高中数学必修2圆和方程经典培优题组

（数学2必修）第四章
圆与方程
[基础训练A组]
一、选择题
１．圆
(x?2)
2
?y
2
?5关于原点
P(0,0)
对称的圆的方程为 ( )
A．
(x?2)
2
?y
2
?5




B．
x
2
?(y?2)
2
?5

D．
x
2
?(y?2)
2
?5
C．
(x?2)
2
?(y?2)
2
?5

2．若
P(2,?1)
为圆
(x?1)
2
?y
2
?25< br>的弦
AB
的中点，则直线
AB
的方程是（ ）
A.
x?y?3?0

C.
x?y?1?0

B.
2x?y?3?0

D.
2x?y?5?0

3．圆
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
上的点到直线
x ?y?2
的距离最大值是（ ）
A．
2
B．
1?2
C．
1?
2
D．
1?22

2
4．将直线
2x?y?
?
?0< br>，沿
x
轴向左平移
1
个单位，所得直线与
圆
x2
?y
2
?2x?4y?0
相切，则实数
?
的值为（ ）
A．
?3或7
B．
?2或8
C．
0或10
D．
1或11

5．在坐标平面内，与点
A(1,2)
距离为
1
，且与点
B(3,1)

距离为
2
的直线共有（ ）
A．
1
条 B．
2
条 C．
3
条 D．
4
条
6．圆< br>x
2
?y
2
?4x?0
在点
P(1,3)
处 的切线方程为（ ）
A．
x?3y?2?0
B．
x?3y?4?0
C．
x?3y?4?0
D．
x?3y?2?0

二、填空题
22
1．若经过点
P (?1,0)
的直线与圆
x?y?4x?2y?3?0
相切，则此直线在
y< br>轴上的截距是
__________________.
2．由动点
P< br>向圆
x
2
?y
2
?1
引两条切线
PA,PB
，切点分别为
A,B,?APB?60
，则动点
P
的轨迹方程
为 。
3．圆心在直线
2x?y?7?0
上的圆
C
与
y
轴交于两点
A(0,?4),B(0,?2)
,则圆
C
的方程为 .
４．已知圆
?x?3
?
?y
2
?4
和过原点的直线
y?kx
的交点为
P,Q

2
0
1

则
OP?OQ
的值为________________。
5．已知
P
是直线
3x?4y?8?0
上的动点，
PA,PB
是圆
x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
的切线，
A,B
是切点，
C
是圆心，那么四边形
PACB
面积的最小值是_________ _______。
三、解答题
1．点
P
?
a,b
?在直线
x?y?1?0
上，求
a
2
?b
2
?2 a?2b?2
的最小值。



2．求以
A(?1,2),B(5,?6)
为直径两端点的圆的方程。




3．求过点
A
?
1,2
?
和
B
?
1,10
?
且与直线
x?2y?1?0
相切 的圆的方程。


4．已知圆
C
和
y
轴相切，圆 心在直线
x?3y?0
上，且被直线
y?x
截得的弦长为
27


（数学2必修）第四章
圆与方程
[综合训练B组]
一、选择题
1．若直线
x?y?2
被圆
(x?a)
2?y
2
?4
所截得的弦长为
22
,
则实数
a
的值为（ ）
A．
?1
或
3
B．
1
或
3
C．
?2
或
6
D．
0
或
4

2．直线
x?2y?3?0
与圆(x?2)
2
?(y?3)
2
?9
交于
E,F
两点，
则
?
EOF
（
O
是原点）的面积为（ ）
Ａ．
3
2
Ｂ．
3
4
Ｃ．
25
Ｄ．
65
5

3．直线
l
过 点
（?2，0）
，
l
与圆
x
2
?y
2?2x
有两个交点时，
斜率
k
的取值范围是( )
2
C
的方程。，求圆

A． B．
（?22，22）（?2，2）
C．
（?
11
22
（?，）
D．
，）
88< br>44
4．已知圆C的半径为
2
，圆心在
x
轴的正半轴上，直线
3x?4y?4?0
与
圆C相切，则圆C的方程为（ ）


A．
x
2
?y
2
?2x?3?0

C．
x
2
?y
2
?2x?3?0

B．
x
2
?y
2
?4x?0

D．
x
2
?y
2
?4x?0

5．若过 定点
M(?1,0)
且斜率为
k
的直线与圆
x
2
? 4x?y
2
?5?0
在
第一象限内的部分有交点，则
k
的取值范围是（ ）

A.
0?k?5
B.
?5?k?0

C.
0?k?13
D.
0?k?5

６．设 直线
l
过点
(?2,0)
，且与圆
x
2
?y
2
?1
相切，则
l
的斜率是（
A．
?1
B．
?
）
1

2

C．
?
3

3
D．
?3

二、填空题
1．直线
x?2y?0
被曲线
x
2
? y
2
?6x?2y?15?0
所截得的弦长等于
2．圆
C
：
x?y?Dx?Ey?F?0
的外有一点
P(x
0
, y
0
)
，由点
P
向圆引切线的长______
2． 对 于任意实数
k
，直线
(3k?2)x?ky?2?0
与圆
x
2
?y
2
?2x?2y?2?0
的
位置关系是_________
4．动圆
x
2
?y
2
?(4m?2)x?2my?4m2
?4m?1?0
的圆心的轨迹方程是 .
５．
P
为圆
x
2
?y
2
?1
上的动点，则点
P
到 直线
3x?4y?10?0
的距离的
最小值为_______.
22
三、解答题
１．求过点
A(2,4)
向圆
x?y?4
所引的切线方程。



3
22

２．求直线< br>2x?y?1?0
被圆
x
2
?y
2
?2y?1?0< br>所截得的弦长。




３．已知实数
x,y满足
x
2
?y
2
?1
，求






４．已知两圆
x
2
?y
2
?10x?10y?0,x
2
?y
2
?6x?2y?40?0，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。
y?2
的取值范围。
x?1



（数学2必修）第四章
圆与方程
[提高训练C组]
一、选择题
1．圆：
x
2
?y2
?4x?6y?0
和圆：
x
2
?y
2
?6x ?0
交于
A,B
两点，
则
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
A.
x?y?3?0
B．
2x?y?5?0

C．
3x?y?9?0
D．
4x?3y?7?0

2． 方程
x?1?1?(y?1)
表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
3．已知圆
C：
(x?a)?(y?2)?4(a?0)
及直线
l:x?y?3?0
，
当直线
l
被
C
截得的弦长为
23
时，则
a ?
（ ）
A．
2
B．
2?2

C．
2?1

2
22
2
D．
2?1

2
4．圆
(x?1)?y?1
的圆心到直线
y?

3
x
的距离是（ ）
3
4

1
3
B．
2
2
C．
1
D．
3

A．
5．直线
3x?y?23?0
截圆
x
2
?y
2
?4
得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A．
30
B．
45

C．
60
D．
90

6．圆x
2
?y
2
?1
上的点到直线
3x?4y?25?0< br>的距离的最小值是（ ）
A．6 B．4
C．5 D．1
7．两圆
x
2
?y
2
?9
和
x
2
?y
2
?8x?6y?9?0
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．内切 D．外切
00
00

二、填空题
1．若
A(1,?2,1),B( 2,2,2),
点
P
在
z
轴上，且
PA?PB
，则 点
P
的坐标为
2．若曲线
y?1?x
2
与 直线
y?x?b
始终有交点，则
b
的取值范围是___________；
若有一个交点，则
b
的取值范围是________；若有两个交点，则
b< br>的取值范围是_______；
３．把圆的参数方程
?
?
x?1?2 cos
?
化成普通方程是______________________．
?y??3?2sin
?
22
４．已知圆
C
的方程为
x? y?2y?3?0
，过点
P(?1,2)
的直线
l
与圆
C< br>
交于
A,B
两点，若使
AB
最小，则直线
l
的方程是________________。
５．如果实数
x,y
满足等式(x?2)?y?3
，那么
22
22
y
的最大值是______ __。
x
6．过圆
x?(y?2)?4
外一点
A(2,?2)，引圆的两条切线，切点为
T
1
,T
2
，则直线
TT< br>12
的方程为________。
三、解答题
1．求由曲线
x?y?x?y
围成的图形的面积。

2．设
x?y?1?0,
求
d?
的最小值。

3 ．求过点
M(5,2),N(3,2)
且圆心在直线
y?2x?3
上的圆的方 程。
4．平面上有两点
A(?1,0),B(1,0)
，点
P
在圆 周
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?4
上，求使
AP?BP
取最小值时点
P
的
22
22
2 2
x
2
?y
2
?6x?10y?34?x
2
?y< br>2
?4x?30y?229

坐标。


5

第四章 圆和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.A
(x,y)
关于原点
P(0,0)
得
(?x ,?y)
，则得
(?x?2)
2
?(?y)
2
?5

2.A 设圆心为
C(1,0)
，则
AB?CP,k
CP??1,k
AB
?1,y?1?x?2

3.B 圆心为
C(1,1),r?1,d
max
?2?1

4.A 直线
2x?y?
?
?0
沿
x
轴向左平移
1
个单 位得
2x?y?
?
?2?0

22
圆
x?y?2x ?4y?0
的圆心为
C(?1,2),r?5,d?
5.B 两圆相交，外公切线有两条
?2?
?
5
?5,
?
??3, 或
?
?7

6.D
（x?2）?y?4
的在点
P(1,3)
处的切线方程为
(1?2)(x?2)?3y?4

二、填空题
22
1.
1
点
P(?1,0
在圆
)
x ?y?4x?2y?3?0
上，即切线为
x?y?1?0

22
2.
x
2
?y
2
?4

OP?2

3.
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
圆心既在线段
AB
的垂直平分线即
y??3
，又在
,3)
r?5

2x?y?7?0
上，即圆心为
(2?
，
4.
5
设切线为
OT
，则
OP?OQ?OT?5

2
5.
22
当
CP
垂直于已知直线时，四边形
PACB
的面积最小
三、解答题
22
1.解：
(a?1)?(b?1)
的最小值为点
(1,1)到直线
x?y?1?0
的距离
而
d?
32332
22
，
(a?b?2a?2b?2)
min
?
。
?
2
2
2
2.解：
(x?1)(x?5)?(y?2)(y ?6)?0

得
x?y?4x?4y?17?0

3. 解：圆心显然在线段
AB
的垂直平分线
y?6
上，设圆心为
(a,6 )
，半径为
r
，则
22
(x?a)
2
?(y?6 )
2
?r
2
，得
(1?a)
2
?(10?6)2
?r
2
，而
r?
a?13
5

6

(a?13)
2
(a?1)?16?,a?3,r?25,

52
?(x?3)
2
?(y?6)
2
?20
。
4.解：设圆心为
(3t,t),
半径为
r?3t
，令
d?
3t?t
2
?2t

而
(7)
2
?r
2< br>?d
2
,9t
2
?2t
2
?7,t??1

?(x?3)
2
?(y?1)
2
?9
，或
(x?3 )
2
?(y?1)
2
?9

圆和方程 [综合训练B组]
一、选择题
1.D
d?
a?2
2
?2,a?2?2,a?4,或a?0

2.D 弦长为
4
，
S?
1365

?4??
25
5
2
2
，相切时的斜率为
?

4
4
3a?4
?2,a?2,(x?2)
2
?y
2
?4

5
3.C
tan
?
?
1
22
?
4.D 设圆心为
(a,0),(a?0),
5.A 圆与
y
轴的正半轴交于
(0,5),0?k?5

6.D 得三角形的三边
2,1,3
，得
60
的角
二、填空题
1.
45

(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
，
d?5,r?5,r
2
?d
2
?25

2.
0
x
0
2
?y
0
2
?Dx
0
?Ey
0
?F

3.相切或相交
2k
(3k?2)?k
22
?
2k
k
2
?2
；
另法：直线恒过
(1,3)
，而
(1,3)
在圆上
4.
x?2y?1?0,(x?1)
圆心为
(2

)m ?1,m)r,?m,m(?
，
0
令
x?2m?1,y?m

5.
1

d?r?

10
?1?1

5
7

三、解答题
1.解：显然
x?2
为所求切线之一；另设
y?4?k(x?2),kx?y?4?2k?0

而
4?2k
3
?2,k?,3x?4y?10?0

4k
2
?1
?x?2
或
3x?4y?10?0
为所求。
2.解：圆心为
(0,1)
，则圆心到直线
2x?y?1?0
的距离 为
2
，半径为
2

5
得弦长的一半为
30230
，即弦长为。
55
3.解：令
k?y?(?2)
,
则
k
可看作圆
x
2
?y
2
?1
上的动点到点
(?1,?2)
的连线的斜率
x?(?1)
3
y?23
?
。 ，
?
4
x?14
而相切时的斜率为
4.解：（1）x
2
?y
2
?10x?10y?0,
①；
x
2
?y
2
?6x?2y?40?0
②；
②
?
①得：
2x?y?5?0
为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为
50?20?30
，公共弦长为
230
。
第四章 圆和方程 [提高训练C组]
一、选择题
1.C 由平面几何知识知
AB
的垂直平分线就是连心线
2.B 对
x
分类讨论得两种情况 3.C
d?
a?2?3
2
?1,a?2?1

4.A
d?
311
?1?
5.C 直线的倾斜角为
120
0
，得等边三角形
332
6.B
d?r?5?1?4
7.B
4?3?5?4?3

二、填空题
1.
(0,0,3)
设
P(0,0z,)P,A?
2.
[?1,2]
；
?
?1,1
?
22
则
1
PB,
?4?(z?1)
2
?4?4?(z?2)
2,z?3

?
2
?
；
?
?
1,2
?
曲线
y?1?x
2
代表半圆
3.
(x?1)?(y?3)?4

4.
x?y?3?0
当
AB?CP
时，
AB
最小，
k
CP
??

11,k
l
?1,y?2?x?
8

5.
3
设
y
?k,y?kx,(x?2)
2
?k
2
x
2
?3,(1?k
2
)x
2
?4 x?1?0
，
x

??16?4(1?k
2
?)?0,?k3?
另可考虑斜率的几何意义来做
3
6．
x?2y?2?0
设切点为
(x
1
,y
1
),x(
2
,y
2
，则< br>)AT
1
的方程为
x
1
x?(y
1
?2)( y?2)?4

AT
2
的方程为
x
2
x?(y2
?2)(y?2)?4
，则
2x
1
?4(y
1
?2)?4,2x
2
?4(y
2
?2)?4

?2x?4(y?2)?4,x?2y?2?0

三、解答题
1
1
2
1
2
1
，表示的图形占整个图形的
4
222
1
2
1
2
1
而
(x?)?(y?)?
，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆
222
111
??1?
?
??)?2
?

?S?4(?1
222
1. 解：当
x?0,y?0
时，
(x?)?(y?)?
2. 解：
d?

?
x
2
?y
2
?6x?10y?34?x
2
?y
2
?4x?30y?229
22
(x?3
2
)?(y?5)?x(?
2
2)?y(?
可看作点
15)
A(?3,5
和
)B(2,15

)
,A(?3,5
关于直线
)x?y?1?0

,
到直线
x?y?1?0
上的点的距离之和，作
'
对称的点< br>A(4?,2
，则
)
d
min
?A
'
B?2 93

3.解：设圆心为
(x,y)
，而圆心在线段
MN
的垂直平分线
x?4
上，
即
?
?
x?4
,
得圆心为
(4,5)
，
r?1?9?10

y?2x?3
?
?(x?4)
2
?(y?5)
2
?10

22< br>4.解：在Δ
ABP
中有
AP?BP?
OP
min




1
(4OP
2
?AB
2
)
，即当
OP
最小时，
AP
2
?BP
2
取最 小值，而
2
39412912
?5?2?3
，
P
x
?3??,P
y
?3??,P(,)

555555
9