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高中数学必修2复习提纲
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1、
三视图: 正视图:从前往后; 侧视图:从左往右; 俯视图:从上往下。
2、 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等
3、直观图:斜二测画法
4、斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5
用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3
空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 (二)空间几何体的体积
1、棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
1、柱体的体积
V?S
底
?h
2、圆柱的表面积
S?2
?<
br>rl?2
?
r
2
2
3、圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2、锥体的体积
V?
2
1
S
底
?h
3
4、圆台
的表面积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R
5、球的表面积
S?4
?
R
2
2
3、台体的体积
1
V?(S
上
?S上
S
下
?S
下
)?h
3
4
3
4、球体的体积
V?
?
R
3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1、平面含义:平面是无限延展的
2、平面的画法及表示
(
1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,
0
锐角画成45,且横边画成邻边
的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母
?
、
?
、
?
等表示,如平面
?
、平
A
面
?
等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相
D
α
B
C
对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3、三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A?
?
?
A
?
α
·
B?
?
?
L
?
?L?
?
A?L
?
B?L
?
?
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
A
·
C
·
·
α
B
使
A?
?
,B?
?
,C?
?
.
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那
么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为:
P?
?
?
?
?
?
?
?
?L,且P?L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2、公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
α
·
L
P
ab
?
?
?ac
cb
?
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4、注意点:①
a
?
与
b
?
所成的角的大小只由
a
、
b
的相互位置来确定,与
o
的选择无关,
为了简便,点
o
一般取在两直线中的一条上;
②
两条异面直线所成的角
?
?(0,
?
2
)
;
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,
记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 ——
没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用
a?
?
来表示
a?
?
a?
?
?A
a
?
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行
,则该直线与
此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a??
?
?
b?
?
?
?a
?
ab
?
?
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的
判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面
平行。
符号表示:
a?
?
?
b?
?
?
?
?a?b?P
?
?
?
?
a
?
?
?
b
?
?
?
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —
2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的
任一平面与此平面的交线与该直线平
行。简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
?
?
a?
?
?
?ab
?
??
?b
?
?
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?a
?
?ab
?
?
?
?b
?
?
作用:可以由平面与平面平行得出直线
与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线L与平面
?
内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面
?
互相垂
直,记作L⊥
?
,直线L叫做平面
?
的垂线,平面
?
叫做直线L的垂面。如图,直线与平
面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
?
p
L
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
l
?
B
?
2、二面角的记法:二面角
?
?l?
?
或
?
?AB?
?
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
直线与直线的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线
l
与
x
轴相交时,
取
x
轴作为基准,
x
轴正向与直线
l
向上
方向之
间所成的角
?
叫做直线
l
的倾斜角.特别地,当直线
l
与<
br>x
轴平行或重合时, 规定
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
?
?0
?
.
2、
倾斜角α的取值范围:
0?
?
?180
.当直线l与x轴垂直时,
?
?90
.
3、直线的斜率:一条直线的倾斜角
?
(?
?90)
的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写
?
???
字母k表示,也就是
k?tan
?
⑴当直线l与x轴平行或重合时,
?
?0
,
k?tan0?0
;
⑵当直线l与x轴垂直时,
?
?90
,
k
不存在.
由此可知,
一条直线
l
的倾斜角
?
一定存在,但是斜率
k
不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点
P
1
P
2
的斜率:
1
(x1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2)
,
x
1
?x
2
用两点的坐标来表示直线
P<
br>?
??
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平
行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们
的斜率相等,那么它们平行,即
l
1
l
2
?k
1
?k
2
。
注意: 上面的等价是在
两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论
并不成立.即如果
k
1
?k
2
, 那么一定有
l
1
l
2
。
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们
的斜
率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
l
1
?l
2
?k
1<
br>??
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线
l<
br>经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
,且斜
率为
k
1
?k
1
?k
2
??1
。
k
2
y?y
0
?k(x?x
0
)
2、、直线的斜截式方程:已知直线
l
的斜率为
k
,且与
y
轴的交点为
(0,b)
y?kx?b
3.2.2
直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点
P
1
(x
1<
br>,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)<
br>其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>)
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?
x
2
,y
1
?y
2
)
y
2?y
1
x
2
?x
1
2、直线的截距式方程:已知直线<
br>l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
,与
其中
a
?0,b?0
y
轴的交点为B
(0,b)
,
3.2.3
直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于
x,y
的二元一次方程
Ax
?
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
By?C?0
(A,B不同时为0)
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标
L1:3x+4y-2=0
L1:2x+y
+2=0
解:解方程组
?
?
3x?4y?2?0
?
2x?2y?2?0
得 x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2
两点间距离
两点间的距离公式:
PP
12
?
3.3.3
点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点
P(x
0
,y<
br>0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
:
A1x?B1y?C1?0
,
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
l
2
:
A2x?B2y?C2?0
,则
l
1
与<
br>l
2
的距离就是在
l
1
上任取一点
P(x
0
,y
0
)
,点P到
l
2
的距离就是直线
l
1
与
l
2
之间的距离
圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
,圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x?y?Dx?Ey?F?0
2、圆的一般方程的特点:
(1)、①
x
2
和
y
2
的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
(2)、圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆
的方程就确定了.
22
222
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特
殊的二元二次方程,代数特征明显,圆
的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线
l
:
ax?by?c?0
,圆
C
:
x2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,圆的半径为
r
,圆心
(?
DE
,?)
到直线的距离为
d
,则判别直线与圆的位置
关系的依据有以下几点:
22
(1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;
(2)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1
)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆C
2
相离;
(2)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交;
(4)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C<
br>2
内切;
(5)当
l?|r
1
?r
2
|<
br>时,圆
C
1
与圆
C
2
内含;
4.3.1空间直角坐标系
R
M
O
P
Q
M'
y
x
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
,
x
、
y、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点M在
此空
间直角坐标系中的坐标,记M
(x,y,z)
,
x
叫做点M的横坐标,
y
叫做点M的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐标
。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(
x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2<
br>(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式 <
br>z
P
1
O
M
1
N
1
x
M<
br>P
2
M
2
H
N
2
y
N
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