高中数学必修2第1、2章知识点+习题

第一章 空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：
正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积
S

?2
?
rl?2
?
r
2
3 圆锥的表面积
S?
?
rl?
?
r
2

4 圆台的表面积
S?
?
rl?
?
r
2
?
?< br>Rl?
?
R
2

5 球的表面积
S?4
?
R
2

（二）空间几何体的体积
1柱体的体积
V?S
底
?h

2锥体的体积
V?
1
3
S
底
?h

3台体的体积
V?
1
3
（S
上
?S
上
S
下?S
下
)?h

4球体的体积
V?
4
3
?
R
3

第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．



主视图 左视图 俯视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体
2．如果一个水平放置的 平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为
1
的等腰梯形，
那么原平 面图形的面积是( )．
A．2＋
2
B．
1＋2
2
C．
2＋2
2
D．
1＋2

3．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．
3
B．2
3
C．3
3
D．4
3

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球
的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若 使△ABC绕直线
BC
旋转一周，则所形
成的几何体的体积是( )．
A．
9
2
π B．
7
2
π C．
53
2
π D．
2
π
7．若底面是菱形的棱柱 其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则

这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3< br>的正方形，EF∥AB，EF＝
3
2
，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )．
A．
9
2
B．5
C．6 D．
15
2

9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误
．．
的是( )．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．


(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一 个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台
有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O
－AB
1
D
1
的体积为_____________．
14．如图，E，F分别为正方体的面 ADD
1
A
1
、面BCC
1
B
1
的中心，
则四边形BFD
1
E在该正方体的面上的射影可能是___________． 15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、
6
，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为
___________ ．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则< br>此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，
求它的深度．






18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]

19．如图，在 四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
2
，AD＝ 2，
求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

(第19题)






20．养路处建造圆锥形仓库用于贮 藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直
径为12 m，高4 m，养路处拟建一 个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新
建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？






第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通 常画成一个平行四边形，
锐角画成45
0
，且横边画成邻边的2倍长（如图）
D C
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平
α
面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对
A B
的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
α


A∈α

B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
α
·

C
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
·

公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
α
P

·

L
1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取
在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )
?
；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
2

a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，
直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P
叫 做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第二章综合检测题
一、选择题
1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．平行六 面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，既 与AB共面也与CC
1
共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
4．长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，异面直线AB，A
1
D
1
所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a?α，b?α B．a?α，b
∥
α
C．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α
6．下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a
∥
b，则a，b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a
∥
c.
其中真命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是线段A
1
B
1
，B
1
C
1
上的不与端点重合的动点，如
果 A
1
E＝B
1
F，有下面四个结论：
①EF⊥AA
1；②EF
∥
AC；③EF与AC异面；④EF
∥
平面ABCD.
其中一定正确的有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A．若a，b与α所成的角相等，则a
∥
b
B．若a
∥
α ，b
∥
β，α
∥
β，则a
∥
b
C．若a?α，b?β，a
∥
b，则α
∥
β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α ，A?l，直线AB
∥
l，直线AC⊥l，直线m
∥
α，n
∥
β，
则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB
∥
m B．AC⊥m
C．AB
∥
β D．AC⊥β
10．(2012·大纲 版数学(文科))已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，E、F分别为BB
1
、CC
1
的中点，
那么直 线AE与D
1
F所成角的余弦值为( )
A．－
43
5
B. .
5

C.
33
4
D．－
5

11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以
面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( )
A.
3
3
B.
1
3
C．0 D．－
1
2

12． 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成
的 角是( )
A．90° B．60°

C．45° D．30°
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25
分．把答案填在题中的横线上)
13．下列图形可用符号表示为________．

14．正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，二面角C
1< br>－AB
－C的平面角等于________．
15．设平面α
∥
平面 β，A，C∈α，B，D∈β，直线
AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．






三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1 7．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中 ，△ABC与△A
1
B
1
C
1
都为正三角形且AA
1
⊥面ABC，
F、F
1
分别是AC，A
1
C
1< br>的中点．
求证：(1)平面AB
1
F
1
∥
平面C< br>1
BF；
(2)平面AB
1
F
1
⊥平面ACC1
A
1
.






























18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－AB CD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD
＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是C D的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所 成的角和PB与平面ABCD所
成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．























19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平
面垂直于矩形ABC D所在的平面，BC＝22，M为BC的中
点．

(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．

20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的侧面BCC
1
B
1
是菱形，B< br>1
C⊥A
1
B.

(1)证明：平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
；
(2)设D是A
1
C
1
上的点，且A
1
B
∥
平面B
1
CD，求A
1
DDC
1
的值．








































21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝
2
2
AB，ABED是边 长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，
若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF
∥
底面ABC；

(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内
的两 条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.

22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A
1B
1
C
1
中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA
1
＝4，点D是AB
的中点．
(1)求证：AC⊥BC
1
；
(2)求证：AC
1
∥
平面CDB
1
；
(3)求异面直线AC
1
与B
1
C所成角的余弦值．

第一章 空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S＝
1
2
(1＋
2
＋1 )×2＝2＋
2
．
3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S
3表面
＝4×
4
＝
3
．
4．B解析：长方体的对角线是球的直径，
l＝
3
2
＋4
2
＋5
2
＝5
2
，2R＝5
2
，R＝
52
2
，S＝4πR
2
＝50π．
5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D解析：V＝V
13
大
－V
小
＝
3
πr
2
(1＋1.5－1)＝
2
π．
7．D解析：设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l
1
，l< br>2
，而
l
1
2
＝15
2
－5
2，
l
2
2
＝9
2
－5
2
，而
l
1
2
＋
l
2
2
＝4a
2
，即1 5
2
－5
2
＋9
2
－5
2
＝4a
2
，a＝8，S
侧面
＝4×8×5＝160．
8．D解析：过点E，F作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V＝2×< br>1
3
×
3
4
×3×2＋
1
2
×3× 2×
315
2
＝
2
．
9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；
平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶
2
∶
3
，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r
3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)< br>3
＝1∶2
2
∶3
3
．
13．参考答案：
1
6
a
3
．解析：画出正方体，平面AB
1
D
1< br>与对角线A
1
C的交点是对角线的三等分
点，
三棱锥O－AB
1
D
1
的高h＝
333
3
a，V＝
1
3
Sh＝
1
3
×
4
×2a
2
×
3< br>a＝
1
6
a
3
．
另法：三棱锥O－AB
1
D
1
也可以看成三棱锥A－OB
1
D
1
，它的高为 AO，等腰三角形OB
1
D
1
为底
面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：
6
，
6< br>．解析：设ab＝
2
，bc＝
3
，ac＝
6
，则V = abc＝
6
，c＝
3
，
a＝
2
，b＝1，l＝
3＋2＋1
＝
6
．
16．参考答案：12．解析：V＝Sh＝πr
2
h＝
4
3
3
πR
，R＝
3
64 ×27
＝12．
三、解答题
17．参考答案：
V＝
1
3
(S＋
SS
′
＋S)h，h＝
3V
3×190000S＋SS
′
＋S
′
＝
3600＋2400＋1600
＝ 75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R，正方体的棱 长为a，则CC'＝a，OC＝
2
2
a，
OC'＝R．
A'
C'
A
O
C

(第18题)
在Rt
△
C'CO
中，由勾股定理，得CC'
2
＋OC
2
＝OC'
2
，

即 a
2
＋(
2
2
a)
2
＝R
2
．
∴R＝
6
2
a，∴V
6
半球
＝
2
πa
3
，V
正方体
＝a
3
．
∴V
半球

∶V
正方体
＝
6
π∶2．
19．参考答案：
S
表面
＝S
下底面
＋S
台侧面
＋S
锥侧面

＝π×5
2
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
2

＝(60＋4
2
)π．
V＝V
台
－V
锥

＝
1
3
π(
r
－
1
1
2
＋r
1
r
2
＋
r
2
2
)h
3πr
2
h
1

＝
148
3
π．
20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体 积
V
1116256
1
＝
3
Sh＝
3
×π ×(
2
)
2
×4＝
3
π(m
3
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
V
1112
2882
＝
3
Sh＝
3
×π×(
2
)
2×8＝
3
π(m
3
)．
(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋4
2
＝4
5
，
仓库的表面积S
1
＝π×8×4
5
＝32
5
π(m
2
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为l＝
8
2
＋6
2
＝10，
仓库的表面积S
2
＝π×6×10＝60π(m
2
)．
(3) 参考答案：∵V
2
＞V
1
，S
2
＜S1
，∴方案二比方案一更加经济些．


详解答案
1[答案] D
2[答案] C
[解析] AB与CC
1
为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB平行与CC

1
相交的有：CD、C
1
D
1

与CC
1
平行且与AB相交的有：BB
1
、AA
1
，
第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．
3[答案] C
[解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；
2°l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；
3°l
∥
α时，在α内不存在直线与l相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．
4[答案] D
[解析] 由 于AD
∥
A
1
D
1
，则∠BAD是异面直线AB，A
1
D
1
所成的角，很明显∠BAD＝90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b
∥
α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定 有a
∥
b，C错误；
对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．

6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故 ①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，
在平面内，a
∥
c，而在空间中，a与 c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析] 如图所示．由 于AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，则EF⊥AA
1
，所以①正确；
当E，F分别是线段A
1
B1
，B
1
C
1
的中点时，EF
∥
A
1
C
1
，又AC
∥
A
1
C
1
，则E F
∥
AC，所以③不正确；当
E，F分别不是线段A
1
B
1
，B
1
C
1
的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A
1
B
1
C
1
D
1
∥
平面
ABCD，EF?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，所以EF
∥
平面ABCD，所以④正确．
8[答案] D

[解析] 选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α
⊥β，则a
∥
β或a?β，则β内存在直线l
∥
a，又b⊥β，则b⊥l， 所以a⊥b.
9[答案] C
[解析] 如图所示：

AB
∥
l
∥
m；AC⊥l，m
∥
l?AC⊥m；AB
∥
l ?AB
∥
β.
10[答案]
3
5
命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

[解析] 首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD
1
即为
异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
5＝DF＝D
1
F，DD
1
＝2，结合余弦定理得到结论．
11[答案] C
[解析] 取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE， ∴∠AED为二面角A－BC－D的
平面角
又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.
12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB
∥
SC，△ACS为正三 角形，∴∠ACS＝60°.

13[答案] α∩β＝AB

14[答案] 45°
[解析] 如图所示，正方体ABCD－A
1
B1
C
1
D
1
中，由于BC⊥AB，BC
1
⊥A B，则∠C
1
BC是二面角
C
1
－AB－C的平面角．又△BCC< br>1
是等腰直角三角形，则∠C
1
BC＝45°.
15[答案] 9

[解析] 如下图所示，连接AC，BD，
则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

∵α
∥
β，∴AC
∥
BD，
则
AS
SB
＝
CS
SD
，∴
8
6
＝
12
SD
，解得SD＝9.
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取BD中点，E 连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴
BD⊥平面AEC，AC?平面A EC，故AC⊥BD，故①正确．

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝
2
2
a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD， 故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以
③不正确．
④分别取BC，AC的中点为M，N，
连接ME，NE，MN.
则MN
∥
AB，且MN＝
1
2
AB＝
1
2
a，
M E
∥
CD，且ME＝
11
2
CD＝
2
a，
∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．
在Rt△AEC中，AE＝CE＝
2
2
a，AC＝a，
∴NE＝< br>1
2
AC＝
1
2
a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝6 0°，故④正确．
17[证明] (1)在正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，
∵F、F
1
分别是AC、A
1
C
1
的中点， ∴B
1
F
1
∥
BF，AF
1
∥
C1
F.
又∵B
1
F
1
∩AF
1
＝F
1
，C
1
F∩BF＝F，
∴平面AB
1
F
1
∥
平面C
1
BF. < br>(2)在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，∴B
1F
1
⊥AA
1
.
又B
1
F
1
⊥A
1
C
1
，A
1
C
1
∩AA
1
＝A
1
，
∴B
1
F
1
⊥平面ACC< br>1
A
1
，而B
1
F
1
?平面AB
1
F
1
，
∴平面AB
1
F
1
⊥平面ACC
1
A
1
.
18[解析]

(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.
又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG
∥
CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥A E.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，
因为sin∠PBA＝
PA
PB
，sin∠BPF＝
BF
PB
，所以PA＝BF.
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD
∥
BC，又BG
∥
CD，所 以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC
3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
BG＝AB
2
＋AG
2
＝25，BF＝
AB
2
BG
＝
16
25
＝
85
5
.于是PA＝BF＝
85
5
. < br>又梯形ABCD的面积为S＝
1
2
×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－A BCD的体积为
V＝
1
3
×S×PA＝
1851285
3
×16×
5
＝
15
.
19[解析] (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
＝

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，
∴EM
2
＋AM
2
＝AE
2
.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
∴tan∠PME＝
PE
EM
＝
3
3
＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
20[解析]

(1)因为侧 面BCC
1
B
1
是菱形，所以B
1
C⊥BC
1，
又已知B
1
C⊥A
1
B，且A
1
B∩BC
1
＝B，
所以B
1
C⊥平面A
1
BC
1
，又B
1
C?平面AB
1
C
所以平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
.
(2)设BC
1
交B
1
C于点E，连接DE，则DE是平面A
1< br>BC
1
与平面
B
1
CD的交线．
因为A
1
B
∥
平面B
1
CD，A
1
B?平面A
1
BC
1
，平面A
1
BC
1
∩平面B
1CD＝DE，所以A
1
B
∥
DE.
又E是BC
1
的中点，所以D为A
1
C
1
的中点．
即A
1
DDC
1
＝1.
21[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．

(2)证明：设CB
1与C
1
B的交点为E，连接DE，又四边形BCC
1
B
1
为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC
1
的中点，∴DE
∥
A C
1
.
∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF
∥
AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF
∥
平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝
2
2
AB，
∴CA
2
＋CB
2
＝AB
2
，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点 H，连GH，∵BC＝AC＝
22
2
AB＝
2
，
∴CH⊥AB，且CH＝
1
2
，又平面ABED⊥平面ABC
∴G H⊥平面ABCD，∴V＝
111
3
×1×
2
＝
6
.
22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C< br>1
中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥
BC.
又∵C
1
C⊥AC.∴AC⊥平面BCC
1
B
1
.
∵BC
1
?平面BCC
1
B，∴AC⊥BC
1
.
∵DE?平面CDB
1
，AC
1
?平面CDB
1
，
∴AC
1
∥
平面CDB
1
.
(3)解：∵DE
∥
AC
1
，
∴∠CED为AC
1
与B
1
C所成的角．
在△CED中， ED＝
15
2
AC
1
＝
2
，
CD＝1
2
AB＝
5
2
，CE＝
1
2
CB< br>1
＝22，
∴cos∠CED＝
222
5
＝
5
.
2
∴异面直线AC
1
与B
1
C所成角的余弦值为
22
5
.