必修2-高一数学人教版最全知识点(必须珍藏)

高中数学必修2知识点总结
目录
第一章 空间几何体 ....... .................................................. .................................................. .................................. 3
1.1柱、锥、台、球的结构特征 .............................. .................................................. ............................................ 3
1.2空间几何体的三视图和直观图................................. .................................................. ..................................... 5
1.3 空间几何体的表面积与体积 ..................................... .................................................. .................................... 6
第二章 直线与平面的位置关系 ....................................... .................................................. ................................... 7
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 .......................... .................................................. ............................... 7
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 .................................. .................................................. ....................... 8
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 ............................ ..................................... 9
2.2.直线、平面平行的判定及其性质 ........................... .................................................. .................................... 10
2.2.1 直线与平面平行的判定 ....................................... .................................................. ..................................... 10
2.2.2 平面与平面平行的判定 ....................................... .................................................. ..................................... 10
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 .......................... .................................................. ......... 11
2.3.1直线与平面垂直的判定 ................. .................................................. .................................................. .......... 12
2.3.2平面与平面垂直的判定 ................ .................................................. .................................................. ........... 12
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 . .................................................. .................................. 12
第三章 直线与方程 ............................................ .................................................. ............................................... 13
3.1直线的倾斜角和斜率 ................................. .................................................. .................................................. . 13
3.1倾斜角和斜率 ............................... .................................................. .................................................. ................ 13
3.1.2两条直线的平行与垂直 .......... .................................................. .................................................. ................. 14
3.2.1 直线的点斜式方程 ......... .................................................. .................................................. ....................... 14
1 18

3.2.3 直线的一般式方程 ....................... .................................................. .................................................. ......... 14
3.3直线的交点坐标与距离公式 ................. .................................................. .................................................. ..... 15
3.3.1两直线的交点坐标 ....................... .................................................. .................................................. ............ 15
3.3.2两点间距离 ................... .................................................. .................................................. ............................ 15
............. .................................................. .................................................. .................. 15
3.3.3点到直线的距离公式
..... .................................................. .................................................. .......................................... 16
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程 ..................... .................................................. .................................................. ..................... 16
4.1.2 圆的一般方程 ....... .................................................. .................................................. ................................. 16
4.2.1 圆与圆的位置关系 ......................................... .................................................. ........................................... 16
4.2.2 圆与圆的位置关系 .............................. .................................................. .................................................. .. 17
4.2.3 直线与圆的方程的应用 ...................... .................................................. .................................................. . 17
4.3.1空间直角坐标系 ............................ .................................................. .................................................. ........... 18
4.3.2空间两点间的距离公式 ............... .................................................. .................................................. ............ 18


2 18

高中数学必修2知识点总结
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征






（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相 邻两个四边形的公共边都互相平
行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
'
表示 ：用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?ABCDE
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD

'''''
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平 行四边形；侧棱平行且相等；平
行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
P?ABCDE

几何特征：侧面、对角面都 是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离
与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
P?ABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
3 18
'''''
'''''

（4）圆柱：定义：以矩 形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆 ；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩
形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

4 18

1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

(2)画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
（3）直观图：斜二测画法
（4）斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

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1.3 空间几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch
'

S
圆锥侧面积
?
?
rl
2
S
正棱台侧面积
?
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'
'
'
V?(S? SS?S)h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

V
台
?(S?SS?S)h

圆台
33
3




（4）球体的表面积 和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R
3
2




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第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1基本概念及公理

（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一
个锐角内）；也可以 用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③ 点与平面的关系：点
A
在平面?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面
?
内，记作
A?
?

点与直线的关系：点
A
的直线
l
上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l
；
直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在平面α内，记作
l
?
α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
P?AIB?AIB?l,P?l

公理3的作用：
A
D
α
B
C
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
7 18

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b


=>a∥c
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取< br>在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

?
2
8 18

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
9 18

2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
10 18

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
11 18

2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内 的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，
直线L叫做平面α的垂线，平 面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做
垂足。
L

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所
成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时 , 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k =
tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、给定两点P
1
(x< br>1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2< br>),x
1
≠x
2
,用两点的坐标来表示直线P
1
P< br>2
的斜率：
斜率公式: k=y
2
-y
1
x
2
-x
1

13 18

3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有 斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 即
如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那 么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为
负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线
l
经过点
P
，且斜率为
k

0
(
x
0
,
y
0
)
y?y
0
?k(x?x
0
)

2、、直线的斜截式方程：已知直线
l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)

y?kx?b

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点 式方程：已知两点
y-y
1
y-y
2
=x-x
1
x -x
2

2、直线的截距式方程：已知直线
l
与
x
轴的交点为A
(a,0)
，与
P
1
(
x
1
,
x
2
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)
其中
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
轴的交点为B
(0,b)
，其中
a?0,b?0

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于
x,y
的二 元一次方程
Ax?
2、各种直线方程之间的互化。
By?C?0
（A，B不同时为0）
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3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
?
3x?4y?2?0
解：解方程组
?
得 x=-2，y=2
2x?2y?2?0
?
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2两点间距离
两点间的距离公式
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
3.3.3点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
点
P
(
x
0
,
y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线
l
1
和
l< br>2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?


C
1
?C
2
A?B
22

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第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)?(y?b)?r

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法：
2222
22
（1）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在圆外 （2）
(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r
，点在圆上
22
2
（3）
( x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r
，点在圆内
222
222
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?
0

22
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x
2
和y
2
的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定
了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则
指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：
a x?by?c?0
，圆
C
：
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?
0
，圆的半径为
r
，圆心
(?
直线的距离 为
d
，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
DE
,?)
到
22
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（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r< br>时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1 ）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆< br>C
1
与圆
C
2
外切；
（3）当
|
r
1
?
r
2
|?
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交；
（4）当< br>l?
|
r
1
?r
2
|
时，圆
C1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?|r
1
?r< br>2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；

4.2.3 直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb ?C
，则有
d
A
2
?B
2
?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

22
（2 ）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
??
?
y?b
?
?r
2
，先将方程联立消元，得到一个一 元二
次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

注：如果圆心的位置 在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
去解直线与圆相切 的问题，其中
?
x
0
,y
0
?
表
2
示切点坐标，r表示半径。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标 系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转
17 18

化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
(3)过圆上一点的切线方程：
① 圆
x
2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
(课本命题)．
②圆
(x-a)
2
+(y-b)< br>2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0-b)(y-b)= r
2
(课本
命题的推广)．

2
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x, y,z)
，
x
、
y
、
z
分别是P、Q、
R
R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
O
M
Q
M'
y
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直 角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来 表示，该数组叫
x
P
做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z )
，
x
叫做点M的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P< br>1
(
x
1
,
y
1
,
z
1< br>)
到点
P
2
(x
2
,y
2
,z2
)
之间的距离
公式
z
P
1
P
2< br>?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2


N
1
x
P
1
O
M1
M
P
2
M
2
H
N
2
yN
18 18