高中数学必修2第二章

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1．设

?，?为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l
?
?，m
?
?
，有如下的两
个命题：①若??∥?，则l∥m；②若l⊥m， 则??⊥?．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题
C．①②都是真命题


B．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
2．如图 ，ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体 ，下面结论错误
的是( )．
．．
A．BD∥平面CB
1
D
1
B．AC
1
⊥BD
C．AC
1
⊥平面CB
1
D
1
D．异面直线AD与CB
1
角为60°
3．关于直线m，n与平面??，?，有下列四个命题：
①m∥?，n∥??且??∥?，则m∥n；
③m⊥?，n∥??且??∥?，则m⊥n；
其中真命题的序号是( )．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
(第2题)

②m⊥?，n⊥??且??⊥?，则m⊥n；
④m∥?，n⊥??且??⊥?，则m∥n
．

4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若 直线l
1
，l
2
与同一平面所成的角相等，则l
1
，l2
互相平行
④若直线l
1
，l
2
是异面直线，则与l
1
，l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( )．
．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线l上有无数个点不在平面???内，则l∥?
②若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面???平行，则l与平面???内的任意一条直线都没有公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6． 两直线l
1
与l
2
异面，过l
1
作平面与l
2
平行，这样的 平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个 < br>7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最
大时， 直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的
是( )．
．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果 一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°]
二、填空题
11．已知三棱锥P
－
ABC的三条 侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分
别为S
1
，S
2< br>，S
3
，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P是△ABC 所在平面???外一点，过P作PO⊥平面??，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的 心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的 心；
D．[30°，120°]

(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90o，则O是AB边的 点；
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的 线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边
的中点，G，H，I，J分 别为AF，AD，BE，DE的中点，将
△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成 角
的度数为 ．


14．直线l与平面

??所成角为30°，l∩?＝A，直线m∈?，则m与l所成角的取值范围
是 ．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d
1，d
2
，
d
3
，d
4
，则d
1
＋d
2
＋d
3
＋d
4
的值为 ． 16．直二面角??－l－??的棱上有一点A，在平面??，??内各有一条射线AB，AC与l成
45°，AB
?
?，AC
?
?，则∠BAC＝ ．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－
BC－D的正弦值；
(3)设二面角A－BC－D的大小为

?，猜想

??为何值
时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)







18． 如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝
(第17题)

(第13题)

J

2，BB
1
＝BC＝1，E为D
1
C
1
的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.











19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)








(第19题)
(第18题)

1
．
2

20*．斜三棱柱 的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱
柱的体积．(提示：在 AA
1

上取一点

P，过

P

作棱柱的截面，使

AA
1

垂直于这个截面.)










(第20题)

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组
一、选择题
1．D
解析：命题②有反例，如图中平面??∩平面??＝直线n，
l
?
?，m
?
?，
且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面???不垂直平面

?，??????????????????
(第1题)

故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D
解析：异面直线AD与CB
1
角为45°．
3．D
解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．
4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，A
1
A有无数点在平
面ABCD外，但AA1
与平面ABCD相交，①不正确；A
1
B
1
∥
平面A BCD，显然A
1
B
1
不平行于BD，②不正确；A
1
B< br>1
∥AB，
A
1
B
1
∥平面ABCD，但AB
?
平面ABCD内，③不正确；l与
平面α平行，则l与???无公共点，l与平面???内 的所有直线
都没有公共点，④正确，应选B．
(第5题)

6．B
解析：设平面 ??过l
1
，且 l
2
∥?，则 l
1
上一定点 P 与 l
2
确定一平面 ??，??与 ??的交线
l
3
∥l
2
，且 l
3
过点 P. 又过点 P 与 l
2
平行的直线只有一条，即 l
3
有唯一性，所以经过 l
1
和
l
3
的平面是唯一的，即过 l
1
且平行于 l
2
的平面是唯一的.
7．C
解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△ DBO

是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
8．D
解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
C．这些直线都在同一个 平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选B．
10．A
解析：异面直线
a
，
b
所成的角为60°，直线
c
⊥
a
，过空间任一点 P，作直线 a’∥a，
b’∥b， c’∥c. 若a’，b’，c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角，否则
b
’

与
c
’

所成的角的范围为
(30°，90°]，所以直线b与c所成角的范围为[30°，90°] ．
二、填空题
11．
1
3
2S
1
S
2
S
3
．
解析：设三条侧棱长为 a，b，c．
则
∴
111
ab＝S
1
，bc＝S
2
，ca＝S
3
三式相乘：
222
1
222
a b c
＝S
1
S
2
S
3
，
8
∴ abc
＝
2
2S
1
S
2
S
3
．
∵ 三侧棱两两垂直，
1
11
∴ V
＝
abc·
＝
2
33
2S
1
S
2
S
3
．
12．外，垂，内，中，BC边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；
(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；
(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．
13．60°．
解析：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°．
14．[30°，90°]．
解析：直线l与平面???所成的30°的角为m与l所成角的 最小值，当m在???内适当旋

转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的的最大值为90 °．
15．
6
．
3
1
?
3
×(d1
＋d
2
＋d
3
＋d
4
)＝
1
?
3
·h，而h＝
6
．
34343
解析：作等积变换：
16．60°或120°．
解析：不妨固定AB，则AC有两种可能．
三、解答题
17．证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．
∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O
，

∴BC⊥平面AOD．又AD
?
平面AOD，
∴BC⊥AD．
(第17题)

解：(2)由(1)知∠AOD为二面角A－BC－D的平面角，设∠ AOD＝?，则过点D作DE⊥AD，
垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC
?
平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC＝AO，
∴DE⊥平面ABC．
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE＝3．
又DO＝
3
BD＝2
3
，
2
3
DE
＝，
2
DO
3
．
2
在Rt△DEO中，sin?＝
故二面角A－BC－D的正弦值为
(3)当 ?＝90°时，四面体ABCD的体积最大．
18．证明：(1)在长方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，AB＝2，BB
1
＝BC＝1，E为D
1
C
1
的中点．∴
△DD
1
E为等腰直角三角形，∠D
1
ED＝45°．同理∠C
1
EC＝45°．∴< br>?DEC?90?
，即
DE⊥EC．
在长方体ABCD－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，BC⊥平面
D
1
DCC
1
，又DE
?
平面
D
1
DCC
1
，
∴BC⊥DE．又
EC?BC?C
，∴DE⊥平面EBC．∵ 平面DEB过DE，∴平面DEB⊥
平面EBC．

(2)解：如图，过E在 平面
D
1
DCC
1
中作EO⊥DC
于O．在长方体ABCD －
A
1
B
1
C
1
D
1
中，∵面A BCD⊥面
D
1
DCC
1
，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC 中作
OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角
E－DB－C的平面角．利 用平面几何知识可得OF＝
又OE＝1，所以，tan
?
EFO＝
5
．
1
1
2
?
1＝
3
， 19*．解：(1)直角 梯形ABCD的面积是M
底面
＝
(BC＋AD)?AB
＝
24
2
1＋
1
，
(第18题)

5
1 1
31
∴四棱锥S—ABCD的体积是V＝
·SA·M
底面
＝×1× ＝．
44
33
(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二 面角的棱．
∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴EA
＝
AB
＝
SA，∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线．
又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB
上的射影，
∴CS⊥SE，∠BSC是所求二面角的平面角．
∵SB＝
SA
2
＋AB
2
＝
2
，BC＝1，BC⊥SB，
∴tan∠BSC＝
BC2
，
＝
SB2

(第19题)

即所求二面角的正切值为
2
．
2
20*．解：如图，设斜三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧 面BB
1
C
1
C
的面积为10，A
1
A和面BB< br>1
C
1
C的距离为6，在AA
1
上取一点P
作截面P QR，使AA
1
⊥截面PQR，AA
1
∥CC
1
，∴截面P QR⊥侧
面BB
1
C
1
C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面B B
1
C
1
C，且
PO＝6．
∴V
斜
＝S
△PQR
·AA
1
＝
＝
1
·QR·PO·AA
1
2

(第20题)

1
·PO·QR·BB
1
2

＝
1
×10×6
2
＝30．