若2
x
1
+3
y
1
=4, 2
x2
+3
y
2
=4，则过不重合两点
A
(
x1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)的直线的方程是
（
A
）2
x
+3
y
=4 （
B
）2
x
–3
y
=4 （
C
）3
x
+2
y
=4 （
D
）不能确定
三、例题分析
例1．已知在第一象限的ΔABC中，A（ 1，1）、B（5，1），
?A?
程；（2）AC和BC所在的直线方程.







例2．求过点P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；
(2)与x轴y轴分别交于A、B两点，且|AP|:|BP|=3:5.

第 65 页 （共 112页）
?
3
,?B?
?
4
,
求：（1）AB边的方

例3．(第100页第6 题)一根弹簧，挂4N的物体时，长为20cm.在弹性限度内，所挂物体的重
量每增加1N，弹簧就伸 长1.5cm,试写出弹簧的长度L与所挂物体重量G之间关系的方程.



















四、提高练习
1．一条直 线
l
被两条直线4
x
+
y
+6=0和3
x
–5
y
–6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直
线
l
的方程 为
（
A
）6
x
+
y
=0 （
B
）6
x
–
y
=0 （
C
）
x
+6
y
=0 （
D
）
x
–6
y
=0

2．设
A
(0, 3),
B
(3, 3),
C
(2, 0)，直线
x
=
m
将△
ABC
面积两等分，则
m
的值是
（
A
）
3
+1 （
B
）
3
–1 （
C
）2
3
（
D
）
3


3．若
A
、
B是
x
轴上两点，点
P
的横坐标是2，且|
PA
|=|< br>PB
|，若直线
PA
的方程为
x
–
y
–1= 0，
则直线
PB
的方程是
（
A
）2
x
–
y
–1=0 （
B
）
x
+
y
–3=0 （
C
）2
x
+
y
–7=0 （
D
）2
x
–
y
–4=0

4．直线< br>l
过原点，且平分平行四边形
ABCD
的面积，若平行四边形有两个顶点的坐标 是
A
(2, 3),
C
(–4,–1)，则直线
l
的方程是 .

5．过点
P
(–2, 2)，且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线的方程
第 66 页 （共 112页）

是 .

6．在直线3
x
–
y
+1=0上有一点
A
，它到点
B
(1,–1)和点
C
(2, 0)等距离，则
A
点坐标
为 .
归纳小结：直线方程的各种形式要根据条件灵活选用；分析问题要突出数学思想方法的运用。
作业布置：习题3.2第100页7、8、9题，课外完成B组题
课后记:











课题：两直线的交点坐标
课 型：新授课
教学目标：
知识与技能：1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解
过程和方法：
1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.
2．掌握数形结合的学习法。
3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
情态和价值：
1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2.能够用辩证的观点看问题。
教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标
教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系
教学过程：
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一 ：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那么如
果两直线相交于一点， 这一点与这两条直线的方程有何关系？
二．新课讲授
1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）
直线L L：Ax+By+C=0
点A在直线上
第 67 页 （共 112页）

直线L1与 L2的交点A
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
1．若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
2．若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
3．若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

例题讲解：
例1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
?
3x?4y?2?0
解：解方程组
?

2x?2y?2?0
?
得 x=-2，
y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）。
教师可以让 学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才
进行讲解。
同类练习：书本104页第1，2题。
例2 ：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
(1)L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
(2)L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
(3)L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。




课堂设问：当
?
变化时，方程 3x+4y-2+
?
（2x+y+2 ）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形
的交点坐标。
(1)运用信息技术，当
?
取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上 得出结论，
同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
(3)结论：方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。

例3. 已知a为实数，两直线
l
1
：
ax?y?1?0
，
l
2
：
x?y?a?0
相交于一点，求证交点不可能在
第一象限及
x
轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a
2
?1
a?1
解：解方程组若＞0，则
a
＞1.当
a
＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.
a?1
a?1
a
2< br>?1
2
又因为
a
为任意实数时，都有
a?1
?
1＞0，故≠0
a?1
a?1a
2
?1
,
因为
a
≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在
x
轴上
，得交点(－
)
a?1a?1
例4．(1)求经过直线
y
=2
x
+3和3
x
-
y
+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线的方程.
王新敞
(2) 设正数
a
,
b
满足2
ab
=
a
+
b
，直线
xy
??1
总过一定点，求定点的坐标。
ab
第 68 页 （共 112页）

课堂练习：
m
)在同一直线上，则
m
的值为
2
(2)不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0 恒过定点
(1)已知三点
A
(2, –3),
B
(4, 3),
C
(5,
1
2
（A）(1, －) （B）(－2, 0) （C）(2, 3) （D）(－2, 3)
(3)直线方程为(3m＋2)x＋y＋8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范围是

(4)光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程 。
(5)求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点 ，且和直线
3x-2y+4=0垂直
归纳小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标 ，能将几何问题转化为代数问题来解
决，并能进行应用。
作业布置：109页2、3、4、5题
课后记:





课题:两点间距离
课 型：新授课
教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题
教学重点：两点间距离公式的推导
教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。
教学过程：
一、情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平 面直角坐标系中两点间距离公式：
PP
12
?
直线
P
1N
1
与P
2
N
2
相交于点Q。
在直角
VABC
中，
PP
为了计算其长度，过点
P
1
向x轴作垂 线，垂足为
M
1
?
x
1，
?PQ?QP
2
，
0
?

121
过点 向y轴作垂线，垂足为
N
2
?
0，y
2
?
，于是有
222
?
x
2
?x
2
?
??
y
2
?y
1
?
。
分别向x轴和y轴作垂线 ，垂足分别为
N
1
?
0，y
1
?
，M
2< br>?
x
2，
0
?

22
PQ?M
2< br>M
1
?x
2
?x
1
，QP
2
?N< br>1
N
2
?y
2
?y
1

1
所以，
PP?PQ?QP
2
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1
。
121
由此得到两点间的距离公式 PP
12
?
22222
222222
?
x
2< br>?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22

第 69 页 （共 112页）

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二、例题分析
例1．以知点A（-1，2），B（2，
7
），在x轴上求一点，使
PA?PB
,并求
PA
的值。
解：设所求点P（x，0），于是有
?
x?1
?
?
?
0?2
?
?
由
PA?PB
得
22
?
x?2
?
?0?7
2
??
2

x
2
?2x?5?x
2
?4x?11
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且
PA?
?
1?1
?
?< br>?
0?2
?
22
?22
通过例题，使学生对两点间距离
公式理解。应用。
设问：本题能否有其它解法
同步练习：书本106页第1，2 题
例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表 示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻
译”成几何关系。
这一道题可以让学生 讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代
数问题解决几何问题的基本步骤 。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，< br>０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
2222
AB?a
2
，CD?a
2
，AD?b
2
? c
2
?BC

２，
２

AC?
?
a?b
?
＋ｃ
ＢＤ＝
?
ｂ－ａ
?
＋ｃ
２< br>２
2
２
所以，
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
?２２２
?

２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
?
２２２
?
所以，
２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

２２２２２２
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。
课后练习
1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是
归纳小结：主 要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，
建立直角坐标系的重要 性。
作业布置：110页6、7、8题
课后记:



课题：点到直线的距离公式
课 型：新授课
教学目标：
知识与技能： 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；
第 70 页 （共 112页）

能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离

情感和价值： 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学过程：教学过程
一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件 ，两直线的交点问题，
两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节， 我们将研究怎
样由点的坐标和直线的方程直接求点
P
到直线
l
的距离 。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位 置关系，
且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
Ax
0
?By
0
?C
点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?

22
A?B
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，怎样用点的坐标和直线 的方程直
王新敞
王新敞
王新敞
接求点
P
到直线
l< br>的距离呢?
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点
P
到直线
l
的距离
d是点
P
到直线
l
的垂线段的
长.
y
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一
个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
R
P(x
0
,y< br>0
)
d
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
Q
方案一：
o
设点
P
到直线
l
的垂线段 为
PQ
，垂足为
Q
，由
PQ
⊥
l
可知，直 线
x
S
l
B
PQ
的斜率为（
A
≠0），根 据点斜式写出直线
PQ
的方程，并由
l
A
与
PQ
的 方程求出点
Q
的坐标；由此根据两点距离公式求出｜
PQ
｜，得到点
P
到直线
l
的距离为
d

此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二：设
A< br>≠0，
B
≠0，这时
l
与
x
轴、
y
轴都相交，过点
P
作
x
轴的平行线，交
l
于点
R( x
1
,y
0
)
；
作
y
轴的平行线，交l
于点
S(x
0
,y
2
)
，
王新敞
王新敞
?
A
1
x
1
?By
0
?C ?0
?By
0
?C?Ax
0
?C
,y
2
?
由
?
得
x
1
?
.
Ax?By?C?0< br>AB
2
?
0
Ax
0
?By
0
?C< br>所以，｜
PＲ
｜＝｜
x
0
?x
1
｜＝ A
｜
PS
｜＝｜
y
0
?y
2
｜＝22
Ax
0
?By
0
?C

B
A2
?B
2
×｜
Ax
0
?By
0
?C< br>｜由三角形面积公式可知：
d
·｜
ＲS
｜
AB
｜ＲS
｜＝
PR?PS?
＝｜
PＲ
｜·｜
PS
｜

Ax
0
?By
0
?C
所以
d?

22
A?B
可证明，当
A=0时
仍适用

王新敞
王新敞
第 71 页 （共 112页）

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1.求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
3?
?
?1
?
?2
5
解：d=
?

22
3
3?0
例2 .已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
解：设AB边上的高为h，则
1
22
S
VABC
=
AB?h
,
AB?
?
3?1
?
?
?
1? 3
?
?22
，
2
AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为
y?3X?1
?
，即x+y-4=0。
1?33?1
?1?0?4
5
点C到X+Y-4=0的距离为h，h=，
?
2
2
1?1
15
?5
因此，S
VAB C
=
?22?
2
2
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到 直线的距离理解应用，能逐步体会用代
数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：108页第1，2题。

4.课堂练习：
1.已知一直线被 两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点（2，3），求
该直 线方程。
2.求点
P（2，-1）
到直线2
x
＋3
y－3＝0的距离.
3.已知点
A
（
a
，6）到直线3
x
－４
y
＝2的距离d=4，求
a
的值：




归纳小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线 的距离转化
为点到直线的距离公式

作业布置： 110页6、7、8、9
课后记:



王新敞










第 72 页 （共 112页）

课题：两平行线间的距离
课 型：新授课
教学目标：使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式，学习并领会 寻找
点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力．推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。
教学重点：两平行线间的距离公式的研究探索过程.
教学难点：点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用.
教学过程：
一、复习准备：
1、提问：两点间的距离公式
2、点到直线的距离是什么？怎样正确运用这一公式？
3、讨论：两条平行直线间的距离怎样求？
二、讲授新课：
教学两条平行直线间的距离：
1)讨论：两条平行直线间的距离怎么求？（是指夹在两条平行直线间公垂线段的长）
2)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?B y?C
1
?0
，
C
1
?C
2
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与< br>l
2
的距离为
d?

22
A?B
证明：设< br>P
0
(x
0
,y
0
)
是直线
Ax? By?C
2
?0
上任一点，则点
P
0
到直线
Ax? By?C
1
?0
的距离为
王新敞
d?
Ax
0
?By
0
?C
1
王新敞
A?B
又
Ax
0
?By
0
?C
2
?0

即
Ax
0
?By
0
??C
2
，∴
d
＝
22

C
1
?C
2
22
A?B
思考：若二平行线中x,y的系数不相同如何处理？
这一公式的本质是利用了等价转化思想。
例1．已知直线
l
1
:2x?7y?8?0,l
2
:6x?21y ?1?0
，
l
1
与
l
2
是否平行？若平行，求l
1
与
l
2
间的距离




例2．求与直线
l:5x?12y?6?0
平行且到
l
的 距离为2的直线的方程










第 73 页 （共 112页）


王新敞