高中数学必修二知识点考点及典型例题

必修二
第一章 空间几何体
知识点：
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些面所围成 的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的
多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长
l
2
?a
2?b
2
?c
2
；正方体的对角线长
l?3a

3、球的体积公式：
V?
4
?　R
3
，球的表面积公式：
S ?4
?　R
2

3
2
1
S
1
h
1
4、柱体
V?s?h
，锥体
V?s?h
，锥体截面积比：
?
2

3
S
2
h
2
5、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l

⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l

典型例题：
★例1：下列命题正确的是( )
Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形
Ｂ.棱锥的底面一定是三角形
Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的
（ ）
1
2
A
2
倍 B
4
倍 C 2倍 D
2
倍
★例3： 已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这
个组合体的上、下两部 分分别是（ ）
Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱


正视图
侧视图
俯视图

★★例4：一个体积为
8cm
3
的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是
A．
8
?
cm
2
B
12
?
cm
. C
16
?
cm
2
． D．
20
?
cm
2

二、填空题
★例1：若圆锥 的表面积为
a
平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的
直径为__ _____________．
★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知识点：
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简
称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条 直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与
该直线平行（简称线面平行，则线线平 行）。
10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个 平面平行（简
称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行（简称
面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和
这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
（简称线线垂直 ，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，
则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（简称面面垂 直，则线面垂直）。
2

典型例题：
★例1：一棱锥被平 行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2，则此棱锥的
高（自上而下）被分成两段长度 之比为
A、1:
2
B、1:4 C、1:
(2?1)
D、1:
(2?1)

★ 例2：已知两个不 同平面
?
、
?
及三条不同直线a、b、c，
?
?
?
，
?
?
?
?c
，
a?
?
，
a?b
，c与b不平行，则（ ）
A.
b
?
且
b
与
?
相交
C.
b
与
?
相交


B.
b?
?
且
b
?

D.
b?
?
且与
?
不相交
★★ 例3：有四个命题：①平行于 同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直
线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④垂 直于同一平面的两个平面平行。其中正确
的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
★★例4：在正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E,F
分别是
DC和CC
1
的中点.求证：
D
1
E?平面ADF

例5：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为
棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1

第三章 直线与方程
知识点：
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2、直线方程：
⑴点 斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

D
1
A
1
B
1
C
1
E
D
F

B
C
y
2
?y
1

x
2
?x
1
A
⑶两点式：
y?y
1
y
2
?y
1

?
x?x
1
x
2
?x
1
xy
??1
ab
⑷截距式：
⑸一般式：
Ax?By?C?0

3、对于直线：
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
有：
⑴
l
1
l
2
?
?
?
k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2
⑵l
1
和
l
2
相交
?k
1
?k
2
；
⑶
l
1
和
l
2
重合
??
?
k
1
?k
2
；
?
b
1
?b
2
⑷
l
1
?l
2
?k
1k
2
??1
.
4、对于直线：
l
1
:A1
x?B
1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
有：
⑴
l
1
l
2
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C< br>2
?B
2
C
1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B1
；
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C
2
?B
2
C1
⑷
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
5、两点间距离公式：
P
1
P
2
?
6、点到直线距离公式：
d?
?x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2< br>?y
1
?
2

A?B
22
Ax
0
?By
0
?C

7、两平行线间的距离公式：
l
1
：
Ax?By?C
1< br>?0
与
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行，则
d?
典型例题：
C
1
?C
2
A?B
22

★例1：若过坐 标原点的直线
l
的斜率为
?3
，则在直线
l
上的点是（ ）
A
(1,3)
B
(3,1)
C
(?3,1)
D
(1,?3)

★例2：直线
l
1
:kx?(1?k)y?3?0和l
2
:(k? 1)x?(2k?3)y?2?0

互相垂直，则
k
的值是（ ）
A .-3 B .0 C . 0或-3 D . 0或1
第四章 圆与方程

知识点：
1、圆的方程： ⑴标准方程：
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
22
⑵一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.其中圆心为
(?
D
2
,?
E
2
)
，半 径为
2
2、直线与圆的位置关系
r?
1
D
2
?E
2
?4F
.
直 线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2< br>?r
2
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
； ⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
； ⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
4、空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

典型例题：
★例1：圆心在直线y=2x上，且与x轴相切与点（-1，0）的圆的标准方程是
_________________________.
★★ 例2：已知
圆C:x?y?4
，
（1）过点
(?1,3)
的圆的切线方程为________________.
（2）过点
(3,0)
的圆的切线方程为________________.
（3）过点
(?2,1)
的圆的切线方程为________________.
（4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________.
★★例3：已知圆C经过A(3,2)、Ｂ(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上。
（１）求圆Ｃ的方程；
（２）若直线Ｌ经过点P（－１，３）且与圆Ｃ相切， 求直线Ｌ的方程。

22