高中数学必修二第三章知识点总结[1].

高中数学必修二第三章知识点总结
一、直线与方程
１．直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行
或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
２．直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常
用k表示。 即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
?
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存
在。
?
???< br>②过两点的直线的斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x< br>1
?x
2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的 斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求
得 ；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
３．直线方程
① 点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点< br>?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y=y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的 横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
④截矩式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
? ?1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a ,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
４．直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（１）平行直线系
平行于已知直线< br>A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A< br>0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x?B
0
y?C?0
（C为常数）
（２）垂直直线系
垂直于已知 直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：

B
0
x-A
0
y+m=0
（ｍ为常数）
（３）过定点的直线系
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程
（ⅰ）斜率为
k< br>的直线系：
为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?< br>?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0< br>（
?
为参数）
５．两直线平行与垂直

（１）当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2< br>?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

（２）当
l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
?0,l
2
:A
2
x+B
2
y+C2
?0

l
1
l
2
?A
1
B
2
-B
1
A
2
?0且AC
12
-C
1
A
2
?0

l
1
?l
2
?A
1
A
2
+B
1
B
2
?0

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
６．两条直线的交点 < br>l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
Bx
2
,y
2
）
７．两点间距离公式：设
A(x
1,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，
则
|AB|?( x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

８．点到直线距离公式：一点
P
?
x0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2
９．两平行直线距离公式
（１）在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
（２）两条平行直线Ａｘ＋Ｂｙ＋ｍ＝０，Ａｘ＋Ｂｙ＋ｎ＝０的距离
d=
m-n
A+B
22

二同步检测
（一）选择题
１．点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
（A）2 （B）
1
（C）1 （D）
7

22
２．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
３．图中的直线l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则( )．
A．k
1
＜k
2
＜k
3
C．k
3
＜k
2
＜k
1



(第2题)

B．k
3
＜k
1
＜k
2

D．k
1
＜k
3
＜k
2

４．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
５．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
６．已知A（1，2）、B（-1， 4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ）
（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0

７．．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位 ，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直
线l'，此时直线l'

与l重合，则直线l'

的斜率为( )．
A．
a

a＋1
B．
－
a

a＋1
C．
a＋1

a
D．
－
a＋1

a
８．点(4，0)关于直线x＋y＋2＝0的对称点是( )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－２，－６)
９．直线
2x?y?m?0和x?2y?n?0
的位置关系是
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定 < br>１０．
若动点
P
到点
F(1,1)
和直线
3x?y? 4?0
的距离相等，则点
P
的轨迹方程为
（ ）
A．
3x?y?6?0
B．
x?3y?2?0

C．
x?3y?2?0
D．
3x?y?2?0

（二）填空题
１１．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .
１２．
直线
x?y?1?0
上一点
P
的横坐标是
3
，若该直线绕点
P
逆时针旋转
90
得
0
直线< br>l
，则直线
l
的方程是 ．
１３．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .
１４．
若方程
x?my?2x?2y?0
表示两条直线，则
m< br>的取值是
（三）解答题
１５．
?
ABC中，A(0,1)，AB边上的高线方程是x+2y-4=0,AC边上的中线方程是2x+ y-3=0,
求直线AB,BC,AC所在的中线方程





１６．
．已知点
A(1,1)
，
B(2,2)
， 点
P
在直线
y?
22
1
22
x
上，求PA?PB
取得
2
最小值时
P
点的坐标。

１７．
求经 过点
A(?2,2)
并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是
1
的直线方程。







１８．直线l过点(1， 2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直
线l的方程．







１９．过点(2,3)的直线ｌ被两 条直线
l
1
：2x-5y+9=0,
l
2
:2x-5y-7 =0所截得的线段AB的中
点恰好在直线x-4y-1=0上，求直线ｌ的方程