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高中数学必修2两直线的交点坐标

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 10:50
tags:高中数学必修二

优化设计高中数学必修四-高中数学 郭化楠


第一课时 3.3-1两直线的交点坐标
一、教学目标
(一)知能目标:1。直线和直线的交点
2.二元一次方程组的解
(二)情感目标:1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物
之间的内
的联系。
2.能够用辩证的观点看问题。
二、教学重点,难点
重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。
难点:两直线相交与二元一次方程的关系。
三、教学过程:
(一)课题导入 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一:由直 线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的
关系,那如果两直线相交于一点,这一点与 这两条直线的方程有何关系?
(二)探研新知
分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系已知两直线 L1:A1x+B1y
+C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系?
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。

几何元素及关系 代数表示
[来源:Z#xx#]
点A A (a,b)
直线L L:Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一
次方程组有什关系?
学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组
成的方程组有何关系?
(1) 若二元一次方程组有唯一解,L 1与L2 相交。
(2) 若二元一次方程组无解,则L 1与 L2平行。
(3) 若二元一次方程组有无数解,则L 1 与L2重合。
课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系?

1.例题讲解,规范表示,解决问题
例题1:求下列两直线交点坐标
L1 :3x+4y-2=0
L1:2x+y +2=0


1


?0
?
3x?4y?2
解:解方程组
?

?0
?
2x?2y?2

得 x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2),如图3。3。1。
6
y
4
2
-55
x
-2
-4



教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,
表 达是否简洁,然后才进行讲解。
同类练习:书本114页第1,2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。
(1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0
(2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0
(3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
二. 启发拓展,灵活应用。
课堂设问一。当
?
?
变化时,方程 3x+4y-2+
?
(2x+y+2)=0表示何图
形,图形[来源:学,科,网]
有何特点?求出图形的交点坐标。
(1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图 形,经过
观察,让学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同
特点是经过同一点。
(2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。
(3) 结论,方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的
集合。

(三)小 结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化
为代数问题来解决,并能进行应用 。
(四)练习及作业:
a) 光线从M(-2,3)射到x轴上的一点P(1,0)后被x轴反射,求反射
光线所在的直线方程。

2


b) 求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x -3y+10=0与3x+4y-2=0的交点,且和直线3x-2y+4=0
垂直。
板书设计:略

第二课时 3..3..。2两点间距离
一、教学目标
(一)知能目标:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。
(二)情感目标:体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题
二、教学重点,难点:
重点,两点间距离公式的推导。
难点,应用两点间距离公式证明几何问题。
三教学过程:
(一)课题导入
课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平 面直角坐标系中两点
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
7,分别向x轴和y轴作垂线,垂足
分别为
N
1
?
0,y
1
?
,M
2
?
x
2,
0
?

2
(二)探研新知[来源:学。科。网Z。X。X。K]
直线
PN
11
与P
2
N
2
相交于点Q。
?PQ?QP
2
,在直角
?ABC
中,
PP
为了计 算其长度,过点
P
1
向x轴作垂线,
121
222
垂足为
M
1
?
x
1,
0
?
过点 向y轴作垂线,垂足为
N
2
?
0,y
2
?
,于是有
PQ?M
2
M
1
?x
2
?x
1
,QP
2
?N
1
N
2
?y
2
?y
1
[来源:学.科.网]
1
?PQ?QP
2
=
x
2
?x
1
?y
2
?y
1
。 所以,
PP
121
22222
222222
由此得到两点间的距离公式
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?< br>?
y
2
?y
1
?
22

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难
得到。
例题解答,细心演算,规范表达。例1 :以知点A(-1,2),B(2,
7
),在
x轴上求一点,使
PA?PB
,并求
PA
的值。
解:设所求点P(x,0),于是有
?
x?1
?
?
?0?2
?
22
?
?
x?2
?
2
?0? 7
??
2


PA?PB


3


x
2
?2x?5?x
2
?4x?11
解得 x=1。
所以,所求点P(1,0)且
PA?
生对两点间距离公式理解。应用。
?
1?1
?
?< br>?
0?2
?
22
?22
通过例题,使学
?12+7
?
解法二:由已知得,线段AB的中点为

?
?
2


?
?
,直线AB的斜率为
??
k=
7-2
7-22+731
?
22
?

=?
?x-
?
PA=
?
1+2
?
+0-2
??
=22

322
2-7
??
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
源:Z#xx#]
在上述式子中,令y=0,解得x=1。
所以所求点P的坐标为(1,0)。因此
2+731
??
=?
?< br>x-
?
[来
22
?
2-7
?
PA=
?
1+2
?
+0-2
??
=22

同步练习:书本116页第1,2 题

(三) 巩固反思,灵活应用。(用两点间距离公式来证明几何问题。)
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示 有关量,然后用代数进行运算,最
后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨 论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中
归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建
立直角坐标系,有A(0,0)。
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,
c),因为
AB?a
2
,CD?a
2
,AD?b
2
?c
2
?BC


2,
BD=
?
b-a
?< br>+c
AC?
?
a?b
?
+c

222222
2



所以,
AB+CD+AD+BC=2a+ b+c
?
222
?

2222
AC+BD=2a+b+c
?
222
?
所以,
22
AB+CD+AD+BC=AC+BD

222222
因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下:
第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。

4


第二步:进行有关代数运算。
第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。
思考:同学们是否还有其它的解决办法?
还可用综合几何的方法证明这道题。
[来源:Z*xx*]
课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代 数的方法
解决几何问题,建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。
3.(1994全国高考)点(0,5)到直线y=2x的距离是——

板书设计:略。







第三课时
3.3.3 点到直线的距离
3、3、4 两条平行线间的距离


一、教学目标:
(一)知能目标:
1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;??
2 、会用点到直线距离公式求解两平行线距离
(二)情感目标:
1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
二、教学重点、难点
教学重点:点到直线的距离公式
教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.
三、教学过程
(一)课题导入
前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂 直的充要条件,两
直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用
代 数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和
直线的方程直接求点
P
到直线
l
的距离。
用POWERPOINT打出平面直 角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾
两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的 距离公式,复习前
面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?

两条直线方程如下:

5


?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0

?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
.
(二)探研新知
1.点到直线距离公式:

P(x
0
, y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为:
d?Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

(2)数行结合,分析问题,提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念,即由点
P
到直线
l
的距离
d
是点
P
到直
线l
的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问
题,一个自己熟悉的问题。(1)提出问题
在平面直角坐标系中,如果已 知某点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)
,直线 =0或
B
=0
时,以上公式
l:Ax?By?C?0
,怎样用点的坐 标和直线的方程直接求点
P
到直
线
l
的距离呢?
学生可自由讨论。

画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。
方案一:
设点
P
到直线
l
的垂线段为
PQ
,垂足为
Q

B

PQ

l
可知,直线
PQ
的斜率为(
A
≠0),
R
A
根据点斜式写出直 线
PQ
的方程,并由
l

PQ

方程求出点
Q
的坐标;由此根据两点距离公式
o
求出|
PQ
|,得到点
P
到直线
l
的距离为
d

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们
探讨别一种方法
y
d
Q
S
l
x
P(x
0
,y
0
)
方案二 :设
A
≠0,
B
≠0,这时
l

x
轴、< br>y
轴都相交,过点
P

x
轴的平行
线,交
l
于点
R(x
1
,y
0
)
;作
y
轴 的平行线,交
l
于点
S(x
0
,y
2
)

?By
0
?C?Ax
0
?C
?
Ax?By
0
?C?0
,y
2
?

?
11

x
1
?
.
AB
?
Ax
0
?By
2
?C?0
所以,|
PR
|=|
x
0
?x
1
|=
Ax
0
?By
0
?C

A

PS
|=|
y
0
?y
2
|=
Ax
0
?By
0
?C

B

6


RS
|=
PR?PS?
22
A
2
?B
2
×|
Ax
0
?By
0
?C
|由三角形面积公式
AB
可知:
d
·|
RS
|=|
PR
|·|
PS

所以
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

可证明,当
A=0时
仍适用
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了
提高。
3.例题应用,解决问题。
例1 求点P=(-1,2)到直线 3x=2的距离。 解:d=
3?
?
?1
?
?2
3
2
?0
2
?
5

3
例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积。
解:设AB边上的高为h,则
1
S
?ABC
=
AB?h

2

AB?
?
3?1
?
?
?
1?3
?
22
?22

AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
y?3X?1
?

1?33?1
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=
?1?0?4
1?1
2
?
5

2

15
?5
因此,S
?ABC
=
?2 2?
2
2
通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能< br>逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

同步练习:118页第1,2题。
4.拓展延伸,评价反思。
(1) 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行 线直线
l
1

l
2
的一般式方程为
l
1< br>:
Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?By?C
2
?0
,则
l
1

l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A?B
22

7


证明:设
P
0
(x
0
,y
0
)
是直线
Ax?By?C
2
?0
上 任一点,则点
P
0
到直线
Ax?By?C
1
?0
的 距离为
d?

Ax
0
?By
0
?C
2
?0

A x
0
?By
0
?C
1
A?B
22


Ax
0
?By
0
??C
2
,∴
d
2x?3y?10?0
的距离.
C
1
?C
2
A?B
22

解法一:在直 线
l
1
上取一点P(4,0),因为
l
1

l2


例3 求两平行线
l
1

2x?3y ?8?0

l
2
:,所以点
P

l
2的距离等于
l
1

l
2

距离.于是
d?
2?4?3?0?10
2
2
?3
2
?
2
13
?
2
13

13
解法二:
l
1
l
2

C
1
??8,C
2
??10
.
由两平行线间的距离公式得
d?
?8?(?10)
2
2
?3
2
?
23

13
四、课堂练习:
1, 已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且
该 直线过点(2,3),求该直线方程。

五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直 线的距离公式,能把求
两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业:
13.求点
P(2,-1)
到直线2
x
+3
y
-3=0的距 离.
14.已知点
A

a
,6)到直线3
x
-4
y
=2的距离d=4,求
a
的值:
15.已知两条平行线直线l
1

l
2
的一般式方程为
l
1
:< br>Ax?By?C
1
?0

l
2

Ax?B y?C
2
?0
,则
l
1

l
2
的 距离为
d?
七.板书设计:略

C
1
?C
2
A?B
22


8

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