【非常全】高中数学必修2解析几何知识点公式(带测试)

高中数学必修2解析几何知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或
重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率 < br>①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k
表 示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?0,90
时，
k?0
； 当
??90,180
②过两点的直线的斜率公式：
k?
?
??
??
??
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
y
2?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2< br>时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由 直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1)
直线斜率k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y=y
1
。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每< br>一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x< br>1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直 线在
y
轴上的截距为
b

y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，< br>?
x
2
,y
2
?

y
2
? y
1
x
2
?x
1
xy
④截矩式：
??1< br>
ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x< br>轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
③两点式：
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
?B
0
?0
）的直线系：
A
0
x?B< br>0
y?C?0
（C
为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ） 斜率为
k
的直线系：
22
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0< br>?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2< br>x?B
2
y?C
2
（5）两直线平行与垂直
当
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y ?k
2
x?b
2
时，
?0
的交点的直线系方程为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为 参数）
l
1
l
2
?k
1
?k
2
, b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k< br>1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

1

A
1
x?B< br>1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。 < br>?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0< br>方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（7 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
（9）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
2
，圆心
22
?
a,b
?
，半径为r；
?
22
?
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
< br>1
DE
?
，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时 圆心为
?
r?D
2
?E
2
?4F

??,?
?
2
22
22
当
D?E?4F?0
时， 表示一个点； 当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb ?C
，则有
d
A
2
?B
2
2222
?r? l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

22
（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x? a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，先将方程联立 消元，得到一个
一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
??0?l 与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
? r
去解直线与圆相切的问题，其中
x
0
,y
0
表示切点坐标 ，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
2
①圆x
2
+ y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
) ，则过此点的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
(课本命题)．
②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课
本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
22
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。


??

2

高中数学必修2解析几何知识点测试
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地， 当直线与x轴平行或
重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是________ _______.
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k
表示。即
k?tan
?
。斜率反映直 线与轴的倾斜程度。
当
?
?0,90
时，
k___0
； 当
?
?90,180
时，
k___0
； 当
?
? 90
?
时，
k
____
②过两点的直线的斜率公式： ____________
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2< br>时，公式右边无意义，直线的斜率_________，倾斜角为_____°；
(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率 可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：________________直线斜率k，且过点
?
x
1
,y< br>1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=_______，直线的方程是_________
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率_________，它的 方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的横坐标都等于
x
1
，所以 它的方程是
________
。
②斜截式：___________，直线斜率为< br>k
，直线在
y
轴上的截距为
b


③两点式 ：____________________直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?


④截矩式：________________
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为___ , ___。
⑤一般式：______________________________
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
?B
0
?0
）的直线系：
A
0
x?B< br>0
y?C?0
（C
为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ） 斜率为
k
的直线系：
22
?
??
?
?
??
?
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
， 直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ）过 两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
（6）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1< br>x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
?0
的交点的直线系方程为
，其中直线
l
2
不在直线系中。
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为 参数）
l
1
l
2
?_______________
；l
1
?l
2
?_______________

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?_____ _____
； 方程组有无数解
?
___________

3

（8）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
d(A,B)?___________________

（9）点到直线距离公式 ：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?____________

（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为___ __，定长为圆的_____。
2、圆的方程
（1）标准方程_____________ _____，圆心
（2）一般方程_____________________
22
?
a,b
?
，半径为r；
当
D?E?4F? 0
时，方程表示圆，此时圆心为__________，半径为__________________
当
D?E?4F?0
时，表示一个点； 当__________________时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
22
?r?l与 C____
；
d?r?l与C____
；
d?r?l与C____

22
（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2
，先将 方程联立消元，得到一个
一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有
? ?0?l与C_____
；
??0?l与C_____
；
??0?l与C__ ___

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy0
?r
去解直线与圆相切的问题，其中
x
0
,y
0表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x
2+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0)，则过此点的切线方程为__________________(课本命题)．
②圆(x-a )
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0< br>，
y
0
)，则过此点的切线方程为___________________ (课本
命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x ?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2< br>?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d________
时两圆外离，此时有公切线____条；
当
d________
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线____条，内公切线____条； 当
_____?d?_____
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有____条外公切 线；
当
d________
时，两圆内切，连心线经过切点，有____条公切线；
当
d________
时，两圆内含； 当
d_____
时，为同心圆。

2
d?____________
，则有
d
??

4