高中数学必修二 柱、锥、台、球的表面积和体积

1.3柱、锥、台、球的表面积和体积
考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些
简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体 积的运用．
重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和
体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用．
经典例题：在三棱柱ABC—DEF中，已 知AD到面BCFE的距离为h，平行四边形BCFE
的面积为S．
求：三棱柱的体积V．




当堂练习：
1．长方体ABCD-A1 B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，
绳子的最短长度 是（ ）
A．+1 B． C． D．
2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）
A．8R2 B． 9R2 C．10R2 D．12R2
3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最
短距离是（ ）
A． 10cm B． 5cm C． 5cm D．cm
4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ）
A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍
5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．1倍 D．1倍
6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为（ ）
A．4 B． 3 C． 2 D． 1
8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余< br>部分的体积是（ ）
A．a3 B．a3 C．a3 D．a3
9.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、C D的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱
锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．

10.棱锥V- ABC的中截面是A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积
之比是（ ）
A．1：2 B． 1：4 C．1：6 D．1：8
11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ）
A．1：32 B．1：24 C．1：64 D． 1：256
12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．
（ ）
D．
13．棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都 相切，则这个球的体积应为
A． 43 B． C． D．
14．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________．
15．E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A- BCE（A，
D重合）， 则此三棱锥的体积为____________．
16.直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形
的中心，则四棱锥C- ABED的体积是________________．
17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋
转一周,所得旋转体的体积是________________．
18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接
圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?



19．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心
O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．








20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的
全面积S和体积V．

21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体， E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求
四棱锥A1-EBFD1的体积．


参考答案：

经典例题： 解法一：把三棱柱补成一平行六面体EFDG—BCAH，可看成以s为底，以h
为高，则体积为sh． VABC-DEF= 这就是用补的方法求体积．
s解法二：连DB、DC、BF，把三棱柱分割成 三个等体积的三棱锥，如D—BEF就是以
为底，高为h的三棱锥，则VD- BEF=
当堂练习：
则VABC-DEF=3 VD-BEF=．
1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6R2; 15. 16.
; 17.
18. 如图 ,SAB是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x ,
由

与相似, 则
,则圆柱的全面积S=S侧+2S底OO1=SO-SO1=12-
=2








19. 解：
r=15cm，
AB2+BC2=AC2，
则当时,S取到最大值．
ABC为直角三角形， ABC的外接圆O1的半径
因圆O1即为平面ABC截球O所得的圆面，因此有R2=（）2+152，

R2=300，S球=4R2=1200（cm2）.
20. 解:设母线长为

底面半径,高
, 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时,
则S全=
21. 解：四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连
接EF，则，平面ABB1A1，
三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，
a， S


棱长即