高中数学利哥数学-高中数学排列基础
第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图 左视图
俯视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体
2．如果一个水平放置的平
面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为
1
的
等腰梯形，那么原平面
图形的面积是( )．
1＋22＋2
C．
22
3．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．2＋
2
B． D．
1＋2
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在
同一球面上，
则这个球的表面积是( )．
A．25π B．50π
C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若
使△ABC绕直线
BC
旋转一周，
则所形成的几何体的体积是( )．
9753
A．
π B．π C．π D．π
2222<
br>7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9
和15，则
这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150
D．160
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB
，EF
3
＝，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )．
2
A．
D．
9
B．5
(
第
8
题
)
C．6
2
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是(
)．
．．
15
2
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第10题)
二、填空题
11．
一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少
的一个棱
台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，
则三棱锥O－AB
1
D
1
的体积为_____________．
14．如图，E，F分别为正方体的面
ADD
1
A
1
、面BCC
1
B
1
的中心，
则四边形BFD
1
E在
该正方体的面上的射影可能是___________．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2
、
3
、
6
，则这个长方体
的对角线长是______
_____，它的体积为___________．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一
个铁球，球全部没入水中后，水面升高
9厘米则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190
L，假如它的两底面边长分别等于60 cm
和40 cm，求它的深度．
18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体
的体积之比．[提示：
过正方体的对角面作截面]
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝1
35°，AB＝5，CD＝2
2
，
AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几
何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公
路上的积雪之用)，已建的仓
库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，
以存放更多食盐，现
有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4
m(高不变)；二是高度增加4 m(底面
直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章 空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱
台．
2．A
1
解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝(1＋
2
＋1)
×2＝2＋
2
．
2
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则S
表面
＝4×
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
l＝
3
2
＋4
2＋5
2
＝5
2
，2R＝5
2
，R＝
52
，S＝4πR
2
＝50π．
2
3
＝
3
．
4
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
13
解析：V＝V
大
－V
小
＝
πr
2
(1＋1
.5－1)＝
π．
32
7．D
2
解析：设底面边长是a，底面的
两条对角线分别为l
1
，l
2
，而
l
1
2
＝15
2
－5
2
，
l
2
＝9
2
－
5
2
，
2
而
l
1
2
＋
l
2
＝4a
2
，即15
2
－5
2
＋9
2<
br>－5
2
＝4a
2
，a＝8，S
侧面
＝4×8×5＝1
60．
8．D
解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
131315
V＝2×××3×2＋×3×2×＝．
34222
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x
轴的线段，在直观图中保持原长度
不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z
轴的线段的平行性和长度都不
变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶
2
∶
3
，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r
3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)<
br>3
＝1∶2
2
∶3
3
．
1
13．参考答案：
a
3
．
6
解析：画出正方体
，平面AB
1
D
1
与对角线A
1
C的交点是对角线的三等分
点，
333
111
a，V＝Sh＝××2a
2
×a＝a
3
．
343
336
另法：三棱锥O－AB
1
D
1<
br>也可以看成三棱锥A－OB
1
D
1
，它的高为AO，等腰三角形OB<
br>1
D
1
三棱锥O－AB
1
D
1
的高h＝
为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：6，6．
解析：设ab＝
2
，bc＝
3
，ac＝
6
，则V
= abc＝
6
，c＝
3
，a＝
2
，b＝1，
1
＝
6
． l＝
3＋2＋
16．参考答案：12．
解析：V＝Sh＝πr
2
h＝
4
3
πR
，R＝
3
64×27
＝12．
3
三、解答题
17．参考答案：
3×190000
3V
1
V＝(S＋
SS
′
＋S)h，h＝
＝＝75．
3
S＋SS
′
＋S
′
3600＋2400＋1
600
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．
设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，
OC＝
2
a，OC'＝R．
2
A'
C'
A
在Rt
△
C'CO
中，由勾股定理，得
即
a
2
＋(
∴R＝
2
2
a)＝R
2
．
2
O
(第18题)
C
CC'
2
＋OC
2
＝OC'
2
，
66
a，∴
V
半球
＝
πa
3
，V
正方体
＝a
3
．
22
∴V
半球
∶V
正方体
＝
6
π∶2．
19．参考答案：
S
表面
＝S
下底面
＋S
台侧面
＋S
锥侧面
＝π×5
2
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
2
＝(60＋4
2
)π．
V＝V
台
－V
锥
11
＝
π(
r
1
2
＋r
1
r2
＋
r
2
2
)h－
πr
2
h
1
33
148
＝
π．
3
20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积
111
6256
V
1
＝Sh＝×π×()
2
×4＝
π(m
3
)．
3323
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
288
1112
V
2
＝Sh＝×π×()
2
×8＝
π(m
3
)．
332
3
(2)
参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋4
2
＝4
5
，
仓库的表面积S
1
＝π×8×4
5
＝32
5
π(m
2
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋6
2
＝10，
仓库的表面积S
2
＝π×6×10＝60π(m
2
)．
(3) 参考答案：∵V
2
＞V
1
，S
2
＜S1
，∴方案二比方案一更加经济些．