高中数学必修二第二章经典练习试题整理

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高一数学必修二第二章经典练习题

第I卷（选择题）
请修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单项选择

1. 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A．仅②不正确 B．仅①、④正确
C．仅①正确 D．四个命题都正确

2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（ ）
A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线
C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条

3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的
距离相等，则这个四边形 （ ）
A 必有外接圆 B 必有内切圆 C 既有内切圆又有外接圆
D 必是正方形

4. 已知六棱锥
P
－< br>ABCDEF
的底面是正六边形，
PA
⊥平面
ABC
，
PA
＝2
AB
，
则下列结论正确的是( )
A．
PB
⊥
AD
B．平面
PAB
⊥平面
PBC

C．直线
BC
∥平面
PAE
D．直线
PD
与平面
ABC
所成的角为45°

5. 若
a
，
b
是异面直线，直线
c
∥
a
，则c
与
b
的位置关系是（ ）
学习好帮手
A． 相交 B． 异面 C． 平行 D．异面或相交

6. 设四棱锥
P
－ABCD
的底面不是平行四边形，用平面
α
去截此四棱锥
(如图)，使得 截面四边形是平行四边形，则这样的平面
α
( )

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数
多个

7. 设P是△AB C所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P
到△ABC各边的距离也相等，那么△AB C（ ）
A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形
C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形

8. 已知正四棱锥
S?ABCD
的侧棱长与底面边长都相等,
E
是
SB
的中
点,则
AE，SD
所成的角的余弦值为( )
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
2
3
D.
3


9. 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AA
1
与CC
1
的中点，则直线ED
与 D
1
F所成角的大小是 （ ）
A．
1
5
B。
1
1
3
3
C。
2
D。
2


10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面
?
,
?
,则下列命题

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中正确的是( )
A.若
m
?
,n?
?
,则mn
B.若
?
?
?
?m,m?n,则n?
?

C.若
m
?
,n
?
,则mn
D.若
m
?
,m?
?
,
??
?n,则mn


11. 在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点
D
是
侧面
BB
1< br>C
1
C
的中心，则
AD
与平面
BB
1
C
1
C
所成角的大小是 ( )
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

12. 已知直线
l
、
m
，平面
?
、
?
，且
l?
?
，
m?
?
，则
?

?
是
l?m
的
A
.充要条件
B
.充分不必要条件
C
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件

13. 设
b,c
表示两条直线，
?
,
?
表示两个 平面，下列命题中是真命题的是
（ ）
A．
b?
?
?
c
?
?
?bc
B．
b?
?
?
c
?
?
?c
?
b
?< br>
C．
c
?
?
c?
?
?
D．c
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?c?
?

?

14. 在下列四个正方体中，能得出
AB
⊥
CD
的是（ ）
学习好帮手

15. 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
O
为正方形
ABCD
中心,则
A
1
O
与平
面ABCD所成角的正切值为( )
A.
2
B.
23
2
C.1 D.
3


16. 在正方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，若
E
是
A
1
C
1
的中点，则直线
CE
垂< br>直于（ ）
A
AC
B
BD
C
A
1
D
D
A
1
D
1


17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．1或4

18. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是
( )
A．若a，b与α所成角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥b
C．若a？α，b？β，a⊥b，则α⊥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

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D
·
P

A
C
B
19. 如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平
面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )
A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条

20. 已知AA

是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任 意两
点，那么线段AA

与EF的长度关系是 （ ）
A EF
B EF≤AA

C EF＞AA

D EF≥ AA



21. 已知
?
、
?
是平面，
m
、
n
是直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若
m
∥
n
，
m?
?
，则
n?
?
B．若
m?
?
，
m??
，
则
?
?
?

C．若
m?
?
，
m?
?
，则
?
∥
?
D．若
m
∥
?
，
?
?
?
?n
，< br>则
m
∥
n


22. 三个角是直角的四边形（ ）
A．一定是矩形
B．一定是空间四边形
C．是四个角为直角的空间四边形
D．不能确定

23. 如图长方体中，AB=AD=2
3
，CC
1
=
2
，则二面角 C
1
—BD—C的大
学习好帮手
小为（ ）
Ａ．30° B．45° C．60° D．90°
24. 直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线
中与直线a平行的（ ）
A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不可能有

25. 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直
线和这个平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交

26. 直线与平面平行的充要条件是（ ）
A．直线与平面内的一条直线平行 B。直线与平面内的两条直线
不相交
C．直线与平面内的任一直线都不相交 D。直线与平行内的无数条直
线平行

27. 下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平
面平行。
其中正确的个数为（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3


28. 如图，正方体
AC
1
的棱长为1，过点
A
作平面
A
1
BD
的垂线，垂足为
点
H
．则以下命题中错误
．．
的是（ ）

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A．点
H
是
?A
1
BD
的垂心 B．
AH
垂直平面
CB
1
D
1

C．
AH
的延长线经过点
C
1

D．直线
AH
和
BB
1
所成角为
45


29. 空间四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形

30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；
（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行
直线在同一平面内的 射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内
的射影一定是锐角。以上命题正确的有 （ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D3个

31. 正四棱锥
P?ABCD
的所有棱长相等,
E为
PC
的中点,那么异面直
线
BE
与
PA
所成 角的余弦值等于( )
A.
1
2
2
B.
2
C.
23
3
D.
3


32. 对于任意的直线
l
与平面
?< br>,在平面
?
内必有直线
m
,使
m
与
l
( )
学习好帮手
(A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线

33. 已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）
A． 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B． 若a与b相交，b与c相交，则a与
c也相交
C． 若ab，bc，则ac D． 若a与b异面，b与c异面，则a与
c也是异面直线

34. 在正四棱锥P- ABCD中，点P在底面上的射影为O，E为PC的中点，
则直线AP与OE的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可
能

35. 三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为
500π
3
的球的表面上，△ABC所
在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．7 B．7.5
C．8 D．9

36. 已知三棱锥
S?ABC
中，底面
ABC
为边长等于2的等边 三角形，
SA
垂直于底面
ABC
，
SA
=3，那么直线AB
与平面
SBC
所成角的正弦值为
（ ）
（A）
357
3
4
(B)
4
(C) (D)
4


4

37. 已知a，b是两条不 重合的直线，
?
，
?
是两个不重合的平面,下列
命题中正确的是（ ）
A．
ab
，
b
?
，则
a
?

B． a，
b?
?
，
a
?
，
b
?
，则< br>?

?

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C．
a?
?
，
b
?
，则
a?b

D． 当
a?
?
，且
b?
?
时，若
b
∥
?
，则
a
∥
b


38. 与空间四点距离相等的平面共有（ ）
A．3个或7个 B．4个或10个
C．4个或无数个 D．7个或无数个

39. 已知直线
l
，
m
与平面
?
，
?
，
?
满足
??< br>?l，l
?
，m?
?
，
m?
?
，则
有( )
（A）
?
?
?
且
m
?
（B）
?
?
?
且
l?m

（C）
m
?
且
l?m
（D）
?

?
且
?
?
?


40. 在棱长为1的正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
C
与平面ABCD所成的角为( )
?
A、
6
B、
arctan
3
?
3
C、
3
D、
arctan
2
2


第II卷（非选择题）
请修改第II卷的文字说明
评卷人 得分

二、填空题

41. 已知直线
a
和平面
?
,
?
,试利用上述三 个元素并借助于它们之间的
学习好帮手
位置关系,构造出一个条件,使之能判断出
?
⊥
?
,这个条件可以
是 .

42. 已知三个平面α、β、γ，α ∥β∥γ，a,b是异面直线，a与α，
β，γ分别交于A、B、C三点，b与α、β、γ分别交于D、 E、F三点，
连结AF交平面β于G，连结CD交平面β于H，则四边形BGEH必为
____ ______．
















11题图



43.
m
、
n
为直线 ,
?
、
?
为平面,给出下列命题:
①若
m?
?< br>,
m?
?
,则
?
?
?
;
②若m?
?
,
n?
?
,
m
、
n
是 异面直线,则
?
?
?
;
③若
m?
?
,< br>n?
?
,
m
∥
?
,
n
∥
?
,则
?
∥
?
;
④若
?
?
??m
,
n
∥
m
,
n?
?
,
n ?
?
,则
n
∥
?
且
n
∥
?
.
其中正确命题序号是 .

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44. 已知平面
?
,
?
,< br>?
,直线
l,m
满足:
?
?
?
,
? ?
?m,
??
?l,l?m
,
那么
①
m?
?
; ②
l?
?
; ③
?
?
?
; ④
?
?
?
.
可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号
都填上).

45. 已知平面
?
,
?
和直线，给出条件：
①
m
?
；②
m?
?
；③
m?
?
； ④
?
?
?
；⑤
?

?
.
（i）当满足条件 时，有
m
?
；（ii）当满足条件
时，有
m?
?
.
（填所选条件的序号）

评卷人 得分

三、解答题

46. 如图,四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,
?PAB?120
,
?PBC?90
.

(1)求证:平面
PAD?
平面
PAB
;
学习好帮手
(2)求三棱锥D－PAC的体积;

47. 如图，直角梯形
ABCD
中，
AB∥CD
，
AD ?AB
，
CD?2AB?4
，
AD?2
，
E
为CD
的中点，将
?BCE
沿
BE
折起，使得
CO?DE
，其
中点
O
在线段
DE
内.
（1）求证：
CO?
平面
ABED
；
（2）问
?CEO
(记为
?
)多大时, 三棱锥
C?AOE
的体积最大? 最大值
为多少?


48. 如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO
?
面ABCD,E是PC的中点.
求证:(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC
?
平面BDE
P
E
D
C
O
AB


49. 如图，已知四棱台ABCD –A
1
B
1
C
1
D
1
的侧棱AA
1
垂直于底面ABCD，底面
ABCD是边长为2的正方形，四边 形A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为1的正方形 ，DD
1
=2.
（ I）求证：平面A
1
ACC
1
⊥平面B
1
BDD
1
；

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（Ⅱ）求四棱台ABCD - A
1
B
1
C
1
D
1
的体积；
（Ⅲ）求二面角B—C
1
C—D的余弦值．


50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面
切开后，将其中一半沿切面向右水平 平移后得到的．
A,A
?
,B,B
?
分别为
CD
,
C
?
D
?
,
DE
,
D
?
E
?
的中点，
O
1
,O
1
?
,O
2
,O
2
?
分别为
CD
,
C
?
D
?
,
DE
,
D
?
E
?
的中点．
（1）证明：
O
1
?
,A
?
,O
2
,B
四点共面；
（2）设
G
为
AA
?
中点，延 长
A
?
O
1
?
到
H
?
，使得O
1
?
H
?
?A
?
O
1
?< br>．证明：
BO
2
?
?
平面
H
?
B< br>?
G
．
学习好帮手
A
?

C
?

O
1
?

D
?

O
2
?

E
?

H
?

B
?

G

A

C

D

O
2

E

B

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参考答案
一、单项选择
1.【答案】B
【解析】①该命题就是平行公理 ，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，
直线
a
?
平面
?
，
b?
?
，
c?
?
，且
b?c?A，则
a?b
，
a?c
，即平面
?
内两条
直交直 线
b
，
c
都垂直于同一条直线
a
，但
b
，
c
的位置关系并不是平行．另外，
b
，
c
的位置关系也可以 是异面，如果把直线
b
平移到平面
?
外，此时与
a
的位置关 系仍是垂
直，但此时，
b
，
c
的位置关系是异面．
③如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，易知
A
1
B
1
平面ABCD
，A
1
D
1
平面ABCD
，
但
A
1B
1
?A
1
D
1
?A
1
，因此该命题 是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．

2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
【解析】∵
AD
与
PB
在平面
ABC
内的射影
AB
不 垂直，∴A不成立；又平面
PAB
⊥平面
PAE
，
∴平面
P AB
⊥平面
PBC
也不成立；∵
BC
∥
AD
，∴< br>BC
∥平面
PAD
，∴直线
BC
∥平面
PAE
也
不成立．在Rt△
PAD
中，
PA
＝
AD
＝2
AB
，∴∠
PDA
＝45°，∴D正确．

5.【答案】D
6.【答案】D
【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为< br>m
、
n
，直线
m
、
n
确定了一个平面
β
.
作与
β
平行的平面
α
，与四棱锥的各个侧面相截，则 截得的四边形必为平行四边形．而
这样的平面
α
有无数多个．

7.【答案】C
8.【答案】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AE O为所求.设侧棱长与底面
边长都等于2,则在⊿AEO中,OE＝1,AO＝
2
,A E=
2
2
?1?3
,
于是
cos?AEO?
(3 )
2
?1
2
?(2)
2
2?3?1
?
1< br>3
?
3
【答案】C
3
学习好帮手

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9.【答案】A
10.【答案】D

11.【答案】C
【解析】取BC的中点E，则
AE?
面
BB
1
C
1
C
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B?a
，则
AE?
?AE?DE
，因此
AD
与平面
BB
1
C
1
C
所成角即为
?ADE
，设< br>A
DE?
a
，即有
tan?ADE?3,??ADE?60
0
．
2
3
a
，
2

12.【答案】B
13.【答案】C
14.【答案】A

【解析】∵
CD
在平面
BCD
内，
AB
是平面
BCD
的斜线，由三垂线定理 可得A.

15.【答案】A

16.【答案】B
17.【答案】D

【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.

18.【答案】 D

【解析】正四棱锥P－ABCD中，PA、PC与底面ABC D所成角相等，但PA与PC相交，∴A
错；如图(1)正方体中，a∥b∥c，满足a∥α，b∥β， α⊥β，故B错；图(2)正方体
中，上、下底面为β、α，a、b为棱，满足a？α，b？β，a⊥b ，但α∥β，故C错；



19.【答案】Ｃ
【解析】在平面DAB内过点Ｂ与直线BC成60°角的直线共有２条，
学习好帮手

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故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。
20.【答案】D
21.【答案】D
依次画出各选项的示意图：

【解析】依次画出各选项的示意图：


显然D不正确，选D

22.【答案】D

【解析】 若此四边形是平面图形，则一定是矩形．若为空间图形，则为有三个角为直角
的空间四边形．

23.【答案】A
24.【答案】B

【解析】过
a
与 该点作一平面与平面
?
相交，则交线与
a
平行，那么在平面
?
内过该点
的直线中，除这一条直线外，其余的与
a
都不平行，所以正确选项为B.

25.【答案】D

【解析】考虑平面外的直线与平面有两种位置关系可得正确选项为D.
学习好帮手

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26.【答案】C
27.【答案】A
【解析】⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内

28.【答案】D

29.【答案】D

【解析】由中位线定理 得四边形是平行四边形，再由已知可得相邻两边垂直且相等，所
以正确选项为D，即有
又EF∥AC
?
1
?
EFAC
?
EH∥BD
?< br>?
?
2
?
?EFGH
，
?
?EF?GH,E F?EH
，
1
AC?BD
?
GHAC
?
?
2
?
AC?BD
?
?

∴ 四边形EFGH是正方形．

30.【答案】A
31.【答案】D

32.【答案】C

33.【答案】C
34.【答案】A
35.【答案】C

【解析】∵△ABC所在小圆面积为16π，
∴小圆半径r＝O′A＝4，

500π4πR3500π
又球体积为，∴＝，
333
∴球半径R＝5，∴OO′＝3，
故三棱锥的高为PO′＝R±OO′＝8或2，故选C.
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36.【答案】D
【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A作AE垂 直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正
三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥
SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴
AE?3,AS?3
∴
SE?23
，
AF?
33
，∴
sin?ABF?

24

37.【答案】B
38.【答案】D
【解析】若
A
、
B
、
C
、
D
四点不在一个平面内，如果一边3 个，另一边1个，适合题意
的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．若
A
、
B
、
C
、
D
四点
在一个平面内，则距 离相等的平面有无数个．

39.【答案】B
m?
?
，m?< br>?
?
?
?
?
，又
l?
?
?m?l< br>．

40.【答案】D

二、填空题
41.【答案】< br>?
?
a?
?
?
a
?
或
?

?
a?
?
?
a?
?

42.【答案】平行四边形

【解析】由α∥β∥γ，a与AF相交于A有：BG
?
面ACF，
∴ BG∥CF,同理有：HE∥CF，∴BG∥HE．同理BH∥GE，∴ 四边形BGEH为平行四边
形．

43.【答案】①②

44.【答案】②④

45.【答案】③⑤ ②⑤

【解析 】若
m?
?
，
?

?
，则
m
?；
若
m?
?
，
?

?
，则
m?
?
。

三、解答题
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46.【答案】(1)证明:∵ABCD为矩形
∴
AD?AB
且
ADBC

∵
BC?PB
∴
DA?PB
且
ABPB?B

∴
DA?
平面
PAB
,又∵
DA?
平面PAD
∴平面
PAD?
平面
PAB

(2) ∵
V
D?PAC
?V
P?DAC
?V
P?ABC
?V
C?PA B

由(1)知
DA?
平面
PAB
,且
ADBC
∴
BC?
平面
PAB
分
∴
V
C?PAB
?
1
S
?PAB
?BC?
1
?
1
PA?A B?sin?PAB?BC
?
1
?1?2?
3
?1?
3
332
626

47.【答案】（1）在直角梯形
ABCD< br>中，
CD?2AB
，
E
为
CD
的中点，则
A B?DE
,
又
AB∥DE
，
，
O
，
BE ?DE
,BE?CE
AD?AB
,知
BE?CD
.在四棱锥
C?ABE
中
CEDE?E
，
CE,DE?
平面
CDE，则
BE?
平面
CDE
.因为
CO?
平面
CD E
,所以
BE?CO.
又
CO?DE
, 且
BE,DE
是平面
ABED
内两条相交直线, 故
CO?
平面
ABED
.
(2)由(1)知
CO?
平面
ABED
，
知三棱锥
C?AOE
的体积
V?
111
S
?AOE
?OC???O E?AD?OC

332
由直角梯形
ABCD
中,
CD?2 AB?4
，
AD?2
，
CE?2
，得三棱锥
C?AOE中，
OE?CEcos
?
?2cos
?
,OC?CEsin?
?2sin
?
,
V?
?
?
π
?2
?
22
sin2
?
?
，
33
当且 仅当
sin2
?
?1,
?
?
?
0,
?，即
?
?
π
时取等号，（此时
OE?2?DE
，
O
落在线
4
段
DE
内）.故当
?
?
2< br>π
时, 三棱锥
C?AOE
的体积最大，最大值为.
3
4

48.【答案】(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥ AP,又∵OE
?
平面BDE,PA
?
平
面BDE,∴PA∥平面B DE
(2)∵PO
?
底面ABCD,∴PO
?
BD,又∵AC?
BD,且AC
?
PO=O∴BD
?
平面PAC,而BD
?
平面
BDE,∴平面PAC
?
平面BDE.

49.【答案】（Ⅰ）∵
AA
1
⊥平面 ABCD，∴
AA
1
?BD
．
?
底面
ABCD
是正方形，
?AC?BD
．
?< br>AA
1
与
AC
是平面
A
1
ACC
1
内的两条相交直线，∴
BD
⊥平面
A
1
ACC
1< br>．
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?BD?
平面
B
1
BDD
1
，∴平面
A
1
ACC
1
?
平面
B
1
BDD
1
．
（Ⅱ）过
D
1
作
D
1
H?AD
于
H
，则
D
1
HA
1
A
．
∵
AA
1
⊥平面 ABCD，
?D
1
H?
平面
ABCD
．
在
Rt?D
1
DH
中，求得
D
1
H?3
．而
A
1
A?D
1
H
，

所以四棱台的体积
V?
1173
S
?
?S
?
S?S h??
?
1?2?4
?
?3?
．
333
??（Ⅲ）设
AC
与
BD
交于点O，连接
OC
1
．
过点B在平面
B
1
BCC
1
内作
BM?C
1
C
于M，连接
MD
．
由（Ⅰ）知
BD
⊥平面< br>A
1
ACC
1
，
?BD?C
1
C
．
所以
C
1
C?
平面
BMD
，
?C
1
C?MD
．
所以，
?BMD
是二面角B?C
1
C?D
的平面角．
在
Rt?C
1
O C
中，求得
C
1
C?5
，从而求得
OM?
OC?O C
1
30
．
?
C
1
C5
在
Rt ?BMO
中，求得
BM?
4545
，同理可求得
DM?
．
5
5
BM
2
?DM
2
?BD
2
1
??
． 在
?BMD
中，由余弦定理，求得
cos?BMD?
2BM?DM4

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A
?

C
?

H
?
O
1
?
D
?

B
?

O
2
?
E
?

G
A

C

H

50.【答案】
（1）连接
BO
2
,
O
2
O
2
?
,

O
1
D

B
O
1

O
2
E


依题意得
O
1
,O< br>1
?
,O
2
,O
2
?
是圆柱底面圆的圆心
∴
CD,C
?
D
?
,DE,D
?
E
?
是圆柱底面圆的直径
∵
A
?
,B,B
?
分别 为
C
?
D
?
,
DE
,
D
?
E
?
的中点
∴
?A
?
O
1
?
D
?
??B
?
O
2
?
D
?
?90

∴
A
?
O
1
?
∥
BO
2
?

∵
BB
?

O
2
O
2
?
，四边形
O
2
O
2
?
B
?< br>B
是平行四边形
∴
BO
2
∥
BO
2
?

∴
A
?
O
1
?
∥
BO
2

∴
O
1
?
,A
?
,O
2
,B四点共面
（2）延长
A
?
O
1
到
H
，使得
O
1
?
H?AO
1
?
，连接
HH< br>?
,HO
1
?
,HB

∵
O
1?
H
?
?A
?
O
1
?

∴< br>O
1
?
H
?

O
2
?
B?
，四边形
O
1
?
O
2
?
B
?
H
?
是平行四边形
∴
O
1
?
O
2
?
∥
H
?
B
?

∵
O
1
?
O
2
?
?O
2
O
2
?，
O
1
?
O
2
?
?B
?
O< br>2
?
，
O
2
O
2
?
B
?< br>O
2
?
?O
2
?

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∴
O
1
?
O
2
?
?
面
O
2
O
2
?
B
?
B

∴
H
?
B
?
?
面
O
2
O
2
?
B
?
B
，
BO
2?
?
面
O
2
O
2
?
B
?B

∴
BO
2
?
?H
?
B
?

易知四边形
AA
?
H
?
H
是正方形，且边长
AA
?
?2

∵
tan?HO
1
?
H
?
?
HH
?
A
?
G1
?2
，
ta n?A
?
H
?
G??

O
1
?
H
?
A
?
H
?
2
∴
tan?HO
1
?
H
?
?tan?A
?
H
?
G?1

∴
?HO
1
?
H
?
??A
?
H
?
G?90

∴
HO
1
?
?H
?
G

易知O
1
?
O
2
?

HB
，四边形
O
1
?
O
2
?
BH
是平行四边形
∴
BO
2
?
∥
HO
1
?

∴
BO
2
?
?H
?
G
，
H
?
GH
?
B
?
?H
?

∴
BO
2
?< br>?
平面
H
?
B
?
G
．


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