人教版高中数学教材 微盘-高中数学教师资格证高分
课题：直线系与对称问题
教学目标
：
1.
掌握过两直线交点的直线系方程；
2.
会求一个点关于一条直线的对称点的坐标
的
求法；
3.
会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法.
教学重点：对称问题的基本解法
（一） 主要知识及方法：
关于
y<
br>轴的对称点的坐标为
?
?a,b
?
；
1.
点
P
?
a,b
?
关于
x
轴的对称点的坐标为
?
a,?b
?
；
关于
y?x
的对称点的坐标为
?
b
,a
?
；关于
y??x
的对称点的坐标为
?
?b,?a?
.
2.
点
P
?
a,b
?
关于直线
ax?by?c?0
的对称点的坐标的求法：
?
1
?<
br>设所求的对称点
P
'
的坐标为
?
x
0
,y<
br>0
?
，则
PP
'
的中点
?
?
ax?
by?c?0
上.
a?x
0
b?y
0
?
,
?
一定在直线
2
??
2
?
2
?
直线PP
'
与直线
ax?by?c?0
的斜率互为负倒数，即
y0
?b
?
a
?
?
?
?
?
??
1
x
0
?a
?
b
?
结论：点
P
?
x
0
,y
0
?
关于直线
l
：<
br>Ax?By?C?0
对称点为
?
x
0
?2AD,y
0
?2BD
?
，
其中
D?
Ax
0
?By<
br>0
?C
；曲线
C
：
f(x,y)?0
关于直线
l
：
Ax?By?C?0
的对称曲线方
22
A?B
程为<
br>f
?
x?2AD,y?2BD
?
?0
特别地，当
A<
br>2
?B
2
，即
l
的斜率为
?1
时，点
P
?
x
0
,y
0
?
关于
直线
l
：
Ax?By?C?0
对称点为
?
?
?
By
0
?CAx
0
?C
?
,?
?
，即
P?
x
0
,y
0
?
关于直线
x?y?c?0AB
??
?
?
c
?
，曲线
f(x,y)
对称的点为：
?
?y?c,?
?
x
关于
x?y?c??0
0
的对称曲线为
f
?
?y?c,?
?
x?c
??
?0
3.
直线
a
1
x?b
1y?c
1
?0
关于直线
ax?by?c?0
的对称直线方程的求
法：
①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点
关于
对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待
定系数法，利用对称轴所在直
线上任一点到两对称直线的距离相等，…
1
4.点
?
x,y
?
关于定点
?
a,b
?
的
对称点为
?
2a?x,2b?y
?
，曲线
C
：
f<
br>?
x,y
?
?0
关于定点
?
a,b
?
的对称曲线方程为
f
?
2a?x,2b?y
?
?0
.
5.
直线系方程：
?
1
?
直线
y?kx?b（
k
为常数，
b
参数；
k
为参数，
b
位常数）.
?
2
?
过定点
M
?
x
0,y
0
?
的直线系方程为
y?y
0
?k
?x?x
0
?
及
x?x
0
?
3
?
与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程为
Ax?By?C
1
?0
（
C?C
1
）
?
4
?
与
直线
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程为
Bx?Ay?m?0
?
5
?
过直线
l
1
：a
1
x?
1
112
b?
1
c?0
和
l
2
：a
2
x?b
2
y?c
2
?0
的交点的直线系的方程为：
1y
22
?
ax?by?c
?
?
?
?
a
x?by?c
?
?0
（不含
l
）
2
（二）典例分析：
问题1．（
06
湖北联考）一条光线经过点
P
?
2,3
?
，射在直线
l
：
x?y?1
?0
上，
反射后穿过点
Q
?
1,1
?
.
?
1
?
求入射光线的方程；
?
2
?
求这条光线从点
P
到点
Q
的长度.
问题2．求直线
l
1
：
y?2x?3
关于直线<
br>l
：
y?x?1
对称的直线
l
2
的方程.
2
问题3．根据下列条件，求直线的直线方程
?
1
?<
br>求通过两条直线
x?3y?10?0
和
3x?y?0
的交点，且到原点
距离为
1
；
?
2
?
经过点
A
?
3,2
?
，且与直线
4x?y?2?0
平行；
?
3
?
经过点
B
?
3,0
?
，且与直线
2x?y?5
?0
垂直.
问题4．
?
1
?
已知方程
x?kx?1
有一正根而没有负根，求实数
k
的范围
3
?
2
?
若直线
l
1
：
y?kx?k?2
与
l
2
：
y??2x?4
的交点在第一象限，求
k
的取值范围.
?
3
?
已知定点
P
?
?2,?1
?和直线
l
：
?
1?3
?
?
x?
?1?2
?
?
y?
?
2?5
?
?
?0<
br>?
?
?R
?
求证：不论
?
取何值，点P
到直线
l
的距离不大于
13
4
（三）课后作业：
1.
方程
?<
br>1?4k
?
x?
?
2?3k
?
y?
?
2?14k
?
?0
表示的直线必经过点
?
3422
?
A.
?
2,2
?
B.
?
?2,2
?
C.
?
?6,2
?
D.
?
,
?
?
55
?
2.直线
2x?3y?6?0
关于点
?
1,?1
?
对称的直
线方程是
A.
3x?2y?2?0
B.
2x?3y?7?0
C.
3x?2y?12?0
D.
2x?3y?8?0
3.
曲线
y
2
?4x
关于直线
x?y?2?0
对称的曲线方程是
4.
A?
?
?
x.y
?
y?ax
?
，
B?
?
?
x,y
?
y?x?a
?
，<
br>A?B
仅有两个元素，则实数
a
的范围是
5.求经过直线
3x?2y?6?0
和
2x?5y?7?0
的交点，且在两坐
标轴上的截距相等的
直线方程
6.<
br>已知
△ABC
的顶点为
A
?
?1,?4
?
，
?B,?C
的平分线所在直线的方程分别是
l
1
：
y?1
?0
与
l
2
：
x?y?1?0
，求
BC
边
所在直线的方程.
5
7.
已知直线
kx?y?1?3k?0
，当
k
变化时所得的直线都经过的定点为
8.
求证：不论
m
取何实数，直线
?
m?1
?
x?
?
2m
?1
?
y?m?5
总通过一定点
9.
求点
P
?
1,1
?
关于直线
l
：
x?y?2?0
的对称点
Q
的坐标
10.
已知：
P
?
a,b
?
与
Q
?
b?1,a?1
?
，
?
a?b?
1
?
是对称的两点，求对称轴的方程
11.
光线沿直线
l
1
：
x?2y?5?0
射入，
遇到直线
l
2
：
3x?2y?7?0
反射，求反射光线
所在
的直线
l
3
的方程
6
12.
已知点
A
?
?3,5
?
，
B
?
2,15
?
，试在直线
l
：
3x?4y?4?0
上找一点
P
，使
PA?PB
最
小，并求出最小值.
（四）走向高考：
1.
(
04
安徽春)已知直线
l
：
x?y?1?0
，
l
1
：
2x?y?2?0
.若直线
l
2
与
l
1
关于
l
对称，
则
l
2
的方程为
A.
x?2y?1?0
B.
x?2y?1?0
C.
x?y?1?0
D.
x?2y?1?0
1
2.
（
05
上海）直线
y?x
关于直线
x?1
对称的直线方程是
2
3.
（
07<
br>上海文）圆
x
2
?y
2
?2x?1?0
关于直线2x?y?3?0
对称的圆的方程是
A.
(x?3)
2
?(y?2)
2
?
B.
(x?3)
2
?(y?2)
2
?
C.
(x?3)
2
?(y?2)
2
?2
D.
(x?3)
2
?(y?2)
2
?2
1
2
1
2
7