高中数学必修二难度：较难

绝密★启用前
高中数学必修二（人教B版）难度：较难（★★★★☆）
学校 ：___________姓名：___________班级：___________考号：_______ ____

注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
分卷I
分卷I 注释
一、 选择题（注释）
1. 在空间直角坐标系中，y轴上任意一点的坐标(x,y,z)应满足的条件是 …（ ）
=0,y=0,z∈ R =0,z=0,y∈ R
=0,y=0,x∈ R =y=z=0
2. 下列说法正确的是( )．
A．零向量有确定的方向
B．数轴上等长的向量叫做相等的向量
C．向量 的坐标
AB
＝－
BA

D．|
AB
|＝
AB

3. 设三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的体积为V,P、Q分别是侧棱AA
1
、CC
1
上的点，且PA=QC
1
，
则四棱锥BAPQC的体积为( )
A. B. C. V D. V
4. 在空间直角坐标系
Oxyz
中，点
M
的坐标是(1,3,5)，则其关于
x
轴的对称点的坐
标是( )．
A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)
C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)
5. 【题文】如图，在空间直角坐标系中，正方体 的棱长为1， ，则 等于（ ）

A． B． C． D．
6. 下列三视图表示的几何体是（ ）

图2
A.圆台 B.棱锥 C.圆锥 D.圆柱

7. 设实数x、y满足(x-2) +y =3，那么 的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 已知平面α∩平面β=
l
,点M∈α,N∈α,P∈β,P
l
,又MN∩
l
=R,过M,N,P三点
所确定的平面记为γ,则β∩γ等于( )
A.直线MP B.直线NP C.直线PR D.直线MR
9. 如图，顶点为
P
的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
A
是底面圆周上的点，
B
是
底面圆内的点，
O
为底面圆的圆心，
AB
⊥
OB
，垂足为
B
，
OH
⊥
PB
，垂足为
H
，
且
PA
＝4，
C
为
PA
的中点，则当三棱锥
O HPC
的体积最大时，
OB
的长是（ ）

A． B． C． D．
10. 经过空间一点
P
作与直线
l
成45°角的直线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．有限条 D．无数条
2 2
分卷II
分卷II 注释
二、 注释（填空题）
11. 已知P(1,0,0)、Q(0,0,1)、R(0,1,0)、S(1,1,1),则以点P 、Q、R、S为顶点的三
棱锥的外接球的方程为_________.
12. 已知
A
(1,2)，
B
(－3，
b
)两点间的距离为 ，则
b
＝______.
2
13. 在空间直角坐标系中,方程x =4的几何意义为__________.
14. 有下列叙述:
①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定为(0,b,c)
②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定为(0,b,c)
③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标记作(0,0,c)
④在空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标记作(a,0,c)
其中正确的有_____________.
15. 点
A
(－1，－2)与点
B
(3,1)之间的距离是__________．
三、 注释（解答题）
16. 已知数轴上有点
A
(－2)、
B
（1）、
D
（3），点
C
在直线
AB
上，且有 ，延
长
DC
到
E
，使 ，求点
E
的坐标．
2 2 2
17. 已知一个球面方程为(x-2) +y +(z+1) =9,求球面关于点M(3,6,-2)对称的球面
方程.
18. 在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是( , ,0),点D在平面
yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.

(1)求向量 的坐标;
(2)设向量 和 的夹角为θ,求cosθ的值.
19. 在空间直角坐标系中作出以下各点：P(1,1,1)、Q(-1,1,-1).
20. 如图，以 正方体三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在对角
线AB上,点Q在棱CD上 .


(1)当P点为AB中点,Q在CD上运动时,探究|PQ|的最小值；
(2)当Q为CD中点,P在AB上运动时,探究|PQ|的最小值.
21. 如图所示，△
ABC
为正三角形，
EC
⊥平面
ABC
，
BD
∥
CE
，且
CE
＝
CA
＝
2
BD
，
M
、
N
分别是
EA
、
AC
的中点，求证：
（1）
DE
＝
DA
；
（2）平面
MNBD
⊥平面
ECA
；
（3）平面
DEA
⊥平面
ECA
.

答案解析部分(共有 21 道题的解析及答案)
一、选择题
1、 思路解析 : 考查空间点的坐标.空间直角坐标系中y轴上点的坐标可以是任意实数，其
他坐标均为0.故选B.
答案： B
2、C
3、 解析： 把三棱柱看成以ACC
1
A
1
为底的四棱柱的一半.设四边形ACC
1
A
1
的面积为S,B
1
到它的距离为h.
则Sh=2V.∴四棱锥BAPQC的体积为 Sh= 2V= V，故选C.
答案： C
4、C
5、 【答案】C
【解析】
试题分析：在空间直角坐标系中写出点 的坐标， ， ，所以
.
考点：空间向量的坐标.
6、 解析： 由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体 .又侧视图和正视图均是等腰
梯形，所以该几何体是圆台.
答案： A
7、 解析： 因 ，它表示原点(0,0)和圆(x-2) +y =3上一点(x,y)连线的斜率，设k= ，
即kx-y=0，该直线和圆有公共点，所以 ，解得 ，即 .
答案： D
8、 解析 : 如图所示,

∵MN∩
l
=R,且M、N都在γ面内,∴R在γ面内,
∵R∈
l
,
l
,∴R∈β.
∴R是β面与γ面的公共点.
∵P是γ面与β面的公共点,∴β∩γ=PR.
答案： C
9、 解析： ∵
AB
⊥
OB
，
AB
⊥
OP
，∴
AB
⊥平面
PBO
．
2 2

又
PB
平面
PBO
，∴
AB
⊥
PB
．
又
OH
⊥
PB
，∴面
PAB
⊥面
POB
．
∴
OH
⊥
HC
．∴
OH
⊥
PA
．
又
C
是
PA
的中点，截面为等腰直角三角形，∴
OC
⊥
PA
．∴
PC
⊥平面
OHC
．∴ ．
又
PC
＝2，则当
S
△
HOC
最大时，
V
P HCO
最大，此时
HO
＝
HC
，
HO
⊥
HC
．
又 ，∴ ．∴ ．
∴∠
HPO
＝30°．∴ ．
答案： D
10、 解析： 运用空间想象力易知过空间一点
P
作与直线
l
成45°角的直线的全体构成
以
P
为顶点的两个锥形．
答案： D
二、填空题
11、 解析： 以P、 Q、R、S四点为顶点构造一个正方体，则正方体的外接球就是三棱锥的
外接球.画出图形可知该正方体 的中心为( , , )，边长为1，于是球半径为 .
答案： (x- ) +(y- ) +(z- ) =
12、－2
2
13、 解析： x =4等价于面x=-2或面x=2,它们分别代表两个垂直于x轴的平面.
答案： 两个平行平面x=-2与x=2
14、
②③④
15、 解析： 已知两点的坐标可以直接利用两点间距离公式求距离，所以 ．
答案： 5
三、解答题
16、解： 设
C
(
x
)，
E
(
x
′)，如图所示，则 ，
x
＝－5，所以
C
(－5)．

因为
E
在
DC
的延长线上，所以 .所以 ，即点
E
( )．
2 2 2

17、
思路解析： 考查空间的中点公式，应用对称的性质，可由平面到空间的类
比得到空间两点坐标的中点公式.
解： 易知球心的坐标为(2,0,-1),设球心关于M的对称点坐标为(x、y、z)，则 解
得 即所求球心坐标为(4,12,-3).又因为对称后的球的半径不变,所以所求的球
面 方程为(x-4)
2
+(y-12)
2
+(z+3)
2
=9.
18、 解析 : (1)过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠
DCB=30°,

BC=2,得BD=1, CD= .
∴DE=CDsin30°= ,
OE=OB-BE=OB-BDcos60°=1- = .
∴D点的坐标为(0,- , ),即向量OD的坐标为(0,- , ).
(2)依题意有 =( , ,0), =(0,-1,0), =(0,1,0),所以 = - =( ,-1, ),
= - =(0,1,0).
设向量 和 的夹角为θ,则cosθ=
= = ,
即cosθ= .
19、 思路分析： 本题考查在空间直角坐标系中作出点的方法，关键是搞清如何
确定点的位置.
解： 要作出 点P(1,1,1)，按以下步骤：①从原点出发沿x轴正方向移动1个单
位；②沿与y轴平行的方向向 右移动1个单位；③沿与z轴平行的方向向上移动
1个单位即可.同理可作出点Q(-1,1,-1). 如下图所示.

20、 思路解析： 考查空间坐标系中点的坐标求法，两点间距离公式的 使用，最
值问题的探究能力.(1)当Q点在CD上运动，可设Q(0,2a, z)，当z变化时，即
表示Q点在CD上运动，由两点间的距离公式可求；(2)当P在AB上运动时，可
设P(x, x,2a-x)，然后同(1).
解： (1)设正方体的棱长为2a,则P(a,a,a)，Q(0,2a,z).

∴ .当且仅当z=a,也就是Q(0,2a,a)位于CD的中点时，PQ最小.
(2)依题意设Q(0,2a,a),P(x,x,2a-x).所以 .当且仅当x=a,即P(a,a,a)时取等
号，此时P位于AB的中点.
21、 证明： （1）如图，取
EC
的中点
F
，连接
DF
，∵
EC
⊥平面
ABC
，
∴
EC
⊥
BC
，易知
DF
∥
BC
，∴
DF
⊥
EC
.

在Rt△
EFD
和Rt△
DBA
中，∵
EF
＝
EC
＝
BD
，
FD
＝
BC
＝
AB
，∴
△
EFD
≌Rt△
DBA
.
∴
DE
＝
DA
.
（2）
MN
为△
ECA
的中位线，则
MN EC
.
∴
MN
∥
BD
，∴
N
点在平面
BDM
内．
∵
EC
⊥平面
ABC
，∴
EC
⊥
BN
.又
CA
⊥
BN
，
EC CA
＝
C
.
∴
BN
⊥平面
ECA
.
∵
BN
在平面
MNBD
内，
∴平面
MNBD
⊥平面
ECA
.
（3）∵
DM
∥
BN
，
BN
⊥平面
CAE
，
∴
DM
⊥平面
ECA
，又
DM
平面
DE
A，
∴平面
DE
A⊥平面
ECA
.
Rt