(完整)高中数学必修2复习提纲

高中数学必修2复习提纲
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1、 三视图： 正视图：从前往后； 侧视图：从左往右； 俯视图：从上往下。
2、 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
3、直观图：斜二测画法
4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积 （二）空间几何体的体积
1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
1、柱体的体积
V?S
底
?h

2、圆柱的表面积
S?2
?< br>rl?2
?
r
2
2
3、圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r

2、锥体的体积
V?
2
1
S
底
?h

3
4、圆台 的表面积
S?
?
rl?
?
r?
?
Rl?
?
R

5、球的表面积
S?4
?
R


2
2
3、台体的体积
1
V?（S
上
?S上
S
下
?S
下
)?h

3
4
3
4、球体的体积
V?
?
R

3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1、平面含义：平面是无限延展的
2、平面的画法及表示
（ 1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，
0
锐角画成45，且横边画成邻边 的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母
?
、
?
、
?
等表示，如平面
?
、平
A
面
?
等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相
D
α
B
C
对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3、三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A?
?
?
A
?
α
·

B?
?
?
L
?
?L?
?

A?L
?
B?L
?
?
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
A

·

C
·


·

α
B

使
A?
?
,B?
?
,C?
?
.

公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为：
P?
?
?
?
?
?
?
?
?L,且P?L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1、空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
α
·

L
P
ab
?
?
?ac

cb
?
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4、注意点：①
a
?
与
b
?
所成的角的大小只由
a
、
b
的相互位置来确定，与
o
的选择无关，
为了简便，点
o
一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角
?
?(0,
?
2
)
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，
记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用
a?
?
来表示

a?
?

a?
?
?A

a
?

2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 ，则该直线与
此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a??
?
?
b?
?
?
?a
?

ab
?
?
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的 判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行。
符号表示：
a?
?
?
b?
?
?
?
?a?b?P
?
?
?

?

a
?
?
?
b
?
?
?
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平
行。简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
?
?
a?
?
?
?ab

?
??
?b
?
?
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
a
?
?

?
?
?
?
?
?
?a
?
?ab
?
?
?
?b
?
?
作用：可以由平面与平面平行得出直线 与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面
?
互相垂
直，记作L⊥
?
，直线L叫做平面
?
的垂线，平面
?
叫做直线L的垂面。如图，直线与平
面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

?
p
L

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A

l

?

B

?

2、二面角的记法：二面角
?
?l?
?
或
?
?AB?
?

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图







直线与直线的位置关系


第三章 直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线
l
与
x
轴相交时, 取
x
轴作为基准,
x
轴正向与直线
l
向上
方向之 间所成的角
?
叫做直线
l
的倾斜角.特别地,当直线
l
与< br>x
轴平行或重合时, 规定
直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
?
?0
?
.
2、 倾斜角α的取值范围：
0?
?
?180
.当直线l与x轴垂直时,
?
?90
.
3、直线的斜率:一条直线的倾斜角
?
(?
?90)
的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写
?
???

字母k表示,也就是
k?tan
?

⑴当直线l与x轴平行或重合时,
?
?0
,
k?tan0?0
；
⑵当直线l与x轴垂直时,
?
?90
,
k
不存在.
由此可知, 一条直线
l
的倾斜角
?
一定存在,但是斜率
k
不一定存在.
4、 直线的斜率公式:
给定两点
P
1
P
2
的斜率：
1
(x1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2)
,
x
1
?x
2
用两点的坐标来表示直线
P< br>?
??
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平 行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们
的斜率相等，那么它们平行，即
l
1
l
2
?k
1
?k
2
。
注意: 上面的等价是在 两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论
并不成立．即如果
k
1
?k
2
, 那么一定有
l
1
l
2
。
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们
的斜 率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
l
1
?l
2
?k
1< br>??
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线
l< br>经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜 率为
k

1
?k
1
?k
2
??1
。
k
2
y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点
P
1
(x
1< br>,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)< br>其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>)

y?y
1
x?x
1
?(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)

y
2?y
1
x
2
?x
1
2、直线的截距式方程：已知直线< br>l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
其中
a ?0,b?0


y
轴的交点为B
(0,b)
，

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二元一次方程
Ax ?
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
By?C?0
（A，B不同时为0）
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0
解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0

?
2x?2y?2?0

得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式：
PP
12
?
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y< br>0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
A1x?B1y?C1?0
，
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
2
：
A2x?B2y?C2?0
，则
l
1
与< br>l
2
的距离就是在
l
1
上任取一点
P(x
0
,y
0
)

，点P到
l
2
的距离就是直线
l
1
与
l
2
之间的距离
圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r
，圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0

2、圆的一般方程的特点：
(1)、①
x
2
和
y
2
的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)、圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆
的方程就确定了．
22
222

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特 殊的二元二次方程，代数特征明显，圆
的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
ax?by?c?0
，圆
C
：
x2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
DE
,?)
到直线的距离为
d
，则判别直线与圆的位置 关系的依据有以下几点：
22
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；
（2）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；
（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C< br>2
内切；
（5）当
l?|r
1
?r
2
|< br>时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.3.1空间直角坐标系


R
M
O
P
Q
M'
y
x

1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y、
z
分别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数组叫做点M在 此空

间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标 。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
( x
1
,y
1
,z
1
)
到点
P
2< br>(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的距离公式 < br>z
P
1
O
M
1
N
1
x
M< br>P
2
M
2
H
N
2
y
N