高中数学必修二知识点大全

7、如图11-7，在空间四边形
SABC中，
?ASC


=90°，
?ASB?BSC?60
°，
SA?SB?SC
，

⑴求证：平面
ASC?
平面ABC
.⑵求二面角
S?AB?C
的平面角的正弦值.
图11-7

§2.3.3 直线与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

2、 判断下列命题是否正确，并说明理由.

⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；

⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；

⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；

⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

3、知识拓展

设
a,m
和
l
是直线，
?
,
?
是平面，则直线与平面垂直还有下列性质：

l?
?
?< br>?
?l?a
a?
?
?
l?
?
?
?< br>?m?
?
ml
?
(1)(2)
；

你能把它们用图形表示出来吗？

4、如图12-5，在三棱锥中，
PA?P B
，
AB?BC
，若
M
是
PC
的
中点，试 确定
AB
上点
N
的位置，使得
MN?AB
.

图
12-5

§2.3.4 平面与平面垂直的性质

1、平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
的直线与另一个平面垂直.

2、如图13-4，四棱锥
P?ABCD
的底面是个矩形，

AB? 2,BC?2
，侧面
PAB
是等边三角形，且侧面
PAB
垂直于底面
ABCD
.

⑴证明：侧面
PAB?
侧面
PBC
；

⑵求侧棱
PC
与底面
ABCD
所成的角.

图13-4

第三章：直线与方程

§3.1直线的倾斜角与斜率

1、当直线
l
与
x
轴相交时，取
x
轴作为基准，
x
轴正向与直线
l
向上方向 之间
所成的角
?
叫做直线
l
的倾斜角（angle of inclination）.

关键：①直线向上方向；②
x
轴的正方向；③小于平角的正角.

注意:当直线与
x
轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..

2、一条直线的倾斜角
k?tan
?
.

?
?(
?
?)
2
的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
)
的直线的斜率公式：3、 已知直线上两点
P
k?
y
2
?y
1
x
2< br>?x
1
.

?
[0,180)
.

5、任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是
6、已知点
A(2,3),B(? 3,?2)
，若直线l过点
P(1,1)
且与线段
AB
相交，求直线 l
的斜率
k
的取值范围.

§ 3.2两直线平行与垂直的判定

1、两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的 斜率相等；反之，
如果它们的斜率相等，则它们平行，即
l
1
l
2< br>?
k
1
=
k
2

王新敞
注意，上面 的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少
这个前提，结论并不存立．
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反
之，如果它们的斜率互为 负倒数，则它们互相垂直.

即
l
1
?l
2
?k
1
??
1
k
2
?
k
1
k< br>2
??1


王新敞
3、已知三点
A(a,2),B (5,1),C(?4,2a)
在同一直线上，则
a
的值为 .

§ 3.2.1直线的点斜式方程

1、已知直线
l
经过点
P(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
， 则方程
y?y
0
?k(x?x
0
)
为直线的
点斜式 方程.

2、直线
l
与
y
轴交点
(0,b)
的纵坐标
b
叫做直线
l
在
y
轴上的截距（interce pt）.
直线
y?kx?b
叫做直线的斜截式方程.

注意：截距
b
就是函数图象与
y
轴交点的纵坐标.

3、直线
l
过点
P(?2,3)
且与
x
轴 、
y
轴分别交于
A,B
两点，若
P
恰为线段
AB< br>的
中点，求直线
l
的方程.

§ 3.2.2直线的两点式方程

1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
且
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，则通过这两点 的直线1、已知直线上两点
P
y?y
1
x?x
1
?(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)
y?yx? x
21
方程为
21
，由于这个直线方程由两点确定，所以我
们把它叫 直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.

2、已知直线
l
与
x
轴的交点为
A(a,0)
，与
y
轴的交点为
B(0,b)
，其中
xy
??1
a?0,b?0
，则直线< br>l
的方程
ab
叫做直线的截距式方程.

注意：直线与
x
轴交点（
a
,0）的横坐标
a
叫做直线在
x
轴 上的截距；直线
与y轴交点（0,
b
）的纵坐标
b
叫做直线在
y
轴上的截距.

3、
a
,
b
表示截距，是不是 表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

4、直线方程的各种形式总结为如下表格：

5、过点P(2，1）作 直线
l
交
x,y
直
正半轴于AB两点，当
线
已知条 件

直线方程

名
称

围

使用 范
|PA|?|PB|
取到最小值时，求
直线
l
的方程.

6、 已知一直线被两直线
点
斜
式


l
1
:4x?y?6?0
，
l
2
：
k存在

3x
?5y?6?0
截得的线段的
中点恰好是坐标原点，求该
直线方程.< br>
斜
截
式


k存在

§ 3.2.3直线的一般式方程

1、关于
x,y
的二元一次方程
A x?By?C?0
（A，B不同时
两
(x
1
,y
1
)
为0）叫做直线的一般式方

点
式

（
x
2
,y
2
)

程，简称一般式（general
form）．

截
距
式


注意：直线一般式能表示平
面内的任何一条直线

2、光线由 点
A(?1,4)
射出，在直线
l:2x?3y?6?0
上进行反射，已知反 射光线
B(3,
62
)
13
，求反射光线所在直线的方程.

过点
§ 3.1两条直线的交点坐标

1、求直线
x?y?2?0
关于直线
3x?y?3?0
对称的直线方程.

2、直线
5 x?4y?2m?1?0
与直线
2x?3y?m?0
的交点在第四象限，求
m
的取
值范围.

§ 3.3.2两点间的距离

22PP?(x?x)?(y?y)
P(x,y),P(x,y)
122121
1、已 知平面上两点
111222
，则.

OP?x
2
?y
2
P(x,y)
特殊地：与原点的距离为.

PA?PB
2、 已 知点
A(?1,2),B(2,7)
，在
x
轴上存在一点
P
，使，则
PA?
.

§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离

1、已知点
P(x
0
,y
0
)
和直线
l:Ax?By?C?0
，则点
P
到直 线
l
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
.

注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；

⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.

2、已知两条平行线直线
l
1
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:Ax? By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

为
王新敞
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般 式方程；（2）
使
x,y
的系数相等.

3、 求两平行线
l
1
：
2x?3y?8?0
，
l
2
：
4x ?6y
?1?0
的距离.

第四章：圆与方程

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中, 有三个参数a、b、r,只要求出a、
b、r且r＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程 ,需三个独立
条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.

2、确定圆的 方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求
a、b、r或直接求出圆心(a,b) 和半径r,一般步骤为：

1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；

2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；

3°解方程组, 求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所
求圆的方程.

3、点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程
(x-a) 2+(y-b)2=r2.

当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,点M的坐标不满足方程
(x-a)2+(y-b)2=r2.

用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:

1°点到圆心的距离大于半径,点在圆 外
?
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆
外;

2°点 到圆心的距离等于半径,点在圆上
?
(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内
?
(x0-a)2+(y0-b)2＜ r2,点在圆
内.

4、写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判 断点

M1(5,-7),M2(-
5
,-1)是否在这个圆上.

解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是

(x-2)2+(y+3)2=25,

把点M1(5,-7),M2(-
5
,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,

则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.

5、 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的
方程.

解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为
A(5 ,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,

它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是

?
a?2 ,
?
?
b??3,
?
r?5.
解此方程组得
?所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线
1
2
的
①

方程为y+1=(x-6).

同理线段A C的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线
的
②

方程为y+3.5=3(x-3.5).
解由①②组成的方程组得x= 2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径
22
(5?2)?(1?3)
r= =5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的
交点,它到三顶点的距离相等,就是 圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解
题思路.

6、 求与圆x2+y2-2x= 0外切,且与直线x+
3
y=0相切于点(3,-
3
)的圆的
方程.

解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心 为(1,0),半
径为1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即
(a?1)
2
?(b?0)
2
=r+1, ①

33
由圆与直线
?
b?31
?(?)??1,
?
3
?
a?3
?
?
|a?3b|
?r.
?
1?(3)
2
?
x+y=0相切于点(3,-
(2)
(3)

),得

解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4
3
,r=6.

故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4
3
)2=36.

4.1.2 圆的一般方程

1、方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一 定是圆,由此得到圆的方程都能写
成x
2
+y
2
+Dx+Ey+F= 0的形式,但方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,
只有当D
2
+E
2
-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2
+y
2
+Dx+Ey+F=0表示圆
的充要条件是D
2
+E
2
-4F＞0.

22
我们把形如x
2+y
2
+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.

2、圆的一般方程形式上的特点:

x
2
和y
2
的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.

3、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及
半径.

(1)4x
2
+4y
2
-4x+12y+9=0;

(2)4x
2
+4y
2
-4x+12y+11=0.

9
,

4
解:(1)由4x
2
+4y
2< br>-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=

而D
2
+ E
2
-4F=1+9-9=1＞0,

13
,-),半径
2 2
所以方程4x
2
+4y
2
-4x+12y+9=0表示圆的方程, 其圆心坐标为(
为
1
；

2
(2)由4x
2
+4y
2
-4x+12y+11=0,得

11
22
,D+E-4F=1+9-11=-1＜0,

4
D=-1,E=3,F=
所以方程4x
2
+4y
2
-4x+12y+ 11=0不表示圆的方程.

4、求过三点O(0,0)、M
1
(1,1)、 M
2
(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心
坐标.

解:方 法一：设所求圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,由O、M
1
、M
2
在圆上,则有

解得D=-8,E=6,F=0,

故所求圆的方程为x
2
+y2
-8x+6y=0,即(x－4)
2
＋(y+3)
2
=52
.所以圆心坐标为
(4,-3),半径为5.

1153
,),M
1
M
2
的中点F(,),
2222
方法二：先求出OM
1
的中点E(
再写出OM
1
的垂直平分线PE的直线方程y-
①

11
=-(x-),
22

AB
②

的垂直平分线PF的直线方程y-
35
=-3(x-), 22
?
x?y?1,
?
x?4,
联立①②得
?
得
?
则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5
?
3x?y?9,< br>?
y??3.
为半径.

方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b) ,根据圆的性质可得
|OP|=|AP|=|BP|,

即x
2
+y
2
=(x-1)
2
+(y-1)
2
=(x-4)
2
+(y-2)
2
,解之得P(4,-3),OP=5为半径.

方法 四：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)=r,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)
在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以
得到关于a、b、r的方程组 ,即

?
a?4,
?
解此方程组得
?
b??3,< br>所以所求圆的方程为(x－4)
2
＋(y+3)
2
=5
2,圆心坐标为
?
r?5.
?
222
(4,-3),半径为5.< br>
4.2.1 直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系的含义是:

圆心到直线的距
直线与圆的位置
公共点个数

关系

系

离d与半径r的关图形

相交

两个

d＜r


相切

只有一个

d=r


相离

没有

d＞r


2、直线与圆的位置关系的判断方法：

几何方法步骤：

1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.

2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.

3°作判断：当d＞r时,直线 与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当d＜r
时,直线与圆相交.

代数方法步骤：

1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.

2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.

3°求出其判别式Δ的值.

4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离 ；若Δ=0,则直线与
圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立.

3、 已 知圆的方程是x
2
+y
2
=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有 两个公
共点,只有一个公共点没有公共点.

解法一:若直线l：y=x+b和圆x< br>2
+y
2
=2有两个公共点、只有一个公共点、没
有公共点,

22
?
?
x?y?2,
则方程组
?
有两个不同解、 有两个相同解、没有实数解,

?
?
y?x?b
消去y,得2x2
+2bx+b
2
-2=0,

所以Δ=(2b)
2< br>-4×2(b
2
-2)=16-4b
2
.

所以,当 Δ=16-4b
2
＞0,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点；当
Δ=16-4 b
2
=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b
2
＜ 0,即b
＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点.

解法二：圆x< br>2
+y
2
=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线
l:y=x+b的距离d=
|?1?0?1?0?b|
1?1
22
?
|b|
2
.

当d＞r时,即
点;

|b|2
＞
2
,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共
当d =r时,即
|b|
2
=
2
,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线 只有一个公共点；

当d＜r时,即
|b|
2
＜
2
,即|b|＜2,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点.

4、已知直线l过点P(4, 0),且与圆O：x
2
+y
2
=8相交,求直线l的倾斜角α
的取值 范围.

解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,

因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,

即
|?4k |
k
2
?1
＜2
2
,化简得k
2
＜1,所 以-1＜k＜1,即-1＜tanα＜1.

当0≤tanα＜1时,0≤α＜
?3
?
；当-1＜tanα＜0时,＜α＜π.

4
4