高中数学必修二学案

精品教育
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
一、课前准备
（预习教材
P
2
~
P
4
，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实
生活中， 我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部
分，比如粉笔盒、足球 、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽
象出来的空间图形叫做空间几何体. 它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在
就让我们来研究它们吧!
二、基础探究
1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？




图1

2.【研读课本】
（1）多面体的概念： 叫多面体，
叫多面体的面， 叫多面体的棱，
叫多面体的顶点。

① 棱柱:两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四
边形的公共边都 ，这些面围成的几何体叫作棱柱
②棱锥：有一个面是 ，其余各面都是 的三角形，这些面
围成的几何体叫作棱锥
③棱台：用一个 棱锥底面的平面去截棱锥， ，
叫作棱台。

（2）旋转体的概念：
叫旋转体， 叫旋转体的轴。

-可编辑-

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①圆柱： 所围成的

几何体叫做圆柱.

②圆锥： 所围成的

几何体叫做圆锥.

③圆台： 的部分叫
圆台.

④球的定义
三、能力探究
例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱
（2）下列说法错误的是（ ）
A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形
（3）下列命题中正确的是（ ）
A.棱台各侧棱的延长线交于一点
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
（4）下列几个命题中，
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;
④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴， 将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同
的圆柱.
其中正确的有__________个.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（5）下列说法中不正确的是（ ）
A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念
C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形
（6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60
cm
，则每条侧棱长为______
cm
.

例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。






-可编辑-

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例3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？如果不是，请举例说明。


四、课堂练习

1 、 下列几何体是棱柱的有（ ）

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2、下列几个命题中，
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;
④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两
个圆柱是两个不同的圆柱.
其中正确的有__________个.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3、下列命题中正确的是（ ）
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
4、下列命题中正确的是（ ）
A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

§1.2.1 中心投影与平行投影
§1.2.2 空间几何体的三视图
一、复习提问
1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着_ _______、_______绕着___________、_______
绕着________ __、_______绕着_______旋转得到的.
2：简单组合体构成的方式：_______ _________和_____________________________________.
二、基础探究
1、如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑 它们是怎样
得的?

-可编辑-

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图1
2、通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?

3、请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2
4、图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

5、阅读课本回答下面问题：
（1）、空间几何体的三视图是指 、 、 。
（2）、正视图、侧视图、俯视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，
画出的空间几何体的图形。
（3）、正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的 和 ；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的 和 .
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的 和 ；
（4）、三视图的排列规则是 放在正视图的下方，它们的 一样；
放在正视图右边，它们的 一样；侧视图和俯视图的 一样。
三、能力探究
例1 画出下列物体的三视图：





例2 说出下列三视图表示的几何体：

-可编辑-

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例3作出下图中两个物体的三视图


四、课堂练习
1. 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）.
A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡
2. 右边是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）.
A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台
3. 如图是个六棱柱,其三视图为（ ）.



A. B. C. D.


4、根据下面的三视图, 画出相应空间图形的直观图.


主视图 左视图 俯视图，


§1.2.3 空间几何体的直观图
一、复习提问
1、中心投影的投影线____ _____；平行投影的投影线__ ___.
平行投影又分_ __投影和_ __投影.
2、物体在正投影下的三视图是__ ___、____ __、__ ___；
3、画三视图的要点是___ __ 、 、__ ____.
二、基础探究
-可编辑-

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水平放置的平面图形的直观图画法
问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样
把这种效果 表示出来呢?

斜二测画法的规则及步骤如下：
画直观图时,把它们画成对应的轴与

(1)在已知水平放置的平面图 形中取互相垂直的轴和轴，建立直角坐标系，两轴相交于
轴，两轴相交于点，且使
轴或
°).它们确定的平面表示水平面；
(2) 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于
.
°(或
轴的线段； < br>(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为
原来的 一半；
(4) 图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
三、能力探究
例1．如下说法不正确的有
A．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
B．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直
C．画与直角坐标系
xO y
对应的
x
?
O
?
y
?
时，
?x
?
O
?
y
?
必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。








例3．用斜二侧画法画长、宽、高分别是4cm,3cm, 2cm的长方体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
的直
观图。






四、课堂练习

1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.
A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2
2. 利用斜二测画法得到的①三角形的 直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形， 其中正确的是（ ）.
-可编辑-

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A.①② B.① C.③④ D.①②③④
3. 一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）.
A. 8 B. 16 C. D.32
4. 下图是一个几何体的三视图





请画出它的图形为_____________________.
5. 等腰梯形
ABCD
上底边
CD
=1，腰
AD
=
CB
=， 下底
AB
=3，按平行于上、下底边取
x
轴，则直观图


的面积为________.
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、复习提问
斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的
线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于
长度_ ___________.
二、基础探究
（一）柱体，锥体和台体的表面积
轴的线段

问题1：棱柱，棱锥，棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开 图是什么？如何
计算它们的表面积？

问题2：如何根据圆柱，圆锥的几何特征，求它们的表面积？

问题3：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并画出它吗？如果圆台的
上下 底面半径分别为r
1
，r
2
，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

（二）柱体，锥体，台体的体积
提出问题:在初中，我们学过正方体，长方体和圆柱的体积公式，你还记得吗？
问题1：你能从它们的体积公式出发，猜想出一般柱体的体积公式吗？

问题2：通过多媒体展示，请学生猜测等底，等高的三棱柱与三棱锥的体积之间的关系

问题3：推广到一般的棱锥和圆锥，你能猜想出锥体的体积公式吗？

问题4：根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？

问题5：柱，锥，台三者的体积公式之间有什么关系？

-可编辑-

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三、能力探究
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积。











例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，
底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，
需要涂 油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需
要多少毫升油漆？（π取3.14，结 果精确到1毫升，可用计算器）


















例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 gcm
3
）六角螺帽（如图）共重5.8 kg,已知底
面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?
（π取3.14）





-可编辑-

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四、课堂练习
1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）
A.
486
B.64 C.16 D.96
2.）如图所示，圆锥的底面半径为1，高为
3
，则圆锥的表面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π

3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为
23
，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A.
93
273
279
B. C. D.

4
4
44
4.若圆柱的 高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；

§2.1.1 平面
一、复习提问

平面是构成空间几何体的基本要素.那 么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些
性质呢?
二、基础探究
1.几何里的平面是无限延展的，我们通常把水平的平面画成一个平行四边形。
2.常用符号的记法：
来源学科网ZXXK]
（1）点A在平面α内，记作
A ?
?
；点B在平面α外，记作
B?
?
。
（2）点P 在直线上，记作
P?l
；点P在直线
l
外，记作
P?l
。
（3）直线
l
在平面
?
内，记作
l?
?；直线
l
不在平面
?
内，记作
l?
?
。
3.公理1:如果_一条直线上的两点在一个平面内__，那么这条直线在此平面内。用符号表示为____________________，图形为________________,其作用是证 明直线在平面内。
4.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。图形为
_________________________，其作用是确定平面。
推论1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2.经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.
5.公理3:如果两个不重合的平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
用符号表示为________________ _________，图形为___________________，其作用是做两
个平面的交线。
三、能力探究
-可编辑-

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例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
β

α
a
来源学_科_网

α
B

a
l
A

b
β
l

P






变式迁移1：用符号表示下列语句，并画出相应的图形。
（1）点A在平面
?
内，但点B在平面
?
外； （2）直线a经过 平面
?
外的一点M；
（3）直线a既在平面
?
内，又在平面
?
。

来源学科网



例2 下列命题正确的是( )
A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm
B．一个平面的面积可以是 16
m
2

C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分
D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
例3 下列命题正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
例4 判断下列命题是否正确
A．平面
?
与平面
?
相交，它们只有有限个公共点。 ( )
B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 （ ）
C．经过两条相交直线，有且只有一个平面 （ ）
D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （ ）
四、课堂练习
1．空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内 ，那么这五点（
A共面 B不一定共面 C不共面 D以上都不对
2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线
3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ．
1
个 Ｂ．
2
个 Ｃ．
3
个 Ｄ．
1
个或
3
个
-可编辑-

）

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4．直线
l
1
∥l
2
， 在
l
1
上取
3
点，
l
2
上取
2< br>点，由这
5
点能确定的平面有（ ）
Ａ．
9
个 Ｂ．
6
个 Ｃ．
3
个 Ｄ．
1
个
5．给出下列命题：
和直线
a
都相交的两条直线在同一个平面内；
三条两两相交的直线在同一平面内；
有三个不同公共点的两个平面重合；
两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是（ ）
Ａ．
0
Ｂ．
1
Ｃ．
2
Ｄ．
3

6．已知下列四个命题：
① 很平的桌面是一个平面；
② 一个平面的面积可以是
4
m
；
③ 平面是矩形或平行四边形；
④ 两个平面叠在一起比一个平面厚．
其中正确的命题有（ ）
Ａ．
0
个 Ｂ．
1
个 Ｃ．
2
个
7.解答题：
2
Ｄ．
3
个
已知正方体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E，
F
分别为
D
1
C
1
，
C
1
B
1
的中点，
ACIBD?P
，
A
1
C< br>1
IEF?Q
．求证：
（１）
D
，
B
，< br>F
，
E
四点共面；
E

A
1
C
1

Q

F

B
1
（２）若
A
1
C
交平面
DBFE
于R
点，则
P
，
Q
，
R
三点共线．




R

B

一、复习提问

1、点与平面的位置关系：点A在平面
?
上记作： 点A在平面
?
外记作：
2、直线与平面 的位置关系：直线l在平面
?
上（平面
?
经过直线l）记作：
直线l在平面
?
外记作：
3、公理1： 符号表示为：
公理2：
推论1： 符号表示为：
推论2： 符号表示为：
推论3： 符号表示为：
公理3： 符号表示为：
二、基础探究
1.异面直线的概念及作法；



-可编辑-
D

§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
A

C

P

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2.公理4；





3.空间角定理；





4.异面直线所成角的定义及取值范围；






5.空间直线平行或垂直的表示方法；






三、能力探究
例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB,BC,CD,DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形；


E




B






例2：如图，已知正方体ABCD-A`B`C`D`，
（1）那些棱所在直线与直线BA`是异面直线？
A`
（2）直线BA`和CC`的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA`垂直？


A




-可编辑-
A
F
D
G
H
C
D`
B`
C`
D
B
C

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变式练习2：如图，已知长方体
ABCD?A?
B
?
C
?
D
?
中，
AB?23，
AD?23
，
AA
?
?2
．
（１）
BC
和
A
?
C
?
所成的角是多少度？
（２）
AA
?
和
BC
?
所成的角是多少度？







D
?
A
?
D
C
?
B
?
B
C
A
四 、课堂练习
1. 若
a
，
b
是异面直线，
b
，< br>c
也是异面直线，则
a
与
c
的位置关系是（ ）
Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面

如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
N

来源学科网
①
BM
与
ED
平行；
C

M

D

②
CN
与
BE
是异面直线；
③
CN
与
BM
成
60?
角；
E

④
DM
与
BN
垂直．
A

B

以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
F

Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④。
2.
a
，
b
是异面直线，
A
，
B
是
a
上两点，
C
，
D是
b
上的两点，
M
，
N
分别是线段
AC
和
BD
的中点，则
MN
和
a
的位置关系是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面
3.在正方体ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
中,求(1)A1
B与B
1
D
1
所成角;(2)AC与BD
1
所成角.









§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
一、复习提问

1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.
2：异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.
-可编辑-

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3：平行公理：_______________________ ___________________；
空间等角定理：__________________ _________________.
二、基础探究
探究1：空间直线与平面的位置关系
观察：如图3-1,直线
A
?
B
与长方体的六个面有几种位置关系?
图3-1
1：直线与平面位置关系只有三种：
⑴直线在平面内——
⑵直线与平面相交——
⑶直线与平面平行——
其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.





探究2：平面与平面的位置关系
观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?


图3-2
2：两个平面的位置关系只有两种：
⑴两个平面平行——没有公共点
⑵两个平面相交——有一条公共直线
三、能力探究
例1 下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
(2)若直线L与平面平行，则L与平面 内的任意一条直线都平行
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3

变式 1. 已知直线
a
在平面α外，则 （ ）
（A）
a
∥α
（C）
a?
?
（B）直线
a
与平面α至少有一个公共点


?A
（D）直线
a
与平面α至多有一个公共点
2. 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
-可编辑-

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C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交

例2 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内.





变式 已知平面
?
,
?
，直线
a,b
，且
?
∥
?
,
a?
?
，
b?
?
，则直线
a
与直线
b
具有怎样的位置关 系?





四、课堂练习
1. 以下命题（其中
a
，b表示直线，表示平面）①若
a
∥b，b
∥b；
③若
a
∥b，b∥，则
a
∥；④若
a
∥，b
（A）0个 （B）1个 （C）2个
，则
a
∥b。其中正确命题的个数是 （ ）
，则
a
∥；②若
a
∥，b∥，则
a
（D）3个
2. 已知
a
∥，b∥，则直线
a
，b的位置关系：①平行；②垂直 不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂
直且不相交. 其中可能成立的有
（A）2个 （B）3个
（ ）
（D）5个 （C）4个
3. 如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是
a
，则直线AB和平面的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
4. 已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，

∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
5. 下列说法正确的是 ( )
A．直线
a
平行于平面M，则
a
平行于M内的任意一条直线
B．直线
a
与平面M相交，则
a
不平行于M内的任意一条直线
C．直线
a
不垂直于平面M，则
a
不垂直于M内的任意一条直线
D．直线
a
不垂直于平面M，则过
a
的平面不垂直于M
6. 平面
?
,
?
的公共点多于2个，则 （ ）

A.
?
,
?
可能只有3个公共点

B.
?
,
?
可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上

C.
?
,
?
一定有无数个公共点

-可编辑-

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D. 除选项A，B，C外还有其他可能

7 已知直线
a,b
及平面
?
满足:
a
∥
?
,
b
∥
?
,则直线
a,b
的位置关系如何?画图表示.





8 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.








§2.2. 2 平面与平面平行的判定
一、复习提问

1：直线与平面平行的判定定理是________________ ______________________________.
2：两个平面的位置关系有_ __种，分别为__ _____和____ ___.
二、基础探究
探究1：直线与平面平行的背景分析
实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的 .当门扇绕着墙上的一边转动时，观
察门扇转动的一边
l
与墙所在的平面位置关系如何 ？


实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直 线
l
与桌面所
在的平面具有怎样的位置关系？
结论：
探究2：直线与平面平行的判定定理
问题：探究
1
两个实例中的直线
l
为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？
能作图把这一结论表示出来吗？
直线与平面平行的判定定理
-可编辑-

精品教育
定理：
思考下列问题
⑴用符号语言如何表示上述定理； ⑵上述定理的实质是什么？




探究3：两个平面平行的判定定理
问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有 直线都与另一个平面平行，则这两
个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？

问题 2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干
条直线和另外一个 平面平行，那么这两个平面就平行呢？

在长方体中，回答下列问题
（1）如下图 ，
AA
?
?面AA
?
B
?
B
,
A A
?
∥面
BB
?
C
?
C
，则面
A A
?
B
?
B
∥面
BB
?
C
?C
吗？


（2） 下图6-2，
AA
?
∥
EF
，
AA
?
∥< br>面DCC
?
D
?
，
EF
∥
面DCC
?
D
?
，则
面A
?
ADD
?
∥
面 DCC
?
D
?
吗？

两个平面平行的判定定理 ：
如图所示，
?
∥
?
.

反思：
⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来.



三、能力探究
例1. 有一块木料如图5-4所示，
P
为平面< br>BCEF
内一点，要求过点
P
在平面
BCEF
内作一
-可编辑-

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条直线与平面
ABCD
平行，应该如何画线？

例2. 如图5- 5，空间四边形
ABCD
中，
E,F
分别是
AB,AD
的中 点，求证：
EF
∥平面
BCD
.

例3. 已知正方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，如 图，求证：平面
AB
1
D
1
∥
CB
1
D< br>.


四、课堂练习
1．设直线l, m, 平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )
①l
?
α,m
?< br>α,且l∥β,m∥β；②l
?
α,m
?
α,且l∥m；③l∥α,m ∥β,且l∥m
A 1个 B 2个 C 3个 D 0个
2．下列命题中为真命题的是（ ）
A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行
C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D若三条 直线
a
、
b
、
c
两两平行，则过直线
a
的 平面中，有且只有—个平面与
b
，
c
都
平行．
3．下列命题中正确的是( )
①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一直线的两个平面平行； ④与同一直线成等角的两个平面平行
A ①② B ②③ C ③④ D ②③④
4． 下列命题中正确的是 （填序号）；
①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；
④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ；
5． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ；

6. 如图，直线
AA'
，
BB'
，
CC'
相交于
O
，
AO?AO'
，
BO?B'O
，
CO?C'O
．
求证：
ABC
平面
ABC'''
．
-可编辑-

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C'

B'

O

A'

A

C

B

§2.2.3 直线与平面平行的性质

一、复习提问

1：两个平面平行的判定定理是_________________ _________；它的实质是由__________平
行推出__________平行. 2：直线与平面平行的判定定理是_________________________________ ____________.
二、基础探究
探究1：直线与平面平行的性质定理
问题1：如下图，直线
a
与平面
?
平行.请在图中的平面
?
内画出一条和直线
a
平行的直线
b
.

问题2：我们知道 两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在上图中把直线
a,b
确定的平
面画出 来，并且表示为
?
.
问题3：在你画出的图中，平面
?
是经过直线
a,b
的平面，显然它和平面
?
是相交的，并且
直线
b是这两个平面的交线，而直线
a
和
b
又是平行的.因此，你能得到什么结 论?请把它用
符号语言写在下面.




问题4：在图 2中过直线
a
再画另外一个平面
?
与平面
?
相交，交线为< br>c
.直线
a
,
c
平行吗?
和你上面得出的结论相符吗 ?你能不能从理论上加以证明呢?
图2
直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面
的交线都与该直线平行.
探究2：平面与平面平行的性质定理

问题1：如图3，平面
?
和 平面
?
平行，
a?
?
.请在图中的平面
?
内画一条 直线
b
和
a
平行.
-可编辑-

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图3

问题2：在 图3中，把平行直线
a,b
所确定的平面作出来，并且表示为
?
.
问题3：在你所画的图中，平面
?
和平面
?
、
?
是相交平面 ，直线
a,b
分别是
?
和
?
、
?
的
交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下
面.



问题4：在图4中，任意再作一个平面与
?
,
?
都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得
出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？


?


?



图4
两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平
行.
三、能力探究
例1. 如图所示的一块木料中，棱
BC
平行于
面A
?
C
?
.
⑴要经过
面A
?
C
?
内的一点P
和棱
BC
将木料锯开,应怎样画线?
⑵所画的线与平面
AC
是什么位置关系?

例2.如图，已知直线
a,b
，平面
?
，且
a
∥
b
，
a
∥
?
，
a,b
都在平面
?
外.求证：
b
∥
a
.


例3．如图，
?
∥
?
，
AB
∥
CD
，且
A?
?
，
C?
?


-可编辑-

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B?
?
，
D?
?
.求证：
AB?CD
.






?
A

C
?
B
D
四、课堂练习

1．如果一个平面内有无数条直线平行与另一平面，那么这两个平面（ ）
A 一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 一定重合
2．经过平面外两点可作于该平面平行的平面个数为（）
A 0 B 1 C 0或1 D 1或2
3．若一个平面 内的两条直线分别平行与另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关
系（）
A一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 以上都不对
4．与平面
?
的距离都是d的点的轨迹是（）
A 无轨迹 B 2条平行直线 C 一条直线 D 两个平面
5．已知一条直线和两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面（）
A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 平行或在平面内
7．若直线a 平面
?
，平面
?
平面
?
，直线a与平面
?
的关系
8．已知平面
?
?
平面
?
=c，a
?
，a
?
，则a与c的位置关系
9．过正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的三个顶点A
1
、C
1
、B的平面与底面ABCD所在平面的交线
为
l
，则
l
与A
1
C
1
的位置关 系
10．正方体ABCD—A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，M，N，E，F分别是棱A
1
B
1
，A
1
D
1
，B
1
C
1
，C
1
D
1
的中点，
求证：平面AMN平面EFDB

D
1
C
1
A
1
B
1
D
C
A
B




§2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、复习提问

1. 平面与平面平行的性质及判定
2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换
-可编辑-

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二、基础探究
探究1：直线和平面垂直的概念
问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直 角边
BC
落在桌面上，观察
AB
边
与桌面的位置关系呈什么状态？绕 着
AB
边转动三角板，边
AB
与
BC
始终垂直吗？在转动< br>的过程中，把
BC
看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？


A




C
B

图10-2
结论1：如果直线
l
与平面
?
内的___________都垂直， 就说______________，记做
l?
?
.
l
叫
做 垂线，
?
叫垂面，它们的交点
P
叫垂足.如图10-3所示.
图10-3
思考：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？
⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？


探究2：直线与平面垂直的判定定理
问题：如图10-4，将一块三角形纸片
ABC
沿折痕
AD
折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌
面上(
BD,DC< br>与桌面接触).观察折痕
AD
与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕
AD与桌面
垂直呢？

图10-4
当且仅当折痕
AD
是
BC
边上的高时，
AD
所在的直线与桌面所在的平面
?
垂直 .如下图所示.

图10-5
思考：⑴折痕
AD
与桌面上的一条直线垂直时，能判断
AD垂直于桌面吗?
⑵如图10-5，当折痕
AD?BC
时，翻折后
AD?
?
,即
AD?CD,AD?BD
.由此你能得
出什么结论?

结论2：直线和平面垂直的判定定理 :______________________________________

-可编辑-

精品教育
探究3：直线与平面所成的角 < br>定义：如图10-6，直线
PA
和平面
?
相交但不垂直，
PA
叫做平面的________，
PA
和平面的
交点
A
叫__ _______；
PO?
?
，
AO
叫做斜线
PA
在 平面
?
上的_____.平面的一条斜线和它
在平面上的射影所成的锐角，叫这条__ ______________.

P


?
A

O

直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所 成的角是
_____角.
三、能力探究
例1.如图10-7，已知
a∥
b
，
a?
?
，求证：
b?a
.

图10-7



例2.如图10-8，在正方体中，求直线
A
?
B
和平面
A
?
B
?
CD
所成的角.







例3. 如图10-9，在三棱锥中，
VA?VC,AB?BC
，
求证：
VB?AC
.

D
?
A
?
D
A
图10-8

C
?
B
?
C
B
图10-9


四、课堂练习
1. 直线和平面内两条直线都垂直，则与平面
A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能
2. 已知直线和平面，下列错误的是（ ）.
-可编辑-
的位置关系是（ ）.

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A.
C.∥
B.
或 D.

∥
3. 是异面直线,那么经过的所有平面（ ）.
A.只有一个平面与平行
B.有无数个平面与平行
C.只有一个平面与垂直
D.有无数个平面与垂直
4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.
5. 若平面∥平面,直线,则与_____.


§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、复习提问

1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；
⑵直线与平面垂 直的判定定理为__________________________________________.
2：⑴什么是直线与平面所成的角?
⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.
二、基础探究
探究1：二面角的有关概念
图11-1
问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道 平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角
度的共同特征是什么?
概念1：从一条直线出 发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，
这两个半平面叫二面角的面.图11 -2中的二面角可记作：二面角
?
?AB?
?
或
?
?l?< br>?
或
P?AB?Q
.
l

角
图形
A
边
顶点 O B
二面角
A
β
棱
l

图11-2

-可编辑-

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边
定义
构成
从平面内一点出发的两条射线（半
直线）所组成的图形
射线 — 点（顶点）一 射线
B α
从空间一直线出发的两个半平面所组
成的图形
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示 ∠AOB 二面角α-
l
-β或α-AB-β
问题：二面角的大小怎么确定呢？
概念2：如图11-3，在二面角
?
?l ?
?
的棱
l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足 ，在半平面
?
和
?
内分别作垂直于棱
l
的射线
OA ,OB
，则射线
OA
和
OB
构成的
?AOB
叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.
图11-3
思考：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？
⑵你觉的二面角的大小范围是多少？
⑶二面角平面角的大小和
O
点的选择有 关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能
怎么作？
探究2：平面与平面垂直的判定 问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个
二面角？ 它们的大小是多少？
概念3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4 ，
?
垂直
?
，记
作
?
?
?
.

图11-4
问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
思考：定理的实质是什么?
三、能力探究
例1 如图，
AB
是⊙
O
的直径，
PA
垂直于⊙
O
所在的平面，
C
是圆周上不同于
A,B
的任意
一点，求证：平面
PAC?
平面PBC
.







-可编辑-

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变式1、课本
P
69
的探究问题












例2 如图，在正方体中，求面
A
?
D
?
CB
与面
D
?

C
?

ABCD
所成二面角的大小（取锐角）.
A
?
B
?


D

C

A
B


例3、二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面
?
内一点
A< br>，作
AB?
?
于点
B
，再作
BO?l
于O
，连接
OA
，则
?AOB
即为所求平面角.(为什么?)

四、课堂练习
1. 以下四个命题，正确的是（ ）.
A.两个平面所成的二面角只有一个
B.两个相交平面组成的图形叫做二面角
C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个
D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2. 对于直线
A.
C.
,平面
B.
D.
,能得出的一个条件是（ ）.

3. 在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（ ）.
A.相交不垂直 B.相交成60°角 C.互相垂直 D.互相平行
4. 二面角的大小范围是________________.
5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为
_______.


6. 如图11-8，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面
-可编辑-

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角的正切值.（取锐角）
图11-8

§2.3.3 直线与平面垂直的性质
一、复习提问

1. 二面角的有关概念，二面角的求法；
2. 两个平面垂直的判定定理及应用.
二、基础探究
探究1：直线与平面垂直的性质定理
问题1：酒店门口竖着三根旗杆 ，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系
又是什么样的？



问题2：如图12-1，长方体的四条棱
AA
?
、
BB< br>?
、
CC
?
和
DD
?
与底面
ABC D
是什么关系？它
们之间又是什么关系？
.

图12-1


反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？

探究2：平面与平面垂直的性质定理
问题3：如图12-2，黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？
若存在，怎样画线？


黑板



地面





图12-2


-可编辑-

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问题4：如图12-3，在长方体中，面
A
?
ADD
?
与面
ABCD
垂直，
AD
是其交线，则直线
AA
?
与< br>AD
关系如何？直线
AA
?
与面
ABCD
呢？
图12-3



反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么 结论？请用图形和符号语言把它描述在下
面，并试着证明这个结论.
三、能力探究
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.







例2 如图12-5，四棱锥
P?ABCD
的底面是个矩形，
AB?2,BC?2
，侧面
PAB
是等边三角形，且侧面
PAB垂直于底面
ABCD
.
⑴证明：侧面
PAB?
侧面
PBC
；
⑵求侧棱
PC
与底面
ABCD
所成的角.

P



D

A


C
B

图12-5
例3.如图12-6，
CA?
?
于点
A
，
CB?
?
于点
B
，
?
I
?
?l
，
a?
?
，且
a?AB
，求证：
a
∥
l
.
C


B
a

?
A

?

l
-可编辑-

精品教育

图12-6
四、课堂练习
1. 直线b
?
直线
a
，直线b
?
平面
?
，则直线
a
与平面
?
的关系是（ ）

A.
a
∥
?
B
a
?
?
C
a
?
?
或
a
∥
?
D
a
?
?

2. 已知PH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连结PE、PF，则图中直角三角形的个数
是（ ）
P
A 1 B 2 C 3 D 4
F
3．已知直线
a
、b和平面M、N，且
a?M
，那么 （ ）
（A）b∥M
?
b⊥
a
（B）b⊥
a
?
b∥M
（C）N⊥M
?
a
∥N （D）
a?N?M?N?
?

4. 下列结论中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若
a
,b异面，过
a
一定可作一个平面与b垂直
D、
a
,b异面，过不在
a
,b上的点M，一定可以作一个平面和
a,b都垂直.
5. 空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面
BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,请说明理由








6．已知
PA?
正方形
ABCD
所在的平面，垂足为
A
，连结
PB,PC,PD,AC,BD，则互相
垂直的平面有（ ）

(A)
5对
(B)
6对
(C)
7对
(D)
8对
7．若三个平面
?
,
?
,
?
，之间有
?
?
?
，
?
?
H
E
?
，则
?
与
?
（ ）

(A)
垂直
(B)
平行
(C)
相交
(D)
以上三种可能都有
8．三棱锥
P?ABC
中，
PB?PC,AB?AC
，点
D
为
BC
中点，
AH?PD
于
H
点，连
BH
，求证：平 面
ABH?
平面
PBC
.


-可编辑-